Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Đề bài

Câu 1

Một miếng bìa hình chữ nhật có chiều rộng bằng \(\frac{3}{5}\) chiều dài. Nếu chiều rộng giảm đi 1 cm và chiều dài giảm đi 4 cm thì diện tích của nó bằng nửa diện tích ban đầu. Tính chu vi miếng bìa đó.2

Đáp án:

                  (Đề tuyển sinh vào 10 - Đà Nẵng  - 2016)

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (cm, x > 4)

Chiều rộng của hình chữ nhật là \(\frac{3}{5}x\) (cm)

Diện tích hình chữ nhật là : \(x.\frac{3}{5}x=\frac{3}{5}x^2\) (cm2)

Diện tích hình chữ nhật khi thay đổi chiều dài và chiều rộng là \(\left(x-4\right)\left(\frac{3}{5}x-1\right)\) (cm2)

Theo bài ra ta có phương trình \(\left(x-4\right)\left(\frac{3}{5}x-1\right)=\frac{1}{2}.\frac{3}{5}x^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{5}x^2-x-\frac{12}{5}x+4=\frac{3}{10}x^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{10}x^2-\frac{17}{5}x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=10\left(tm\right)\\x=\dfrac{4}{3}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy chiều dài miếng bìa là 10cm.

Chiều rộng miếng bìa là: \(10.\frac{3}{5}=6\left(cm\right)\)

Chu vi miếng bìa là: \(\left(10+6\right).2=32\left(cm\right)\)

Vậy chu vi miếng bìa là 32 cm.

Câu 1

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 24m. Nếu tăng độ dài một cạnh thêm 2m và giảm độ dài cạnh còn lại 1 m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 1 m2. Tìm độ dài các cạnh của hình chữ nhật ban đầu.

Đáp án:

            (Đề thi tuyển sinh vào 10 - Bình Định - 2017)

Nửa chu vi hình chữ nhật ban đầu là : 24 : 2 = 12 (m)

Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật ban đầu là x và y \(\left(m;12>x,y>1\right)\)

Độ dài hai cạnh của hình chữ nhật mới là x + 2 (m) và y - 1 (m) 

Diện tích hình chữ nhật mới là (x + 2)(y - 1) (m2)

Theo bài ra ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\xy+1=\left(x+2\right)\left(y-1\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\xy+1=xy-x+2y-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\x-2y=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\3y=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=5\end{matrix}\right.\)(tm)

Vậy hình chữ nhật ban đầu có chiều dài là 7m, chiều rộng là 5m.

Câu 1

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720 m2. Nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

Đáp án:

               ( Đề thi tuyển sinh vào 10 - Hà Nội - 2017)

Gọi chiều dài của mảnh vườn là x (m, x > 0)

Chiều rộng của mảnh vườn là \(\frac{720}{x}\left(m\right)\)

Diện tích hình chữ nhật mới khi thay đổi độ dài các cạnh như đề bài là: \(\left(x+10\right)\left(\frac{720}{x}-6\right)\) (m2)

Theo bài ra ta có phương trình \(\left(x+10\right)\left(\frac{720}{x}-6\right)=720\)

\(\Leftrightarrow720-6x+\frac{7200}{x}-60=720\)

\(\Leftrightarrow-6x^2-60x+7200=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=30\left(tm\right)\\x=-40\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy chiều dài mảnh vườn là 30m.

Chiều rộng mảnh vườn là : 720 : 30 = 24 (m)

Câu 1

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và độ dài đường chéo bằng \(\frac{\sqrt{65}}{4}\) lần chiều rộng. Tính diện tích mảnh đất hình chữ nhật đã cho.

Đáp án:

          (Đề thi tuyển sinh vào 10 - Tây Ninh - 2017)

Gọi chiều rộng mảnh đất là x (m, x > 0)

Chiều dài mảnh đất là x + 6 (m)

Theo định lý  Pi-ta-go, ta có bình phương độ dài đường chéo hình chữ nhật trên là \(x^2+\left(x+6\right)^2\) (m2)

Theo bài ra ta có phương trình \(x^2+\left(x+6\right)^2=\left(\frac{\sqrt{65}}{4}x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(x+6\right)^2=\frac{65}{16}x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(x+6\right)^2-\frac{65}{16}x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-33}{16}x^2+12x+36=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=8\left(tm\right)\\x=-\dfrac{24}{11}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy chiều rộng mảnh đất là 8m.

