Cho phương trình \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-5=0\).
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có tổng hai nghiệm bằng 6.
a) \(\Delta'=\left(m-2\right)^2+2>0,\forall m\). Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo Viet hai nghiệm của phương trình thỏa mãn \(x_1+x_2=2\left(m-1\right)\).
Nếu hai nghiệm của phương trình có tổng bằng 6 thì \(2\left(m-1\right)=6\Leftrightarrow m=4\).
Đảo lại, nếu m = 4 thì phương trình đã cho là \(x^2-6x+3=0\Leftrightarrow x=3\pm\sqrt{6}\) thỏa mãn điều kiện tổng hai nghiệm bằng 6.
Cho phương trình \(x^2-mx-2\left(m^2+8\right)=0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=52\)
Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt vì có \(\Delta=m^2+8\left(m^2+8\right)>0,\forall m\).
Ta có \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\) nên theo Viet thì
\(x_1^2+x_2^2=m^2+4\left(m^2+8\right)=5m^2+32\)
Yêu cầu bài toán được thực hiện khi \(5m^2+32=52\Leftrightarrow m=\pm2\)
Tìm m để mỗi phương trình sau có hai nghiệm hơn kém nhau 1 đơn vị:
a) \(x^2+5x+m=0\).
b) \(x^2+mx+2=0\).
c) \(x^2-\left(2m+3\right)x+4m+2=0\).
a) Theo Viet , m phải làm cho hệ phương trình hai ẩn \(x_1,x_2\)sau đây có nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=-5\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
Hệ hai phương trình đầu có nghiệm \(x_1=-2,x_2=-3\). Hệ sẽ có nghiệm khi và chỉ khi \(x_1=-2,x_2=-3\) thỏa mãn phương trình cuối tức là \(m=6\).
b) Nếu yêu cầu bài toán được thực hiện thì theo Viet có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=-m\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\)
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left(x_1+x_2\right)^2-\left(x_1-x_2\right)^2=4x_1x_2\) ta được phương trình
\(\left(-m\right)^2-1^2=8\Leftrightarrow m^2=9\Leftrightarrow m=\pm3\).
Đảo lại, nếu \(m=3\)thì phương trình đã cho là \(x^2+3x+2=0\)có 2 nghiệm \(x_1=-1\),
\(x_2=-2\) hơn kém nhau 1 đơn vị.
Nếu \(m=-3\)thì phương trình đã cho là \(x^2-3x+2=0\)có 2 nghiệm \(x_1=2\), \(x_2=1\)
cũng hơn kém nhau 1 đơn vị.
c) Giải tương tự a) có \(m=0;m=1\)
.
Tìm các giá trị của tham số m để mỗi phương trình sau có hai nghiệm, trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia:
a) \(x^2+6x+m=0\).
b) \(x^2+mx+8=0\).
c) \(mx^2-3x+2=0\).
a) Theo Viet và giả thiết ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2x_2\\x_1+x_2=-6\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\). Giải hệ này ta được
\(x_1=-4,x_2=-2,m=8\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2x_2\\x_1+x_2=-m\\x_1x_2=8\end{matrix}\right.\). Từ đó \(m=\pm6\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2x_2\\x_1+x_2=\dfrac{3}{m}\\x_1x_2=\dfrac{2}{m}\end{matrix}\right.\). Từ đó \(m=1\)
