Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 7: Bất đẳng thức

Đề bài

Câu 1

Thanh Hóa 2016 - 2017

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: \(a^2+2b^2\le3c^2\) . Chứng minh rằng: 

                                                                       \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\ge\frac{3}{c}\) 

 

 

Đáp án:

Dễ chứng minh được rằng nếu \(x,y,z\) là ba số dương thì   \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\). Từ đó

                                                \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\) 

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki  và giả thiết \(a^2+2b^2\le3c^2\)ta có :

                           \(\left(a+2b\right)^2=\left(1.a+\sqrt{2}.\sqrt{2}b\right)^2\le\left(1+2\right)\left(a^2+2b^2\right)\le9c^2\)

                                                                     \(\Rightarrow0< a+2b\le3c\)\(\Rightarrow\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\)

Từ đó                    \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\ge\frac{3}{c}\).

Câu 1

Quảng Bình 2015-2016

Cho hai số thực \(x,y\)thỏa mãn điều kiện  \(x>y\) và \(xy=1\). Chứng minh rằng

                                                     \(\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x-y\right)^2}\ge8\)

 

 

Đáp án:

Từ giả thiết suy ra  \(x-y>0\), do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

                                 \(\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{2}\left(x-y\right)\)

                                                                      \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+2xy-2\sqrt{2}\left(x-y\right)\ge0\)

                                                                        \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+2-2\sqrt{2}\left(x-y\right)\ge0\)  (do giả thiết \(xy=1\))

                                                                        \(\Leftrightarrow\left(x-y-\sqrt{2}\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức sau cùng đúng, suy ra đpcm

Câu 1

Nghệ An 2016-2017

Cho ba số thực \(a,b,c\) thỏa mãn các điều kiện  \(0\le a,b,c\le1\)và \(a+b+c\ge2\). Chứng minh rằng

                                         \(ab\left(a+1\right)+bc\left(b+1\right)+ca\left(c+1\right)\ge2\)

 

Đáp án:

- Từ giả thiết \(0\le a,b,c\le1\) suy ra \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\Rightarrow ab\ge a+b-1\)    (1)

- Mặt khác do giả thiết   \(0\le a,b,c\le1\)và  \(a+b+c\ge2\) nên 

                                                 \(a+b-1=\left(a+b+c\right)-\left(c+1\right)\ge0\)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra      \(ab\ge a+b-1\ge0\), do đó

                         \(ab\left(a+1\right)=ab.a+ab\ge\left(a+b-1\right)a+ab\)

                                         \(\Rightarrow ab\left(a+1\right)\ge a^2+2ab-a\)

- Tương tự                              \(bc\left(b+1\right)\ge b^2+2bc-b\)  và    \(ca\left(c+1\right)\ge c^2+2ca-c\).

- Từ đó       \(ab\left(a+1\right)+bc\left(b+1\right)+ca\left(c+1\right)\ge\)\(\left(a+b+c\right)^2-\left(a+b+c\right)\)

                                                                                                        \(=\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-1\right)\)   (3)

- Mà theo giả thiết  \(a+b+c\ge2\) nên  \(a+b+c-1\ge1\), suy ra  

                                                    \(\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-1\right)\ge2.1=2\)   (4)

Từ (3) và (4) suy ra     \(ab\left(a+1\right)+bc\left(b+1\right)+ca\left(c+1\right)\ge2\).

Câu 1

Nghệ An 2015-2016

Cho \(x,y\)là hai số dương thỏa mãn điều kiện   \(x+y\ge3\). Chứng minh rằng 

                                                     \(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge\frac{9}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Đáp án:

- Vì \(x,y>0\)và ​ \(x+y\ge3\) nên

​    \(2\left(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\right)=\left(x+y\right)+\left(x-2+\frac{1}{x}\right)+\left(y-4+\frac{4}{y}\right)+6\)

                                                  \(=\left(x+y\right)+\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\frac{2}{\sqrt{y}}\right)^2+6\ge9\)

Từ đó                                                 \(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge6\).

- Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\\\sqrt{y}=\dfrac{2}{\sqrt{y}}\\x+y=3\end{matrix}\right.\)  tức là   \(x=1;y=2\)

                                                         

Câu 1

Nghệ An 2014-2015

Cho \(x,y,z\)là ba số dương thỏa mãn điều kiện  \(x+y\le z\). Chứng minh rằng 

                                  \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge\frac{27}{2}\)

Đáp án:

- Ta có  

   \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)=3+\frac{x^2+y^2}{z^2}+z^2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)\)

                                                                        \(\ge5+\frac{x^2+y^2}{z^2}+z^2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)

                                                                        \(=5+\left(\frac{x^2}{z^2}+\frac{z^2}{16x^2}\right)+\left(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{16y^2}\right)+\frac{15z^2}{16}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)

                                                                       \(\ge5+2.\frac{1}{4}+2.\frac{1}{4}+\frac{15z^2}{16}.\frac{2}{xy}\) (áp dụng Cô si ba lần)

