Câu 1 (1 điểm):

Cho ba số \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện  \(z\ge y\ge x\ge0\). Chứng minh rẳng

           \(x\left(x-y\right)\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)\left(y-x\right)+z\left(z-x\right)\left(z-y\right)\ge0\)

Đáp án:

- Từ giả thiết  \(z\ge y\ge x\ge0\) suy ra   \(x\left(x-y\right)\left(x-z\right)\ge0\)  (1).

- Hai số hạng còn lại của vế trái bất đẳng thức cần chứng minh có nhân tử chung  \(z-y\ge0\) (2)   và ta có 

           \(y\left(y-z\right)\left(y-x\right)+z\left(z-x\right)\left(z-y\right)=\left(z-y\right)\left\{z\left(z-x\right)-y\left(y-x\right)\right\}\)   (3)

Mà  \(z\ge y\ge x\ge0\) nên   \(z\ge y\ge0\) và \(z-x\ge y-x\ge0\), từ đó  

                         \(z\left(z-x\right)\ge y\left(y-x\right)\)nên     \(\left\{z\left(z-x\right)-y\left(y-x\right)\right\}\ge0\)  (4)

- Từ (2) và (4) suy ra  \(\left(z-y\right)\left\{z\left(z-x\right)-y\left(y-x\right)\right\}\ge0\), kết hợp với (3) suy ra 

                              \(y\left(y-z\right)\left(y-x\right)+z\left(z-x\right)\left(z-y\right)\ge0\) (5).

Từ (1) và (5) suy ra đpcm.

 


Câu 2 (1 điểm):

Cho a, b  là hai số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

1)  \(a^2-ab+b^2\ge0\). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

2) \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\). Khi nào xảy ra đẳng thức?

Đáp án:

1)  Có \(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(4a^2-4ab+4b^2\right)=\frac{1}{4}\left(2a-b\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\)..

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}b=0\\2a-b=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=0\) .

2) Có      \(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(4a^2-4ab+4b^2\right)=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\)\(\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b\).


Câu 3 (1 điểm):

Cho a, b, c là ba số dương thay đổi luôn có tổng bằng 3.  Chứng minh rằng

\(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge3\)

Đáp án:

-Ta có 

                           \(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\).

Trương tự    \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left(b+c\right)\)  và    \(\sqrt{c^2-ca+ca}\ge\frac{1}{2}\left(c+a\right)\) . Từ đó  

\(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\)  \(\frac{1}{2}\left(a+b+b+c+c+a\right)\) 

                                                                                                                        \(=\left(a+b+c\right)=3\)              

Vậy    \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge3\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

\(a=b=c=\frac{a+b+c}{3}=1\)


Câu 4 (1 điểm):

Cho \(x,y\) là hai số thực tùy ý. Chứng minh rằng    \(x^2+y^2+xy-3x-3y+3\ge0\)

Đáp án:

Ta có         \(x^2+y^2+xy-3x-3y+3=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+xy+1-x-y\)

                                                                                 \(=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x-1\right)\left(y-1\right)\)\(\ge0\)

(do   \(a^2+ab+b^2=\frac{1}{4}\left(4a^2+4ab+4b^2\right)=\frac{1}{4}\left(2a+b\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\) )

                                                                                   

 


Câu 5 (2 điểm):

Cho ba số dương \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\)      . Chứng minh rằng

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)

Đáp án:

- Giả thiết đã cho tương đương với    \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\).          (1)

- Ta có   \(\left(\frac{1}{a}-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+1\ge\frac{2}{a}\),    nên   \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-3\)    (2)

- Lại có \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\) nên   \(2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)      (3)

- Cộng (2) và (3) theo vế  và sử dụng (1)  ta có    

\(3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-3\) \(=2.6-3=9\) 

Suy ra      \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)


Câu 6 (2 điểm):

Cho \(0\le a,b,c\le2\) và  \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng  \(a^2+b^2+c^2\le5\)

Đáp án:

- Từ giả thiết suy ra \(2-a\ge0,2-b\ge0,2-c\ge0\) , suy ra     \(\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow8-4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)-abc\ge0\) (1)

- Mà   \(a+b+c=3\)nên  (1) tương đương với   \(2\left(ab+bc+ca\right)\ge4+abc\)

hay     \(\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4+abc\) \(\Leftrightarrow3^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4+abc\).

Từ đó      \(a^2+b^2+c^2\le5-abc\le5\)

Do đó   \(a^2+b^2+c^2\le5\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong ba số a, b, c có một số bằng 2, một số bằng 1, một số bằng 0.

 

 


Câu 7 (2 điểm):

Cho \(a,b,c\) là ba số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng     

\(\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\le1\)

Đáp án:

- Có \(\left(a^3-b^3\right)\left(a^2-b^2\right)=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a+b\right)\ge0\). Do đó

                                 \(a^5+b^5\ge a^2b^2\left(a+b\right)>0\)

Từ đó      \(a^5+b^5+ab\ge a^2b^2\left(a+b\right)+ab\). Vì vậy

\(\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\le\frac{ab}{a^2b^2\left(a+b\right)+ab}.\frac{c^2}{c^2}\)\(=\frac{abc^2}{a^2b^2c^2\left(a+b\right)+abc^2}=\frac{c}{\left(a+b\right)+c}\)(do giả thiết \(abc=1\)).   

