Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Đề bài

Câu 1

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

             \(11x+18y=120\)

 

Hướng dẫn giải:

Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn điều kiện của phương trình trên đề bài.

​Ta thấy \(120⋮6;18y⋮6\Rightarrow11x⋮6\Rightarrow x⋮6\)

Đặt x = 6k ( k nguyên). Thay vào phương trình ta có:

\(11.6k+18y=120\Leftrightarrow11k+3y=20\Rightarrow y=\dfrac{20-11k}{3}\)\(=7-4k+\dfrac{k-1}{3}\)

y nguyên nên \(\dfrac{k-1}{3}\in Z\) . Đặt \(\dfrac{k-1}{3}=t\Rightarrow k=3t+1\)

Từ đó ta có : \(y=7-4\left(3t+1\right)+t=3-11t\)

\(x=6k=6\left(3t+1\right)=18t+6\)

Thay trở lại phương trình đề bài, nghiệm đúng.

Vậy các nghiệm nguyên của phương trình trên được biểu thị bởi công thức:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=18t+6\\y=3-11t\end{matrix}\right.\left(t\in Z\right)\)

Chú ý: Cho phương trình dạng tổng quát:

 \(ax+by=c\left(a\ne0;b\ne0;a,b,c\in Z\right)\)

Phương trình trên có nghiệm nguyên khi \(\left(a;b\right)\) | c

Câu 1

Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình \(10x+13y=16\)

 

Hướng dẫn giải:

Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn điều kiện của phương trình trên đề bài.

​Ta thấy \(10x⋮2;16⋮2\Rightarrow11y⋮2\Rightarrow y⋮2\)

Đặt \(y=2t\left(t\in Z\right)\) , ta có :

\(10x+26t=16\Leftrightarrow5x+13t=8\Rightarrow x=\dfrac{8-13t}{7}\)

\(=\dfrac{7-14t+1+t}{7}=1-2t+\dfrac{1+t}{7}\)

Do x nguyên nên \(\dfrac{1+t}{7}\in Z\)

Đặt \(\dfrac{1+t}{7}=u\Rightarrow t=7u-1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1-2\left(7u-1\right)+u=3-13u\\y=2t=2\left(7u-1\right)=14u-2\end{matrix}\right.\)

Thử lại vào phương trình trên đề bài : thỏa mãn.

Vậy nghiệm nguyên của phương trình được biểu diễn theo công thức:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=3-13u\\y=14u-2\end{matrix}\right.\left(u\in Z\right)\)

Câu 1

Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

\(2x+13y=156\)

 

Hướng dẫn giải:

Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn điều kiện của phương trình trên đề bài.

​Ta thấy \(156⋮13;13y⋮13\Rightarrow2x⋮13\Rightarrow x⋮13\)

Đặt \(x=13t\left(t\in Z\right)\), thay vào phương trình ta có:

\(26t+13y=156\Leftrightarrow2t+y=12\Rightarrow y=12-2t\)

Thử lại vào phương trình của đề bài : thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm nguyên của phương trình được biểu diễn dưới dạng công thức tổng quát:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=13t\\y=12-2t\end{matrix}\right.\left(t\in Z\right)\)

Câu 1

Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

\(2x+3y=11\)

 

Hướng dẫn giải:

​Ta sử dụng phương pháp tìm một nghiệm riêng của phương trình.

Phương trình đã cho là:    2x + 3y = 11 (*)

Ta thấy phương trình trên có 1 nghiệm nguyên là \(\left\{{}\begin{matrix}x_0=4\\y_0=1\end{matrix}\right.\)

Khi đó ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=11\\2.4+3.1=11\end{matrix}\right.\)

Trừ cùng vế hai phương trình trong hệ trên ta có:

\(2\left(x-1\right)+3\left(y-1\right)=0\Rightarrow2\left(x-1\right)=-3\left(y-1\right)\)

Do VT chia hết cho 2 nên VP cũng phải chia hết cho 2. Vậy thì \(-3\left(y-1\right)⋮2\Rightarrow\left(y-1\right)⋮2\)

Đặt \(\dfrac{y-1}{2}=t\left(t\in Z\right)\Rightarrow y=2t+1\)

\(\Rightarrow x=4-3t\)

Thử lại vào phương trình (*) thấy thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm nguyên của phương trình đã cho được biểu diễn bởi công thức tổng quát:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=4-3t\\y=2t+1\end{matrix}\right.\left(t\in Z\right)\)

Bài làm

Hãy đăng nhập để làm bài!

Đăng nhập

00:00:00
Hãy sử dụng trình duyệt Chrome để không bị lỗi trong quá trình học tâp