Câu 1 (1 điểm):

Cho phương trình   \(mx^2-2\left(m+2\right)x+\left(m-3\right)=0\).

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm.

b) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm \(x_1,x_2\) không phụ thuộc vào m.

 

Hướng dẫn giải:

​a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là   \(m\ne0\) và \(\Delta'=7m+4\ge0\), tức là

\(-\dfrac{4}{7}\le m< 0;0< m< +\infty\).

b) Theo Viet ta có        \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m+4}{m}=2+\dfrac{4}{m}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m}=1-\dfrac{3}{m}\end{matrix}\right.\). Khử m từ hệ này bằng cách tính \(\dfrac{1}{m}\) theo \(x_1+x_2\)  rồi thế vào biểu thức  \(x_1x_2\). Ta được hệ thức giữa \(x_1,x_2\) không phụ thuộc m:

                                            \(3\left(x_1+x_2\right)+4x_1x_2=10\)


Câu 2 (1 điểm):

Cho phương trình   \(mx^2-2\left(m+2\right)x+\left(m-3\right)=0\).

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm.

b) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm \(x_1,x_2\) không phụ thuộc vào m.

 

Hướng dẫn giải:

​a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là   \(m\ne0\) và \(\Delta'=7m+4\ge0\), tức là

\(-\dfrac{4}{7}\le m< 0;0< m< +\infty\).

b) Theo Viet ta có        \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m+4}{m}=2+\dfrac{4}{m}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m}=1-\dfrac{3}{m}\end{matrix}\right.\). Khử m từ hệ này bằng cách tính \(\dfrac{1}{m}\) theo \(x_1+x_2\)  rồi thế vào biểu thức  \(x_1x_2\). Ta được hệ thức giữa \(x_1,x_2\) không phụ thuộc m:

                                            \(3\left(x_1+x_2\right)+4x_1x_2=10\)


Câu 3 (1 điểm):

Cho phương trình  \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+3=0\).

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm.

b) Với các giá trị m tìm được ở trên, tìm một hệ thức giữa hai nghiệm \(x_1,x_2\) không phụ thuộc m.

 

Hướng dẫn giải:

​a) \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2-3=2m-2\ge0\Leftrightarrow m\ge1\).

b) Theo Viet ta có   

                       \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{x_1+x_2-2}{2}\\x_1x_2=m^2+3\end{matrix}\right.\)

Suy ra      \(x_1x_2=\left(\dfrac{x_1+x_2-2}{2}\right)^2+3\Leftrightarrow\left(x_1+x_2-2\right)^2-4x_1x_2+12=0\)


Câu 4 (1 điểm):

Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm    \(x^2+mx+m+1=0\).

Chứng minh rằng với các giá trị tìm được của m, giữa hai nghiệm của phương trình có một hệ thức độc lập với m.

Hướng dẫn giải:

​Phương trình đã cho sẽ có 2 nghiệm khi  \(\Delta=m^2-4m-4=\left(m-2\right)^2-8\ge0\)

\(\Leftrightarrow m-2\ge2\sqrt{2}\) hoặc \(m-2\le-2\sqrt{2}\) hay  \(m\le2-2\sqrt{2};m\ge2+2\sqrt{2}\).

Khi đó, theo Viet ta có    

                   \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=m+1\end{matrix}\right.\)     \(\Rightarrow x_1+x_2+x_1x_2=1\)


Câu 5 (1 điểm):

Cho phương trình  \(x^2+\left(m+4\right)x+\left(2m+3\right)=0\).

a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.

Hướng dẫn giải:

​a)  \(\Delta=\left(m+4\right)^2-4\left(2m+3\right)=m^2+4>0,\forall m\) . Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Theo Viet ta có

                                         \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m-4\\x_1x_2=2m+3\end{matrix}\right.\)

Từ phương trình thứ nhất suy ra  \(m=-x_1-x_2-4\) , thế vào phương trình thứ hai ta có       \(x_1x_2=-2\left(x_1+x_2+4\right)+3\)


Câu 6 (1 điểm):

Cho phương trình  \(x^2+mx+2m-4=0\).

a) Chứng minh rằng với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm.

b) Chứng minh rằng có một hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình độc lập với m.

Hướng dẫn giải:

​a) Phương trình có \(\Delta=\left(m-4\right)^2\ge0,\forall m\). Do đó phương trình luôn có hai nghiệm.

b) Theo Viet ta có   \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\), từ đó \(2\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2=-4\)


Câu 7 (1 điểm):

Cho phương trình  \(x^2-2\left(m+1\right)x+2m+1=0\).

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.

b) Chứng minh rằng khi phương trình có nghiệm thì có một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.

