Câu 1 (1 điểm):

Cho hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 5 giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ rồi đóng lại, sau đó mở vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì ta được \(\frac{1}{4}\) bể nước. Hỏi nếu mở riêng mỗi vòi thì thời gian chảy đầy bể là bao nhiêu?

Đáp án:

                              (Đề thi tuyển sinh vào 10 - Thừa Thiên Huế - 2017)

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng để đầy bể là x (giờ, x > 5)

Gọi thời gian vòi thứ hai chảy riêng để đầy bể là y (giờ, y > 5)

Một giờ vòi thứ nhất chảy được số phần bể nước là: \(\frac{1}{x}\)  (bể nước)

Một giờ vòi thứ hai chảy được số phần bể nước là: \(\frac{1}{y}\)  (bể nước)

Một giờ cả hai chảy vòi chảy được số phần bể nước là: \(\frac{1}{5}\)  (bể nước)

Theo bài ra ta có hê \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{5}\\\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\) 

Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b\) , ta có hệ mới:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{1}{5}\\2a+b=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\\a+b=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{20}\\b=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{20}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{20}\\b=\dfrac{3}{20}\end{matrix}\right.\)

Quay về hệ cũ, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{20}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{20}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=20\\y=\dfrac{20}{3}\end{matrix}\right.\) (tm)

Vậy nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể sau 20 giờ.

Ta có \(\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}\) nên nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể sau 6 giờ 40 phút.

 


Câu 2 (1 điểm):

Hai đội công nhân đào đất để đắp đê ngăn triều cường. Nếu hai đội cùng làm thì sau 6 ngày là xong công việc. Nếu làm riêng thì đội I hoàn thành công việc chậm hơn đội II là 9 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội đắp xong đê trong bao nhiêu ngày?

Đáp án:

                             (Đề thi tuyển sinh vào 10 - Bình Dương  - 2017)

Gọi thời gian để đội I làm riêng và hoàn thành công việc là x (ngày, \(x\in N,x>9\))

Thời gian để đội II làm riêng và hoàn thành công việc là x - 9  (ngày)

Mỗi ngày đội I hoàn thành được số phần công việc là: \(\frac{1}{x}\) (công việc)

Mỗi ngày đội II hoàn thành được số phần công việc là: \(\frac{1}{x-9}\) (công việc)

Mỗi ngày đội I và đội II cùng làm thì hoàn thành được số phần công việc là: \(\frac{1}{6}\) (công việc)

Theo bài ra ta có phương trình : \(\frac{1}{x-9}+\frac{1}{x}=\frac{1}{6}\)

\(\Leftrightarrow\frac{6x+6\left(x-9\right)-x\left(x-9\right)}{6x\left(x-9\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow6x+6\left(x-9\right)-x\left(x-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-21x+54=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(l\right)\\x=18\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy đội thứ nhất làm riêng thì sau 18 ngày thì xong.

Đội thứ hai làm riêng thì cần số ngày là: 18 - 9 = 9 (ngày)

Vậy đội thứ nhất cần 18 ngày, đội thứ hai cần 9 ngày để làm riêng và hoàn thành công việc.

 


Câu 3 (1 điểm):

Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định hoàn thành sau 12 ngày. Họ cùng làm chung với nhau được 8 ngày thì đội 1 được điều động đi làm việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã hoàn thành công việc sau 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ xong công việc?

Đáp án:

Gọi thời gian để đội 1 một mình hoàn thành công việc là x (ngày,  x > 12)

Gọi thời gian để đội 2 một mình hoàn thành công việc là y (ngày,  y > 12)

Trong 1 ngày, đối 1 và đội 2 làm được khối lượng công việc lần lượt là \(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\)

Vì nếu cả hai đội cùng làm thì sẽ hoàn thành công việc sau 12 ngày nên \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\)

Khi tăng năng suất lên gấp đôi thì mỗi ngày đội hai làm được số lượng công việc là \(\frac{2}{y}\)

Theo bài ta ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\8\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+3,5.\dfrac{2}{y}=1\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{8}{x}+\dfrac{15}{y}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}=\dfrac{2}{3}\\\dfrac{8}{x}+\dfrac{15}{y}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{7}{y}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\y=21\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=28\\y=21\end{matrix}\right.\)(tm)

Vậy đội 1 làm một mình thì sau 28 ngày sẽ xong công việc, đội 2 làm một mình thì sau 21 ngày sẽ xong công việc.


