Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 1: Căn thức và rút gọn biểu thức

Đề bài

Câu 1

Cho biểu thức \(P=\left(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)\)

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm a để \(P>\frac{1}{6}.\)

Đáp án:

   (Đề thi tuyển sinh vào 10 - THPT chuyên - Hà Giang - 2015)

ĐKXĐ:   \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\a\ne1\\a\ne4\end{matrix}\right.\)

a) \(P=\left(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)\)\(P=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\frac{a-1-a+4}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

\(P=\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\frac{3}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

\(P=\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{3}\)

\(P=\frac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}\)

b) Để \(P>\frac{1}{6}\) thì \(\frac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}>\frac{1}{6}\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}-\frac{1}{6}>0\Rightarrow\frac{2\sqrt{a}-4-\sqrt{a}}{6\sqrt{a}}>0\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{a}-4}{6\sqrt{a}}>0\)

Vì \(\sqrt{a}>0\forall a\) thỏa mãn điều kiện xác định nên để \(\frac{\sqrt{a}-4}{6\sqrt{a}}>0\) thì \(\sqrt{a}-4>0\Leftrightarrow\sqrt{a}>4\Leftrightarrow a>16.\)

                

Câu 1

Cho biểu thức \(A=\left(\frac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\frac{8x}{4-x}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)\) với \(x>0,x\ne4,x\ne9\)

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x để A = - 2.

Đáp án:

           (Đề thi tuyển sinh vào 10 - Thanh Hóa - 2017)

a) \(A=\left(\frac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\frac{8x}{4-x}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)\)

\(A=\frac{4\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)+8x}{4-x}:\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x-2}\right)}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)\)

\(A=\frac{4\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)+8x}{4-x}:\frac{\sqrt{x}-1-2\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(A=\frac{8\sqrt{x}+4x}{4-x}:\frac{3-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(A=\frac{4\sqrt{x}\left(2+\sqrt{x}\right)}{4-x}.\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{3-\sqrt{x}}\)

\(A=\frac{4x\left(2+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(x-4\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(A=\frac{4x\left(x-4\right)}{\left(x-4\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(A=\frac{4x}{\sqrt{x}-3}\)

b) Để A = - 2 thì \(\frac{4x}{\sqrt{x}-3}=-2\)

\(\Leftrightarrow\frac{4x}{\sqrt{x}-3}+2=0\Leftrightarrow\frac{4x+2\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}-3}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{4x+2\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}-3}=0\Leftrightarrow4x+2\sqrt{x}-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=1\Rightarrow x=1\left(tmđk\right)\\\sqrt{x}=\dfrac{-3}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy với x = 1 thì A = - 2.

Câu 1

Cho các biểu thức \(P=\frac{2x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\) và \(Q=\frac{\sqrt{x^3}-\sqrt{x}+2x-2}{\sqrt{x}+2}\)  với \(x\ge0,x\ne4\)

a) Rút gọn biểu thức P và Q.

b) Tìm tất các các giá trị của x để P = Q.

Đáp án:

      (Đề thi tuyển sinh vào 10 - THPT chuyên - Bắc Ninh - 2017)

a) \(P=\frac{2x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\)

\(P=\frac{2x-4\sqrt{x}+\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\)

\(P=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)+\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}\)

\(P=\frac{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}\)

\(P=2\sqrt{x}+1\)

\(Q=\frac{\sqrt{x^3}-\sqrt{x}+2x-2}{\sqrt{x}+2}\)

\(Q=\frac{\sqrt{x}\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}+2}\)

\(Q=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(x-1\right)}{\sqrt{x}+2}\)

\(Q=x-1\)

b) Để P = Q thì \(2\sqrt{x}+1=x-1\)

\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=1+\sqrt{3}\\\sqrt{x}=1-\sqrt{3}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=4+2\sqrt{3}\left(tmđk\right)\)

Vậy với \(x=4+2\sqrt{3}\) thì P = Q.