Hướng dẫn giải:

​a)  \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m-1=m^2\ge0,\forall m\). Phương trình luôn có nghiệm.

b) Theo Viet ta có    \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m+1\end{matrix}\right.\), suy ra

                                       \(x_1+x_2-x_1x_2=1\)


Câu 8 (1 điểm):

Cho phương trình     \(mx^2+\left(m-2\right)x+3=0\) . 

Chứng minh rằng nếu phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thì giữa hai nghiệm này có một hệ thức độc lập với m.

Hướng dẫn giải:

​Theo Viet ta có    \(x_1+x_2=\dfrac{-\left(m-2\right)}{m}=-1+\dfrac{2}{m}\) và   \(x_1x_2=\dfrac{3}{m}\). Từ đó

                          \(3\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2=-3\)


Câu 9 (1 điểm):

Cho phương trình    \(\left(m-3\right)x^2-2mx+6m=0\). Chứng minh rằng nếu phương trình có hai nghiệm  \(x_1,x_2\) thì có một hệ thức giữa hai nghiệm này không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn giải:

​Theo Viet ta có   \(x_1+x_2=\dfrac{2m}{m-3}\) và \(x_1x_2=\dfrac{6m}{m-3}\) suy ra

                                          \(3\left(x_1+x_2\right)=x_1x_2\)

Link bài học:
Thảo luận
1

Bài 1: Căn thức và rút gọn biểu thức

 1. Bài giảng: Căn bậc hai

 2. Tài liệu: Căn bậc hai

 3. Căn bậc hai, căn bậc ba

 4. Rút gọn biểu thức - Cơ bản

 5. Rút gọn biểu thức - Nâng cao

 6. Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 7. Tài liệu: Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 8. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

 9. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 10. Phân tích đa thức thành nhân tử

 11. Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

 12. Rút gọn biểu thức có chứa căn

2

Bài 2: Phương trình

 1. Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 2. Tài liệu : Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 4. Tài liệu: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 5. Giải phương trình bậc nhất

 6. Giải phương trình bậc hai

 7. Phương trình quy về bậc hai

 8. Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 9. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 10. Phương trình vô tỷ

3

Bài 3: Hàm số

 1. Hàm số, Đồ thị

 2. Hàm số bậc nhất

 3. Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số

 4. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax^2 (a khác 0)

 5. Xác định tham số để điểm thuộc đồ thị

 6. Vị trí tương đối của các đồ thị hàm số

 7. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

 8. Một số bài tập tự luận

4

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

 4. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

 6. Một số bài tập tự luận

5

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

 1. Định lí Viet

 2. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 4. Lập phương trình bậc hai biết các nghiệm của nó.

 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

 6. Các biểu thức đối xứng của hai nghiệm phương trình bậc hai.

 7. Luyện tập chung

 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

 9. Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho

 10. Bắc Giang, Bắc Ninh, Bình Định, Bình Dương

 11. Cà Mau, Cần Thơ, Đắc Lắc, Đà Nẵng, Đồng Nai

 12. Hải Dương, Hà Nam, Hà Nội

 13. Hà Tĩnh, Hòa Bình, Hưng Yên, Hải Phòng

 14. Khánh Hòa, Kiên Giang, Kon Tum, Lạng Sơn, Lào Cai, Long An

 15. Tp Hồ Chí Minh, Thanh Hóa, Thái Bình, Thái Nguyên, Thừa Thiên Huế, Trà Vinh

 16. Nam Định, Ninh Bình, Nghệ An

 17. Phú Thọ, Quảng Bình, Quảng Ninh, Quảng Ngãi

6

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 2. Tài liệu: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 3. Toán chuyển động

 4. Toán năng suất, số lượng

 5. Toán làm chung làm riêng

 6. Toán có nội dung hình học

 7. Toán về phần trăm

 8. Một số dạng toán khác

7

Bài 7: Bất đẳng thức

 1. Bất đẳng thức

 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứng minh BĐT

 3. Bất đẳng thức Cô si (p.1)

 4. Bất đẳng thức Cô si (p.2)

 5. Bất đẳng thức Cô si (p3)

 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.1)

 7. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.2)

 8. Thanh Hóa, Quảng Bình, Nghệ An, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hỏa Bình

 9. Bình Định, Hà Tĩnh, Hà Nội, Hà Nam, Hải Phòng, Bắc Giang

8

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

 1. GTLN, GTBN của tam thức bậc hai

 2. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

 3. GTLN, GTNN (p1)

 4. GTLN,GTNN (p2)

 5. Yên Bái, Bà Rịa Vũng Tàu, Vĩnh Phúc, Tuyên Quang, Thái Bình, Quảng Ninh

 6. Quảng Ngãi, Phú Thọ, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hòa Bình, Hà Tĩnh, Ninh Bình, Bắc Ninh Thanh Hóa

 7. Bắc Giang, Hà Nam, Bà Rịa Vũng Tàu, Hà Nội, Hà Tĩnh, Hải Phòng, Đăc Lắc