Như vậy      \(\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\le\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)


Câu 8 (1 điểm):

Cho \(x,y\)là hai số thực lớn hơn \(\sqrt{2}\). Chứng minh rằng 

                          \(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4>x^2+y^2\)

Đáp án:

Nhân hai vế bất đẳng thức cần chứng minh với \(x+y\) ta được bất đẳng thức tương đương là

                                \(x^5+y^5>\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\)  (1)

Từ giả thiết \(x>\sqrt{2}\)suy ra  \(x^2>2\Rightarrow x^5>2x^3\), từ đó   \(x^5+y^5>2\left(x^3+y^3\right)=2\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y\right)\)

                                                 \(=\left(\left(x-y\right)^2+\left(x^2+y^2\right)\right)\left(x+y\right)\)

                                                   \(\ge\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\Rightarrow\)(1) , điều phải chứng minh.


Câu 9 (1 điểm):

Chứng minh rằng với mọi số thực \(x\), luôn có    \(4x^8-2x^7+x^6-3x^4+x^2-x+1>0\)

Đáp án:

Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh là    \(x^6\left(x-1\right)^2+3\left(x^4-\frac{1}{2}\right)^2+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\). Từ đó suy ra đpcm.


Câu 10 (1 điểm):

Cho \(0\le x,y,z,t\le1\). Chứng minh rằng

                                              \(\frac{x}{yzt+1}+\frac{y}{ztx+1}+\frac{z}{txy+1}+\frac{t}{xyz+1}\le3\)

Đáp án:

-Trong 4 số \(yzt+1,ztx+1,txy+1,xyz+1\) luôn tìm được số nhỏ nhất. Đặt \(m\) là số nhỏ nhất trong bốn số đó. Như vậy   \(\frac{x}{yzt+1}+\frac{y}{ztx+1}+\frac{z}{txy+1}+\frac{t}{xyz+1}\le\frac{x+y+z+t}{m}\)

-Mặt khác, vì \(0\le x,y,z,t\le1\) nên  \(xyz\ge xyzt;yzt\ge xyzt;ztx\ge xyzt;txy\ge xyzt\)  suy ra   \(m\ge xyzt+1\)

từ đó   \(\frac{x}{yzt+1}+\frac{y}{ztx+1}+\frac{z}{txy+1}+\frac{t}{xyz+1}\le\frac{x+y+z+t}{m}\le\frac{x+y+z+t}{xyzt+1}\) (1)

- Lại chú ý rằng \(0\le x,y,z,t\le1\) suy ra  \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow x+y\le1+xy\), tương tự

\(z+t\le1+zt\) \(\Rightarrow x+y+z+t\le2+xy+zt\) (2).

Mà  \(0\le xy,zt\le1\Rightarrow xy+zt\le1+xyzt\) (3)

- Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm.


Câu 11 (1 điểm):

Chứng minh rằng với mọi số thực \(x\) luôn có   \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)+1\ge0\)

Đáp án:

Chú ý rằng  \(1+4=2+3\), ta đặt  \(t=\left(x-1\right)\left(x-4\right)=x^2-5x+4\) thì 

                                    \(\left(x-2\right)\left(x-3\right)=x^2-5x+6=t+2\)

từ đó    \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)+1=t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1=\left(t+1\right)^2\ge0\)

Dẳng thức chỉ xảy ra khi \(t=-1\Leftrightarrow x^2-5x+4=-1\Leftrightarrow x^2-5x+5=0\Leftrightarrow x=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}\)


Câu 12 (1 điểm):

Cho \(x,y\)là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng  \(\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\ge9\)

Đáp án:

Chú ý rằng  \(x+y=1\)nên   \(\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)-9=\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)-9xy}{xy}=\frac{2-8xy}{xy}\)  

                                                                         \(=\frac{2\left(1-4xy\right)}{xy}=\frac{2\left(\left(x+y\right)^2-4xy\right)}{xy}=\frac{2\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\).

Đấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)


Câu 13 (1 điểm):

Cho \(x+y>1\). Chứng minh rằng \(x^4+y^4>\frac{1}{8}\)

Đáp án:

Trước hế ta chứng minh rằng nếu \(a+b>k\) ( \(k>0\)) thì   \(a^2+b^2>\frac{k^2}{2}\).

Thật vậy từ giả thiết suy ra  \(\left(a+b\right)^2>k^2\). Từ đó  \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a-b\right)^2+\left(a+b\right)^2>k^2\), suy ra

\(a^2+b^2>\frac{k^2}{2}\)  (đpcm).

Áp dụng kết quả trên liên tiếp 2 lần  ta có

                             \(x+y>1\Rightarrow x^2+y^2>\frac{1}{2}\Rightarrow x^4+y^4>\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}=\frac{1}{8}\)

 


Câu 14 (1 điểm):

Chứng minh rằng với mọi bộ ba số khác 0 tùy ý \(a,b,c\) luôn có

                                              \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)

Đáp án:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   \(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

Xét dấu hiệu         \(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)-2\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\right)=\)

                                                           \(=\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}-\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{a}-\frac{a}{b}\right)^2\ge0\).

