Câu 1 (1 điểm):

Hai thành phố A và B cách nhau  50 km. Một người đi xe đạp từ A đến B. Sau đó 1 giờ 30 phút, người đi xe máy cũng đi từ A  và đến B trước người đi xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng vận tốc người đi xe máy bằng 2,5 lần vận tốc người đi xe đạp.

Đáp án:

1 giờ 30 phút = 1,5 giờ.

Gọi vận tốc người đi xe đạp là x (km/h, x > 0)

Vận tốc người đi xe máy là 2,5x (km/h)

Thời gian người đi xe đạp đi hết quãng đường AB là : \(\frac{50}{x}\) (giờ)

Thời gian người đi xe máy đi hết quãng đường AB là : \(\frac{50}{2,5x}=\frac{20}{x}\) (giờ)

Theo đề bài ta có phương trình \(\dfrac{50}{x}-\dfrac{20}{x}=1,5+1\)

\(\Leftrightarrow\frac{30}{x}=2,5\Leftrightarrow x=30:2,5=12\left(tm\right)\)

Vậy vận tốc người đi xe đạp là 12 km/h.

Vận tốc của người đi xe máy là : 12.2,5 = 30 (km/h)


Câu 2 (1 điểm):

Quãng đường AC (có đi qua B) dài 270 km. Một xe vận tải đi từ A đến B với vận tốc 60km/h rồi đi từ B đến C với vận tốc 40km/h, tất cả hết 6 giờ. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB và BC.

Đáp án:

Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là x (giờ,  0 < x < 6)

Khi đó thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là 6 - x (giờ)

Quãng đường AB dài là: 60x (km) 

Quãng đường BC dài là: 40(6 - x) (km) 

Theo bài ra ta có phương trình: \(60x+40\left(6-x\right)=270\)

\(\Leftrightarrow20x+240=270\)

\(\Leftrightarrow20x=30\)

\(\Leftrightarrow x=1,5\left(tm\right)\)

Vậy thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là 1,5 giờ.

Thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là: 6 - 1,5 = 4,5 (giờ).


Câu 3 (1 điểm):

Một ô tô đi từ Quảng Ninh về Hà Nội, đường dài 200km. Người lái xe tính rằng nếu tăng vận tốc thêm 10 km/h thì về đến Hà Nội sớm 40 phút. Tính vận tốc của ô tô (nếu không tăng).

Đáp án:

40 phút  = \(\frac{2}{3}\) giờ

Gọi vận tốc của ô tô (nếu không tăng) là x (km/h, x > 0)

Vận tốc của ô tô khi tăng thêm 10 km/h là: x + 10 (km/h)

Thời gian ô tô đi hết quãng đường Quảng Ninh - Hà Nội với vận tốc khi chưa tăng là: \(\frac{200}{x}\left(h\right)\)

Thời gian ô tô đi hết quãng đường Quảng Ninh - Hà Nội với vận tốc khi đã tăng là: \(\frac{200}{x+10}\left(h\right)\)

Theo bài ra ta có phương trình : \(\frac{200}{x}-\frac{200}{x+10}=\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{200}{x}-\frac{200}{x+10}-\frac{2}{3}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{600\left(x+10\right)-600x-2x\left(x+10\right)}{3x\left(x+10\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{6000-2x^2-20x}{3x\left(x+10\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+20x-6000=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=50\left(tm\right)\\x=-60\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy vận tốc của ô tô nếu không tăng là 50 km/h.


Câu 4 (1 điểm):

Một người đi xe máy từ địa điểm A cách địa điểm B 60km với vận tốc dự định trước. Sau \(\frac{1}{3}\) quãng đường, do điều kiện thời tiết không thuận lợi nên trên quãng đường còn lại người đó phải đi với vận tốc ít hơn so với vận tốc ban đầu là 10 km/h. Tính vận tốc dự định và thời gian người đó đã đi từ A đến B, biết người đó đến muộn so với dự định 20 phút.

Đáp án:

     ( Đề thi tuyển sinh vào 10 - Hà Tĩnh  - 2017)

20 phút \(=\frac{1}{3}\) giờ

Gọi vận tốc dự định của người đó là x (km/h, x > 10)

Thời gian dự định đi quãng đường AB là: \(\frac{60}{x}\) (giờ)

Quãng đường mà người đó đi với vận tốc dự định là:     \(60.\frac{1}{3}=20\left(km\right)\)

Thời gian đi quãng đường ban đầu là:   \(\frac{20}{x}\) (giờ)

Quãng đường còn lại là:                 60 - 20 = 40 (km)

Vận tốc thực của xe máy khi đi quãng đường còn lại là: x - 10 (km/h)

Thời gian xe đi quãng đường còn lại là:    \(\frac{40}{x-10}\)

Tổng thời gian để xe đi quãng đường AB là: \(\frac{20}{x}+\frac{40}{x-10}\) (giờ)

Theo bài ra ta có phương trình: \(\frac{20}{x}+\frac{40}{x-10}-\frac{1}{3}=\frac{60}{x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{-40}{x}+\frac{40}{x-10}-\frac{1}{3}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-120\left(x-10\right)+120x-x\left(x-10\right)}{3x\left(x-10\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow-120\left(x-10\right)+120x-x\left(x-10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-10x-1200=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=40\left(tm\right)\\x=-30\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy vận tốc dự định của người đó la 40 km/h.