                                                                       \(\ge6+\frac{15z^2}{16}.\frac{2}{\left(\frac{x+y}{2}\right)^2}\)  (áp dụng Cô si)

 

                                                                       \(=6+\frac{15}{2}\left(\frac{z}{x+y}\right)^2\)

                                                                        \(\ge6+\frac{15}{2}.1^2\)                ( do giả thiết \(x+y\le z;x,y>0\) )     

Do đó          \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge\frac{27}{2}\).                                                                            

Câu 1

Nghệ An 2013-2014

Cho \(a,b,c\)là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(a+b+c=1\). Chứng minh rằng

                                                       \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{1}{2}\)

 

Đáp án:

- Theo Cô si có   \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge a\Rightarrow\frac{a^2}{a+b}\ge a-\frac{a+b}{4}\);

Tương tự,   \(\frac{b^2}{b+c}\ge b-\frac{b+c}{4}\)  và    \(\frac{c^2}{c+a}\ge c-\frac{c+a}{4}\).

- Cộng theo vế ba bất đẳng thức nhận được ta có  

                                    \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\).

Suy ra đpcm

Câu 1

Lạng Sơn 2015-2016

Cho \(x,y\)là hai số dương thở mãn điều kiện  \(2x+3y=5\). Chứng minh rằng

                                            \(\sqrt{xy+2x+2y+4}+\sqrt{\left(2x+2\right)y}\le5\)

 

Đáp án:

 

- Kí hiệu \(P\)là vế trái bất đẳng thức cần chứng minh, ta thấy 

                         \(P=\sqrt{xy+2x+2y+4}+\sqrt{\left(2x+2\right)y}\)  

                            \(=\sqrt{3}.\sqrt{\frac{xy+2x+2y+4}{3}}+\sqrt{2}.\sqrt{\left(x+1\right)y}\)

- Do đó, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

                         \(P^2\le\left(3+2\right)\left(\frac{xy+2x+2y+4}{3}+\left(x+1\right)y\right)\)

                                 \(=5\left(\frac{4xy+2x+5y+4}{3}\right)\)

                                  \(=\frac{5}{3}.\left(2x+3y+4+4xy+2y\right)\)

                                   \(=\frac{5}{3}\left(9+4xy+2y\right)\) (do giả thiết \(2x+3y=5\))

- Do đó. đpcm \(\Leftrightarrow P^2\le25\Leftrightarrow4xy+2y\le6\Leftrightarrow y\left(2x+1\right)\le3\) (*)

- Để chứng minh (*) , chú ý giả thiết  \(2x+3y=5\Leftrightarrow\left(2x+1\right)+3y=6\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được                                                    \(6=\left(2x+1\right)+3y\ge2\sqrt{\left(2x+1\right)3y}\)

                                                                                 \(\Leftrightarrow3\ge\sqrt{\left(2x+1\right)3y}\)

                                                                                  \(\Leftrightarrow3\ge\left(2x+1\right)y\)    (*)

(đpcm)

Câu 1

Hưng Yên 2015-2016

Cho \(a,b,c\) là ba số lớn hơn 1. Chứng minh rẳng  

                                    \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12\)

 

Đáp án:

- Từ giả thiết suy ra    \(a-1,b-1,c-1>0\). Từ đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki - Svac

                                           \(\frac{x^2}{\alpha}+\frac{y^2}{\beta}+\frac{z^2}{\gamma}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\alpha+\beta+\gamma}\)  ( với \(x,y,z\)tùy ý; \(\alpha,\beta,\gamma>0\))

ta có                             \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\).

- Bài toán quy về chứng minh                                  \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\ge12\)  (*)

Đặt   \(u=a+b+c-3\) thì giả thiết \(a,b.c>1\)suy ra  \(u>0\) và

               \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}=\frac{\left(u+3\right)^2}{u}=\frac{u^2+6u+9}{u}=6+\left(u+\frac{9}{u}\right)\ge6+2.3\)

suy ra (*), (đpcm)

Câu 1

Hòa Bình 2015-2016

Cho \(a,b,c\)là ba số thở mãn các điều kiện   \(0\le a,b,c\le2\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng

                                                                        \(a^2+b^2+c^2\le5\)

Đáp án:

-  Sử dụng giả thiết  \(a+b+c=3\), ta có 

           \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=9-2\left(ab+bc+ca\right)\)

Do đó                đpcm  \(\Leftrightarrow9-2\left(ab+bc+ca\right)\le5\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge2\) (*)

- Lại do giả thiết  \(0\le a,b,c\le2\) suy ra

                                      \(\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)

                  \(\Leftrightarrow8-4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)-abc\ge0\)

                  \(\Leftrightarrow-4+2\left(ab+bc+ca\right)-abc\ge0\)

                  \(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge abc+4\)

                   \(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge4\)    (do  \(abc\ge0\))

                   \(\Rightarrow\)(*)  , đpcm

Bài làm

Hãy đăng nhập để làm bài!

Đăng nhập

00:00:00