Câu 4 (1 điểm):

Hai vòi nước chảy chung vào một bể thì sau \(4\frac{4}{5}\) giờ thì đầy bể. Mỗi giờ lượng nước vòi I chảy được bằng \(1\frac{1}{2}\) lượng nước chảy được của vòi 2. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Đáp án:

Gọi thời gian để vòi 1 chảy riêng mà đầy bể là x (giờ, \(x>4\frac{4}{5}\))

Gọi thời gian để vòi 2 chảy riêng mà đầy bể là y (giờ, \(y>4\frac{4}{5}\) )

Mỗi giờ, vòi 1 và vòi 2 chảy được lần lượt là \(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\) (bể nước)

Vì hai vòi nước chảy chung vào một bể thì sau \(4\frac{4}{5}\) giờ thì đầy bể nên \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4\frac{4}{5}}=\frac{5}{24}\)

Theo bài ra ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{24}\\\dfrac{1}{x}=1\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{y}\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{24}\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2y}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{2y}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{24}\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2y}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{2y}=\dfrac{5}{24}\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2y}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=12\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2y}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=12\end{matrix}\right.\)(tm)

Vậy vòi 1 chảy riêng thì sau 8 giờ đầy bể, vòi 2 chảy riêng thì sau 12 giờ đầy bể.


Câu 5 (1 điểm):

Hai người thợ cùng làm một công việc thì sau 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được \(\frac{1}{4}\) công việc. Hỏi mỗi người làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc?

Đáp án:

             (Đề thi tuyển sinh vào 10 - THPT chuyên - Hà Giang - 2015)

Gọi thời gian để người thứ nhất làm riêng mà hoàn thành công việc là x (giờ, x > 16)

Gọi thời gian để người thứ hai làm riêng mà hoàn thành công việc là y (giờ, y > 16)

Mỗi giờ, người thứ nhất và người thứ hai làm được số phần công việc lần lượt là \(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\) 

Do hai người thợ cùng làm một công việc thì sau 16 giờ thì xong nên \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\)

Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được số phần công việc là \(\frac{3}{x}+\frac{6}{y}\)

Theo bài ra ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{16}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{6}{y}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{3}{16}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{6}{y}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{16}\\\dfrac{3}{y}=\dfrac{1}{16}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{16}\\y=48\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=24\\y=48\end{matrix}\right.\)(tmđk)

Vậy người thứ nhất làm riêng thì sau 24 giờ sẽ xong công việc, người thứ hai cần 48 giờ.


Câu 6 (1 điểm):

Hai đội công nhân làm một đoạn đường. Đội 1 làm xong một nửa đoạn đường thì đội 2 đến làm tiếp nửa còn lại với thời gian nhiều hơn thời gian đội 1 làm là 28 ngày. Nếu hai đội cùng làm thì sau 45 ngày sẽ xong đoạn đường. Hỏi mỗi đội đã làm bao nhiêu ngày trên đoạn đường này?

Hướng dẫn giải:

​Gọi số ngày đội 1 làm trên đoạn đường này là x (ngày, x \(\in\) N* , x >  28)

Số ngày đội 2 làm trên đoạn đường này là x + 28 (ngày)

Mỗi ngày đội 1 làm được số phần đoạn đường là:  \(\dfrac{1}{2x}\) (đoạn đường)

Mỗi ngày đội 2 làm được số phần đoạn đường là:  \(\dfrac{1}{2\left(x+28\right)}\) (đoạn đường)

Mỗi ngày cả hai đội làm được số phần đoạn đường là:  \(\dfrac{1}{45}\) (đoạn đường)

Vậy ta có phương trình :     \(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2\left(x+28\right)}=\dfrac{1}{45}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+28+x}{2x\left(x+28\right)}=\dfrac{1}{45}\)

\(\Leftrightarrow45\left(2x+28\right)=2x^2+56x\)

\(\Leftrightarrow2x^2-34x-1260=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=35\\x=-18\left(ktmđk\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy đội 1 đã làm trong 35 ngày.

Đội 2 làm trong số ngày là : 35 + 28 = 63 (ngày).


Câu 7 (1 điểm):

Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch trong cùng một khoảng thời gian. Đội 1 phải trồng 40 ha, đội 2 phải trồng 90 ha. Đội 1 hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày, đội 2 làm hoàn thành muộn hơn 2 ngày so với kế hoạch. Nếu đội 1 làm khoảng thời gian bằng khoảng thời gian đội 2 đã làm và đội 2 làm bằng khoảng thời gian đội 1 đã làm thì diện tích trồng được của hai đội bằng nhau. Tính thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch. 