Thời gian người đó đi từ A đến B là \(\frac{20}{40}+\frac{40}{40-10}=\frac{11}{6}\) (giờ) = 1 giờ 50 phút.

                 


Câu 5 (1 điểm):

Một ô tô dự định đi từ bến xe A đến bến xe B cách nhau 90km với vận tốc không đổi. Tuy nhiên ô tô khởi hành muộn 12 phút so với dự định. Để đến bán xe B đúng giờ, xe đã tăng vận tốc thêm 5 km/h so với dự định. Tính vận tốc dự định của ô tô.

Đáp án:

             (Đề thi tuyển sinh vào 10 - Ninh Bình - 2017)

12 phút = \(\frac{1}{5}\) giờ

Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h, x > 0)

Thời gian dự định đi từ bến xe A đến bến xe B là \(\frac{90}{x}\) (giờ)

Vận tốc thực của ô tô là x + 5 (km/h)

Thời gian di chuyển thực tế của ô tô là \(\frac{90}{x+5}\) (giờ)

Theo bài ra ta có phương trình:         \(\frac{90}{x}-\frac{90}{x+5}=\frac{1}{5}\)

\(\Leftrightarrow\frac{90}{x}-\frac{90}{x+5}-\frac{1}{5}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{450\left(x+5\right)-450x-x\left(x+5\right)}{5x\left(x+5\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow450\left(x+5\right)-450x-x\left(x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x-2250=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=45\left(tm\right)\\x=-50\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy vận tốc dự định của ô tô là 45 km/h.

 


Câu 6 (1 điểm):

Một cano xuôi dòng một khúc sông dài 40 km, rồi ngược dòng khúc sông ấy mất tổng cộng 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc thực của cano (khi nước yên lặng) biết vận tốc dòng nước là 2 km/h.

Đáp án:

          (Đề thi tuyển sinh vào 10 - Phú Yên - 2017)

4 giờ 30 phút = \(\frac{9}{2}\) giờ.

Gọi vận tốc thực của cano là x (km/h, x > 2)

Vận tốc của cano khi xuôi dòng là  x + 2 (km/h)

Vận tốc của cano khi ngược dòng là x - 2 (km/h)

Thời gian cano đi xuôi dòng là \(\frac{40}{x+2}\) (giờ)

Thời gian cano đi ngược dòng là \(\frac{40}{x-2}\) (giờ)

Theo bài ra ta có phương trình \(\frac{40}{x-2}+\frac{40}{x+2}=\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{40}{x-2}+\frac{40}{x+2}-\frac{9}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{80\left(x+2\right)+80\left(x-2\right)-9\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{2\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow80\left(x+2\right)+80\left(x-2\right)-9\left(x+2\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow80x+160+80x-160-9x^2+36=0\)

\(\Leftrightarrow-9x^2+160x+36=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=18\left(tm\right)\\x=-\dfrac{2}{9}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy vận tốc thực của cano là 18 km/h.


Câu 7 (1 điểm):

Cho quãng đường AB dài 300 km. Cùng một lúc xe ô tô xuất phát từ A đến B, xe ô tô thứ hai đi từ B về A. Sau khi xuất phát 3 giờ thì hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe biết thời gian đi cả quãng đường AB của xe thứ nhất nhiều hơn xe thứ hai là 2 giờ 30 phút.

Đáp án:

   (Đề thi tuyển sinh vào 10 - THPT Chuyên Thái Bình ( Toán chung) - 2017)

2 giờ 30 phút = \(\frac{5}{2}\) giờ

Do hai xe chạy ngược chiều, gặp nhau sau 3 giờ nên tổng vận tốc hai xe là:

                     300 : 3 - 100 (km/h)

Gọi vận tốc xe thứ nhất là x (km/h, 100 > x > 0) 

Vận tốc xe thứ hai là 100 - x (km/h)

Thời gian ô tô thứ nhất đi cả quãng đường AB là \(\frac{300}{x}\)(giờ)

Thời gian ô tô thứ hai đi cả quãng đường AB là \(\frac{300}{100-x}\)  (giờ)

Theo bài ra ta có phương trình  \(\frac{300}{x}-\frac{300}{100-x}=\frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{300}{x}-\frac{300}{100-x}-\frac{5}{2}=0\)

\(\Rightarrow\frac{600\left(100-x\right)-600x-5x\left(100-x\right)}{2x\left(100-x\right)}=0\)

\(\Rightarrow600\left(100-x\right)-600x-5x\left(100-x\right)=0\)

\(\Rightarrow5x^2-1700x+60000=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=40\left(tm\right)\\x=300\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy vận tốc xe thứ nhất là 40 km/h.