Câu 1

Cho biểu thức \(P=\frac{3}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-5}{x-1}\) với \(x\ge0,x\ne1\)

a)  Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị biểu thức P khi \(x=24-16\sqrt{2}\)

Đáp án:

           (Đề thi tuyển sinh vào 10 - Lạng Sơn - 2017)

a)    \(P=\frac{3}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-5}{x-1}\)

\(P=\frac{3\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}+1\right)-\sqrt{x}+5}{x-1}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}\)

\(P=\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)

b)  \(x=24-16\sqrt{2}=16-2.4.2\sqrt{2}+8=\left(4-2\sqrt{2}\right)^2\)

Vậy thì \(\sqrt{x}=\sqrt{\left(4-2\sqrt{2}\right)^2}=4-2\sqrt{2}\)

Vậy \(P=\dfrac{1}{4-2\sqrt{2}-1}=\dfrac{1}{3-2\sqrt{2}}=\dfrac{3^2-\left(2\sqrt{2}\right)^2}{3-2\sqrt{2}}=3+2\sqrt{2}\)

Câu 1

Cho biểu thức \(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\) và \(B=\frac{2}{\sqrt{x}+2}+\frac{4\sqrt{x}}{x-4}\)

a) Tính A khi x = 9

b) Thu gọn T = A - B

c) Tìm x để T nguyên.

Đáp án:

         (Đề thi tuyển sinh vào 10 - Bình Định - 2017)

a) \(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

ĐK: \(x\ge0;x\ne4\) 

Khi x = 9 thì \(A=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{9}-2}=\frac{3}{3-2}=\frac{3}{1}=3\)

b) \(T=A-B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{2}{\sqrt{x}+2}-\frac{4\sqrt{x}}{x-4}\)

\(T=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{x-4}-\frac{2\left(\sqrt{x}-2\right)}{x-4}-\frac{4\sqrt{x}}{x-4}\)

\(T=\frac{x+2\sqrt{x}-2\sqrt{x}+4-4\sqrt{x}}{x-4}\)

\(T=\frac{x-4\sqrt{x}+4}{x-4}\)

\(T=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(T=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\)

c) Để T nguyên thì \(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\in Z\)

Ta có \(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+2-4}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}-\frac{4}{\sqrt{x}+2}=1-\frac{4}{\sqrt{x}+2}\)

Vậy để T nguyên thì \(\frac{4}{\sqrt{x}+2}\in Z\)

Vì \(\sqrt{x}+2\ge2\Rightarrow\sqrt{x}+2\in\left\{2;4\right\}\Rightarrow x\in\left\{0;4\right\}\)

Kết hợp điều kiện \(x\ne4\), ta có để T nguyên thì x = 0.

 

Câu 1

Cho hai biểu thức \(P=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}-2}\) và \(Q=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{5\sqrt{x}-2}{x-4}\) với \(x\ge0,x\ne4\)

a) Tính giá trị của P khi x = 9.

b) Rút gọn biểu thức Q.

c) Tìm giá trị của x để biểu thức \(\dfrac{P}{Q}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

 

Hướng dẫn giải:

​a) Với x = 9 thì \(P=\dfrac{9+3}{\sqrt{9}-2}=12\)

b) \(Q=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{5\sqrt{x}-2}{x-4}\)

\(Q=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(Q=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\dfrac{5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(Q=\dfrac{x-3\sqrt{x}+2+5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(Q=\dfrac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(Q=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

c) Ta có \(\dfrac{P}{Q}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}-2}:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{P}{Q}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\dfrac{3}{\sqrt{x}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Co-si ta có: \(\sqrt{x}+\dfrac{3}{\sqrt{x}}\ge2.\sqrt{\dfrac{\sqrt{x}.3}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{3}\)

Vậy min\(\dfrac{P}{Q}=2\sqrt{3}\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{3}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=3\)

Câu 1

Cho biểu thức \(P=\left(\dfrac{x-2}{x+2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\right).\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\) với \(x>0,x\ne1\)

a) Chứng minh \(P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

b) Tìm x để \(2P=2\sqrt{x}+5\)