Từ đó suy ra đpcm


Câu 15 (1 điểm):

Cho \(a,b,c\)là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng  \(abc\ge\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\)

Đáp án:

Vì  \(a,b,c\)là độ dài ba cạnh của một tam giác nên  \(a+b-c>0,c+a-b>0,b+a-c>0\). Từ đó

                           \(0< \left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)=b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\)

Như vậy              \(0< \left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le b^2\)

                            \(0< \left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le c^2\)

                            \(0< \left(c+a-b\right)\left(a+c-b\right)\le a^2\)

Nhân theo vế ba bất đẳng thức này ta được   \(\left(a+b-c\right)^2\left(b+c-a\right)^2\left(c+a-b\right)^2\le a^2b^2c^2\)

Khai căn bậc hai hai vế ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chi tam giác đều.


Câu 16 (1 điểm):

Chứng minh rằng  \(x^8-x^7+x^2-x+1>0,\forall x\)

Đáp án:

- Nếu \(x< 1\)thì  \(x^8-x^7+x^2-x+1=x^8+x^2\left(1-x^5\right)+\left(1-x\right)>0\)

- Nếu \(x\ge1\)thì \(x^8-x^7+x^2-x+1=x^7\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)+1>0\)

Link bài học:
Thảo luận
1

Bài 1: Căn thức và rút gọn biểu thức

 1. Bài giảng: Căn bậc hai

 2. Tài liệu: Căn bậc hai

 3. Căn bậc hai, căn bậc ba

 4. Rút gọn biểu thức - Cơ bản

 5. Rút gọn biểu thức - Nâng cao

 6. Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 7. Tài liệu: Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 8. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

 9. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 10. Phân tích đa thức thành nhân tử

 11. Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

 12. Rút gọn biểu thức có chứa căn

2

Bài 2: Phương trình

 1. Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 2. Tài liệu : Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 4. Tài liệu: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 5. Giải phương trình bậc nhất

 6. Giải phương trình bậc hai

 7. Phương trình quy về bậc hai

 8. Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 9. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 10. Phương trình vô tỷ

3

Bài 3: Hàm số

 1. Hàm số, Đồ thị

 2. Hàm số bậc nhất

 3. Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số

 4. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax^2 (a khác 0)

 5. Xác định tham số để điểm thuộc đồ thị

 6. Vị trí tương đối của các đồ thị hàm số

 7. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

 8. Một số bài tập tự luận

4

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

 4. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

 6. Một số bài tập tự luận

5

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

 1. Định lí Viet

 2. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 4. Lập phương trình bậc hai biết các nghiệm của nó.

 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

 6. Các biểu thức đối xứng của hai nghiệm phương trình bậc hai.

 7. Luyện tập chung

 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

 9. Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho

 10. Bắc Giang, Bắc Ninh, Bình Định, Bình Dương

 11. Cà Mau, Cần Thơ, Đắc Lắc, Đà Nẵng, Đồng Nai

 12. Hải Dương, Hà Nam, Hà Nội

 13. Hà Tĩnh, Hòa Bình, Hưng Yên, Hải Phòng

 14. Khánh Hòa, Kiên Giang, Kon Tum, Lạng Sơn, Lào Cai, Long An

 15. Tp Hồ Chí Minh, Thanh Hóa, Thái Bình, Thái Nguyên, Thừa Thiên Huế, Trà Vinh

 16. Nam Định, Ninh Bình, Nghệ An

 17. Phú Thọ, Quảng Bình, Quảng Ninh, Quảng Ngãi

6

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 2. Tài liệu: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 3. Toán chuyển động

 4. Toán năng suất, số lượng

 5. Toán làm chung làm riêng

 6. Toán có nội dung hình học

 7. Toán về phần trăm

 8. Một số dạng toán khác

7

Bài 7: Bất đẳng thức

 1. Bất đẳng thức

 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứng minh BĐT

 3. Bất đẳng thức Cô si (p.1)

 4. Bất đẳng thức Cô si (p.2)

 5. Bất đẳng thức Cô si (p3)

 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.1)

 7. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.2)

 8. Thanh Hóa, Quảng Bình, Nghệ An, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hỏa Bình

 9. Bình Định, Hà Tĩnh, Hà Nội, Hà Nam, Hải Phòng, Bắc Giang

8

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

 1. GTLN, GTBN của tam thức bậc hai

 2. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

 3. GTLN, GTNN (p1)

 4. GTLN,GTNN (p2)

 5. Yên Bái, Bà Rịa Vũng Tàu, Vĩnh Phúc, Tuyên Quang, Thái Bình, Quảng Ninh

 6. Quảng Ngãi, Phú Thọ, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hòa Bình, Hà Tĩnh, Ninh Bình, Bắc Ninh Thanh Hóa

 7. Bắc Giang, Hà Nam, Bà Rịa Vũng Tàu, Hà Nội, Hà Tĩnh, Hải Phòng, Đăc Lắc