Chiều dài mảnh đất là : 8 + 6 = 14(m)

Diện tích mảnh đất là :     14.8 = 112 (m2)

Câu 1

Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật biết rằng nếu tăng cả chiều dài và chiều rộng lên 4cm thì ta được một hình chữ nhật có diện tích tăng thêm 80cmso với diện tích của hình chữ nhật ban đầu, còn nếu tăng chiều dài lên 5cm và giảm chiều rộng xuống 2cm thì ta được một hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu.

Đáp án:

          ( Đề thi tuyển sinh vào 10 - Đak Lak - 2017)

Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là x và y (cm, 0 < y < x)

Diện tích hình chữ nhật là xy (cm2)

Diện tích hình chữ nhật nếu tăng cả chiều dài và chiều rộng lên 4cm là (x + 4)(y + 4)     (cm2)

Diện tích hình chữ nhật nếu tăng chiều dài 5cm và giảm chiều rộng xuống 2cm là (x + 5)(y - 2)     (cm2)

Theo bài ra ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+4\right)\left(y+4\right)=xy+80\\\left(x+5\right)\left(y-2\right)=xy\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy+4x+4y+16=xy+80\\xy-2x+5y-10=xy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+4y=64\\-2x+5y=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+4y=64\\-4x+10y=20\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=16\\14y=84\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=10\\y=6\end{matrix}\right.\)(tm)

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 10 cm, chiều rộng hình chữ nhật là 6 cm.

      

Câu 1

Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 100m. Tính chiều dài và chiều rộng của miếng đất, biết 5 lần chiều rộng hơn 2 lần chiều dài 40m.

Hướng dẫn giải:

​(Đề thi tuyển sinh vào 10 - TP Hồ Chí Minh - 2017)

Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là x và y   \(\left(m,50>x>y>0\right)\)

Nửa chu vi của hình chữ nhật là     \(100:2=50\left(m\right)\)

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=50\\5y-2x=40\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=50-y\\5y-2\left(50-y\right)=40\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=50-y\\7y=140\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=30\\y=20\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\)

Vậy chiều dài miếng đất là 30m, chiều rộng là 20m.

Câu 1

Một tam giác có chiều cao bằng \(\dfrac{3}{7}\) cạnh đáy. Nếu chiều cao giảm đi 4,7dm và cạnh đáy giảm đi 4,3dm thì diện tích của nó giảm đi 102,105dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.

Hướng dẫn giải:

​Gọi chiều cao của tam giác là x (dm, x > 0)

Cạnh đáy của tam giác đó là \(\dfrac{7x}{3}\) (dm)

Diện tích của tam giác là \(\dfrac{1}{2}.x.\dfrac{7x}{3}=\dfrac{7x^2}{6}\)   (dm2)

Chiều cao sau khi giảm của tam giác là \(x-4,7\)   (dm)

Cạnh đáy sau khi giảm của tam giác là \(\dfrac{7x}{3}-4,3\)   (dm)

Diện tích sau khi giảm là  \(\dfrac{1}{2}.\left(x-4,7\right)\left(\dfrac{7x}{3}-4,3\right)\)(dm2)

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\dfrac{7x^2}{6}-\dfrac{1}{2}.\left(x-4,7\right)\left(\dfrac{7x}{3}-4,3\right)=102,105\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{7x^2}{6}-\dfrac{7x^2}{6}-\dfrac{229}{30}x-10,105=102,105\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{229}{30}x=112,21\)

\(\Leftrightarrow x=14,7\left(tmđk\right)\)

Chiều cao tam giác là 14,7dm. Cạnh đáy tam giác là \(7.\dfrac{14,7}{3}=34,3\left(dm\right)\)

Bài làm

Hãy đăng nhập để làm bài!

Đăng nhập

00:00:00