Câu 1 (1 điểm):

Một miếng bìa hình chữ nhật có chiều rộng bằng \(\frac{3}{5}\) chiều dài. Nếu chiều rộng giảm đi 1 cm và chiều dài giảm đi 4 cm thì diện tích của nó bằng nửa diện tích ban đầu. Tính chu vi miếng bìa đó.2

Đáp án:

                  (Đề tuyển sinh vào 10 - Đà Nẵng  - 2016)

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (cm, x > 4)

Chiều rộng của hình chữ nhật là \(\frac{3}{5}x\) (cm)

Diện tích hình chữ nhật là : \(x.\frac{3}{5}x=\frac{3}{5}x^2\) (cm2)

Diện tích hình chữ nhật khi thay đổi chiều dài và chiều rộng là \(\left(x-4\right)\left(\frac{3}{5}x-1\right)\) (cm2)

Theo bài ra ta có phương trình \(\left(x-4\right)\left(\frac{3}{5}x-1\right)=\frac{1}{2}.\frac{3}{5}x^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{5}x^2-x-\frac{12}{5}x+4=\frac{3}{10}x^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{10}x^2-\frac{17}{5}x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=10\left(tm\right)\\x=\dfrac{4}{3}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy chiều dài miếng bìa là 10cm.

Chiều rộng miếng bìa là: \(10.\frac{3}{5}=6\left(cm\right)\)

Chu vi miếng bìa là: \(\left(10+6\right).2=32\left(cm\right)\)

Vậy chu vi miếng bìa là 32 cm.


Câu 2 (1 điểm):

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 24m. Nếu tăng độ dài một cạnh thêm 2m và giảm độ dài cạnh còn lại 1 m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 1 m2. Tìm độ dài các cạnh của hình chữ nhật ban đầu.

Đáp án:

            (Đề thi tuyển sinh vào 10 - Bình Định - 2017)

Nửa chu vi hình chữ nhật ban đầu là : 24 : 2 = 12 (m)

Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật ban đầu là x và y \(\left(m;12>x,y>1\right)\)

Độ dài hai cạnh của hình chữ nhật mới là x + 2 (m) và y - 1 (m) 

Diện tích hình chữ nhật mới là (x + 2)(y - 1) (m2)

Theo bài ra ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\xy+1=\left(x+2\right)\left(y-1\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\xy+1=xy-x+2y-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\x-2y=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\3y=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=5\end{matrix}\right.\)(tm)

Vậy hình chữ nhật ban đầu có chiều dài là 7m, chiều rộng là 5m.


Câu 3 (1 điểm):

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720 m2. Nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

Đáp án:

               ( Đề thi tuyển sinh vào 10 - Hà Nội - 2017)

Gọi chiều dài của mảnh vườn là x (m, x > 0)

Chiều rộng của mảnh vườn là \(\frac{720}{x}\left(m\right)\)

Diện tích hình chữ nhật mới khi thay đổi độ dài các cạnh như đề bài là: \(\left(x+10\right)\left(\frac{720}{x}-6\right)\) (m2)

Theo bài ra ta có phương trình \(\left(x+10\right)\left(\frac{720}{x}-6\right)=720\)

\(\Leftrightarrow720-6x+\frac{7200}{x}-60=720\)

\(\Leftrightarrow-6x^2-60x+7200=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=30\left(tm\right)\\x=-40\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy chiều dài mảnh vườn là 30m.

Chiều rộng mảnh vườn là : 720 : 30 = 24 (m)


Câu 4 (1 điểm):

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và độ dài đường chéo bằng \(\frac{\sqrt{65}}{4}\) lần chiều rộng. Tính diện tích mảnh đất hình chữ nhật đã cho.