Vận tốc xe thứ hai là : 100 - 40 = 60 (km/h)


Câu 8 (1 điểm):

Hai vật chuyển động với vận tốc không đổi trên một đường tròn có bán kính là 20 m, xuất phát từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động ngược chiều thì sau 4 giây lại gặp nhau. Hãy tính vận tốc của mỗi vật?

Đáp án:

        (Đề thi tuyển sinh vào 10 - THPT chuyên Hoàng Văn Thụ, Hòa Bình - 2017)

Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là x và y (km/h, x, y > 0)

Chu vi đường tròn là \(2\pi.20=40\pi\left(m^2\right)\)

Tổng vận tốc của hai vật là \(\dfrac{40\pi}{4}=10\pi\) (km/h)

Hiệu vận tốc hai vật là \(\dfrac{40\pi}{20}=2\pi\) (km/h)

Theo bài ra ta có hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=10\pi\\x-y=2\pi\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=10\pi\\2x=12\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=10\pi\\x=6\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\pi\\y=4\pi\end{matrix}\right.\)(tm)

Vậy vận tốc hai vật lần lượt là \(6\pi\) km/h và \(4\pi\) km/h.

Link bài học:
Thảo luận
1

Bài 1: Căn thức và rút gọn biểu thức

 1. Bài giảng: Căn bậc hai

 2. Tài liệu: Căn bậc hai

 3. Căn bậc hai, căn bậc ba

 4. Rút gọn biểu thức - Cơ bản

 5. Rút gọn biểu thức - Nâng cao

 6. Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 7. Tài liệu: Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 8. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

 9. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 10. Phân tích đa thức thành nhân tử

 11. Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

 12. Rút gọn biểu thức có chứa căn

2

Bài 2: Phương trình

 1. Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 2. Tài liệu : Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 4. Tài liệu: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 5. Giải phương trình bậc nhất

 6. Giải phương trình bậc hai

 7. Phương trình quy về bậc hai

 8. Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 9. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 10. Phương trình vô tỷ

3

Bài 3: Hàm số

 1. Hàm số, Đồ thị

 2. Hàm số bậc nhất

 3. Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số

 4. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax^2 (a khác 0)

 5. Xác định tham số để điểm thuộc đồ thị

 6. Vị trí tương đối của các đồ thị hàm số

 7. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

 8. Một số bài tập tự luận

4

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

 4. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

 6. Một số bài tập tự luận

5

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

 1. Định lí Viet

 2. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 4. Lập phương trình bậc hai biết các nghiệm của nó.

 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

 6. Các biểu thức đối xứng của hai nghiệm phương trình bậc hai.

 7. Luyện tập chung

 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

 9. Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho

 10. Bắc Giang, Bắc Ninh, Bình Định, Bình Dương

 11. Cà Mau, Cần Thơ, Đắc Lắc, Đà Nẵng, Đồng Nai

 12. Hải Dương, Hà Nam, Hà Nội

 13. Hà Tĩnh, Hòa Bình, Hưng Yên, Hải Phòng

 14. Khánh Hòa, Kiên Giang, Kon Tum, Lạng Sơn, Lào Cai, Long An

 15. Tp Hồ Chí Minh, Thanh Hóa, Thái Bình, Thái Nguyên, Thừa Thiên Huế, Trà Vinh

 16. Nam Định, Ninh Bình, Nghệ An

 17. Phú Thọ, Quảng Bình, Quảng Ninh, Quảng Ngãi

6

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 2. Tài liệu: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 3. Toán chuyển động

 4. Toán năng suất, số lượng

 5. Toán làm chung làm riêng

 6. Toán có nội dung hình học

 7. Toán về phần trăm

 8. Một số dạng toán khác

7

Bài 7: Bất đẳng thức

 1. Bất đẳng thức

 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứng minh BĐT

 3. Bất đẳng thức Cô si (p.1)

 4. Bất đẳng thức Cô si (p.2)

 5. Bất đẳng thức Cô si (p3)

 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.1)

 7. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.2)

 8. Thanh Hóa, Quảng Bình, Nghệ An, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hỏa Bình

 9. Bình Định, Hà Tĩnh, Hà Nội, Hà Nam, Hải Phòng, Bắc Giang

8

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

 1. GTLN, GTBN của tam thức bậc hai

 2. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

 3. GTLN, GTNN (p1)

 4. GTLN,GTNN (p2)

 5. Yên Bái, Bà Rịa Vũng Tàu, Vĩnh Phúc, Tuyên Quang, Thái Bình, Quảng Ninh

 6. Quảng Ngãi, Phú Thọ, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hòa Bình, Hà Tĩnh, Ninh Bình, Bắc Ninh Thanh Hóa

 7. Bắc Giang, Hà Nam, Bà Rịa Vũng Tàu, Hà Nội, Hà Tĩnh, Hải Phòng, Đăc Lắc