Hướng dẫn giải:

​Gọi thời gian mỗi đội phải hoàn thành công việc theo kế hoạch là x (ngày, x \(\in\) N* , x  >2)

Thời gian đội 1 đã làm là: x - 2 (ngày)

Thời gian đội 2 đã làm là x + 2 (ngày)

Mỗi ngày đội 1 trồng được \(\dfrac{40}{x-2}\left(ha\right)\)

Mỗi ngày đội 2 trồng được \(\dfrac{90}{x+2}\left(ha\right)\)

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\dfrac{40}{x-2}.\left(x+2\right)=\dfrac{90}{x+2}\left(x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow40\left(x+2\right)^2=90\left(x-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow50x^2-520x+200=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=10\\x=\dfrac{2}{5}\left(ktmđk\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy theo kế hoạch, mỗi đội phải hoàn thành công việc trong 10 ngày.

Link bài học:
Thảo luận
1

Bài 1: Căn thức và rút gọn biểu thức

 1. Bài giảng: Căn bậc hai

 2. Tài liệu: Căn bậc hai

 3. Căn bậc hai, căn bậc ba

 4. Rút gọn biểu thức - Cơ bản

 5. Rút gọn biểu thức - Nâng cao

 6. Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 7. Tài liệu: Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 8. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

 9. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 10. Phân tích đa thức thành nhân tử

 11. Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

 12. Rút gọn biểu thức có chứa căn

2

Bài 2: Phương trình

 1. Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 2. Tài liệu : Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 4. Tài liệu: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 5. Giải phương trình bậc nhất

 6. Giải phương trình bậc hai

 7. Phương trình quy về bậc hai

 8. Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 9. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 10. Phương trình vô tỷ

3

Bài 3: Hàm số

 1. Hàm số, Đồ thị

 2. Hàm số bậc nhất

 3. Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số

 4. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax^2 (a khác 0)

 5. Xác định tham số để điểm thuộc đồ thị

 6. Vị trí tương đối của các đồ thị hàm số

 7. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

 8. Một số bài tập tự luận

4

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

 4. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

 6. Một số bài tập tự luận

5

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

 1. Định lí Viet

 2. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 4. Lập phương trình bậc hai biết các nghiệm của nó.

 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

 6. Các biểu thức đối xứng của hai nghiệm phương trình bậc hai.

 7. Luyện tập chung

 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

 9. Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho

 10. Bắc Giang, Bắc Ninh, Bình Định, Bình Dương

 11. Cà Mau, Cần Thơ, Đắc Lắc, Đà Nẵng, Đồng Nai

 12. Hải Dương, Hà Nam, Hà Nội

 13. Hà Tĩnh, Hòa Bình, Hưng Yên, Hải Phòng

 14. Khánh Hòa, Kiên Giang, Kon Tum, Lạng Sơn, Lào Cai, Long An

 15. Tp Hồ Chí Minh, Thanh Hóa, Thái Bình, Thái Nguyên, Thừa Thiên Huế, Trà Vinh

 16. Nam Định, Ninh Bình, Nghệ An

 17. Phú Thọ, Quảng Bình, Quảng Ninh, Quảng Ngãi

6

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 2. Tài liệu: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 3. Toán chuyển động

 4. Toán năng suất, số lượng

 5. Toán làm chung làm riêng

 6. Toán có nội dung hình học

 7. Toán về phần trăm

 8. Một số dạng toán khác

7

Bài 7: Bất đẳng thức

 1. Bất đẳng thức

 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứng minh BĐT

 3. Bất đẳng thức Cô si (p.1)

 4. Bất đẳng thức Cô si (p.2)

 5. Bất đẳng thức Cô si (p3)

 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.1)

 7. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.2)

 8. Thanh Hóa, Quảng Bình, Nghệ An, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hỏa Bình

 9. Bình Định, Hà Tĩnh, Hà Nội, Hà Nam, Hải Phòng, Bắc Giang

8

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

 1. GTLN, GTBN của tam thức bậc hai

 2. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

 3. GTLN, GTNN (p1)

 4. GTLN,GTNN (p2)

 5. Yên Bái, Bà Rịa Vũng Tàu, Vĩnh Phúc, Tuyên Quang, Thái Bình, Quảng Ninh

 6. Quảng Ngãi, Phú Thọ, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hòa Bình, Hà Tĩnh, Ninh Bình, Bắc Ninh Thanh Hóa

 7. Bắc Giang, Hà Nam, Bà Rịa Vũng Tàu, Hà Nội, Hà Tĩnh, Hải Phòng, Đăc Lắc