Đáp án:

          (Đề thi tuyển sinh vào 10 - Tây Ninh - 2017)

Gọi chiều rộng mảnh đất là x (m, x > 0)

Chiều dài mảnh đất là x + 6 (m)

Theo định lý  Pi-ta-go, ta có bình phương độ dài đường chéo hình chữ nhật trên là \(x^2+\left(x+6\right)^2\) (m2)

Theo bài ra ta có phương trình \(x^2+\left(x+6\right)^2=\left(\frac{\sqrt{65}}{4}x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(x+6\right)^2=\frac{65}{16}x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(x+6\right)^2-\frac{65}{16}x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-33}{16}x^2+12x+36=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=8\left(tm\right)\\x=-\dfrac{24}{11}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy chiều rộng mảnh đất là 8m.

Chiều dài mảnh đất là : 8 + 6 = 14(m)

Diện tích mảnh đất là :     14.8 = 112 (m2)


Câu 5 (1 điểm):

Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật biết rằng nếu tăng cả chiều dài và chiều rộng lên 4cm thì ta được một hình chữ nhật có diện tích tăng thêm 80cmso với diện tích của hình chữ nhật ban đầu, còn nếu tăng chiều dài lên 5cm và giảm chiều rộng xuống 2cm thì ta được một hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu.

Đáp án:

          ( Đề thi tuyển sinh vào 10 - Đak Lak - 2017)

Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là x và y (cm, 0 < y < x)

Diện tích hình chữ nhật là xy (cm2)

Diện tích hình chữ nhật nếu tăng cả chiều dài và chiều rộng lên 4cm là (x + 4)(y + 4)     (cm2)

Diện tích hình chữ nhật nếu tăng chiều dài 5cm và giảm chiều rộng xuống 2cm là (x + 5)(y - 2)     (cm2)

Theo bài ra ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+4\right)\left(y+4\right)=xy+80\\\left(x+5\right)\left(y-2\right)=xy\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy+4x+4y+16=xy+80\\xy-2x+5y-10=xy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+4y=64\\-2x+5y=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+4y=64\\-4x+10y=20\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=16\\14y=84\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=10\\y=6\end{matrix}\right.\)(tm)

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 10 cm, chiều rộng hình chữ nhật là 6 cm.

      


Câu 6 (1 điểm):

Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 100m. Tính chiều dài và chiều rộng của miếng đất, biết 5 lần chiều rộng hơn 2 lần chiều dài 40m.

Hướng dẫn giải:

​(Đề thi tuyển sinh vào 10 - TP Hồ Chí Minh - 2017)

Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là x và y   \(\left(m,50>x>y>0\right)\)

Nửa chu vi của hình chữ nhật là     \(100:2=50\left(m\right)\)

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=50\\5y-2x=40\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=50-y\\5y-2\left(50-y\right)=40\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=50-y\\7y=140\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=30\\y=20\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\)

Vậy chiều dài miếng đất là 30m, chiều rộng là 20m.


Câu 7 (1 điểm):

Một tam giác có chiều cao bằng \(\dfrac{3}{7}\) cạnh đáy. Nếu chiều cao giảm đi 4,7dm và cạnh đáy giảm đi 4,3dm thì diện tích của nó giảm đi 102,105dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.

Hướng dẫn giải:

​Gọi chiều cao của tam giác là x (dm, x > 0)

Cạnh đáy của tam giác đó là \(\dfrac{7x}{3}\) (dm)

Diện tích của tam giác là \(\dfrac{1}{2}.x.\dfrac{7x}{3}=\dfrac{7x^2}{6}\)   (dm2)

Chiều cao sau khi giảm của tam giác là \(x-4,7\)   (dm)

Cạnh đáy sau khi giảm của tam giác là \(\dfrac{7x}{3}-4,3\)   (dm)

Diện tích sau khi giảm là  \(\dfrac{1}{2}.\left(x-4,7\right)\left(\dfrac{7x}{3}-4,3\right)\)(dm2)

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\dfrac{7x^2}{6}-\dfrac{1}{2}.\left(x-4,7\right)\left(\dfrac{7x}{3}-4,3\right)=102,105\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{7x^2}{6}-\dfrac{7x^2}{6}-\dfrac{229}{30}x-10,105=102,105\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{229}{30}x=112,21\)

\(\Leftrightarrow x=14,7\left(tmđk\right)\)

Chiều cao tam giác là 14,7dm. Cạnh đáy tam giác là \(7.\dfrac{14,7}{3}=34,3\left(dm\right)\)

Link bài học:
Thảo luận
1

Bài 1: Căn thức và rút gọn biểu thức

 1. Bài giảng: Căn bậc hai

 2. Tài liệu: Căn bậc hai

 3. Căn bậc hai, căn bậc ba

 4. Rút gọn biểu thức - Cơ bản

 5. Rút gọn biểu thức - Nâng cao

 6. Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 7. Tài liệu: Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 8. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

 9. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 10. Phân tích đa thức thành nhân tử

 11. Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

 12. Rút gọn biểu thức có chứa căn

2

Bài 2: Phương trình

 1. Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 2. Tài liệu : Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 4. Tài liệu: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 5. Giải phương trình bậc nhất

 6. Giải phương trình bậc hai

 7. Phương trình quy về bậc hai

 8. Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 9. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 10. Phương trình vô tỷ

3

Bài 3: Hàm số

 1. Hàm số, Đồ thị

 2. Hàm số bậc nhất

 3. Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số

 4. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax^2 (a khác 0)

 5. Xác định tham số để điểm thuộc đồ thị

 6. Vị trí tương đối của các đồ thị hàm số

 7. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

 8. Một số bài tập tự luận

4

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

 4. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

 6. Một số bài tập tự luận

5

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

 1. Định lí Viet

 2. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 4. Lập phương trình bậc hai biết các nghiệm của nó.

 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

 6. Các biểu thức đối xứng của hai nghiệm phương trình bậc hai.

 7. Luyện tập chung

 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

 9. Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho

 10. Bắc Giang, Bắc Ninh, Bình Định, Bình Dương

 11. Cà Mau, Cần Thơ, Đắc Lắc, Đà Nẵng, Đồng Nai

 12. Hải Dương, Hà Nam, Hà Nội

 13. Hà Tĩnh, Hòa Bình, Hưng Yên, Hải Phòng

 14. Khánh Hòa, Kiên Giang, Kon Tum, Lạng Sơn, Lào Cai, Long An

 15. Tp Hồ Chí Minh, Thanh Hóa, Thái Bình, Thái Nguyên, Thừa Thiên Huế, Trà Vinh

 16. Nam Định, Ninh Bình, Nghệ An

 17. Phú Thọ, Quảng Bình, Quảng Ninh, Quảng Ngãi

6

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 2. Tài liệu: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 3. Toán chuyển động

 4. Toán năng suất, số lượng

 5. Toán làm chung làm riêng

 6. Toán có nội dung hình học

 7. Toán về phần trăm

 8. Một số dạng toán khác

7

Bài 7: Bất đẳng thức

 1. Bất đẳng thức

 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứng minh BĐT

 3. Bất đẳng thức Cô si (p.1)

 4. Bất đẳng thức Cô si (p.2)

 5. Bất đẳng thức Cô si (p3)

 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.1)

 7. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.2)

 8. Thanh Hóa, Quảng Bình, Nghệ An, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hỏa Bình

 9. Bình Định, Hà Tĩnh, Hà Nội, Hà Nam, Hải Phòng, Bắc Giang

8

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

 1. GTLN, GTBN của tam thức bậc hai

 2. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

 3. GTLN, GTNN (p1)

 4. GTLN,GTNN (p2)

 5. Yên Bái, Bà Rịa Vũng Tàu, Vĩnh Phúc, Tuyên Quang, Thái Bình, Quảng Ninh

 6. Quảng Ngãi, Phú Thọ, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hòa Bình, Hà Tĩnh, Ninh Bình, Bắc Ninh Thanh Hóa

 7. Bắc Giang, Hà Nam, Bà Rịa Vũng Tàu, Hà Nội, Hà Tĩnh, Hải Phòng, Đăc Lắc