 

Hướng dẫn giải:

a)  ​\(P=\left(\dfrac{x-2}{x+2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\right).\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

\(P=\left[\dfrac{x-2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\right].\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

\(P=\dfrac{x-2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}.\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

\(P=\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}.\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

b)   Để \(2P=2\sqrt{x}+5\Rightarrow\dfrac{2\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+5\)

\(\Rightarrow2\left(\sqrt{x}+1\right)=2x+5\sqrt{x}\Rightarrow2x+3\sqrt{x}-2=0\)

\(\Rightarrow\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)=0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\left(tm\right)\)

Với \(\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\)

Câu 1

Cho biểu thức \(P=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\) với \(x\ge0,x\ne1\)

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm giá trị của x để \(P=\dfrac{3}{4}\)

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\left(\sqrt{x}-4\right)\left(x-1\right)P\)

 

Hướng dẫn giải:

(Đề thi tuyển sinh vào 10 - chuyên Hưng Yên - 2017)

​a)  \(P=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\)

\(P=\dfrac{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(P=\dfrac{2x+\sqrt{x}-1-\left(2x-\sqrt{x}-1\right)}{x-1}\)

\(P=\dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}\)

b) Để \(P=\dfrac{3}{4}\) thì \(\dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow8\sqrt{x}=3x-3\Rightarrow3x-8\sqrt{x}-3=0\)

Do \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-3\right)\left(3\sqrt{x}+1\right)=0\Leftrightarrow\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\left(tmdk\right)\)

Vậy để \(P=\dfrac{3}{4}\) thì x = 9.

c) \(A=\left(\sqrt{x}-4\right)\left(x-1\right)P=\left(\sqrt{x}-4\right)\left(x-1\right).\dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}\)

\(=2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)=2x-8\sqrt{x}=2\left(x-4\sqrt{x}+4\right)-8\)

\(=2\left(\sqrt{x}-2\right)^2-8\ge-8\)

Vậy \(minA=-8\Leftrightarrow x=4\)

Câu 1

Cho biểu thức

 \(A=\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{3\sqrt{x}+5}{x\sqrt{x}-x-\sqrt{x}+1}\right)\left[\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{4\sqrt{x}}-1\right]\) với \(x>0,x\ne1\)

a) Rút gọn A

b) Cho \(B=\left(x-\sqrt{x}+1\right).A\) . Chứng minh rằng \(B>1\forall x>0,x\ne1\)

 

Hướng dẫn giải:

​(Đề thi tuyển sinh vào 10 - Toán chung - chuyên Thái Bình - 2017)

a) \(A=\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{3\sqrt{x}+5}{x\sqrt{x}-x-\sqrt{x}+1}\right)\left[\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{4\sqrt{x}}-1\right]\)

\(A=\left[\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{3\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x-1\right)}\right].\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2-4\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}\)

\(A=\left[\dfrac{\sqrt{x}-1}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\dfrac{3\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x-1\right)}\right].\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x}}\)

\(A=\dfrac{\sqrt{x}-1+3\sqrt{x}+5}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{4\sqrt{x}}\)

\(A=\dfrac{4\sqrt{x}+4}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{4\sqrt{x}}\)

\(A=\dfrac{4\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)^2}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{4\sqrt{x}}\)

\(A=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)

b) Ta có

 \(B=\left(x-\sqrt{x}+1\right).A=\left(x-\sqrt{x}+1\right).\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}-1\)

Áp dụng bất đẳng thức Co si, ta có :

\(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{1}{\sqrt{x}}}=2\)

Vậy nên \(B=\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}-1\ge2-1=1\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\sqrt{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=1\)

Tuy nhiên, theo điều kiện  \(x\ne1\Rightarrow B>1\)

Vậy \(B>1\forall x>0,x\ne1\)

Bài làm

Hãy đăng nhập để làm bài!

Đăng nhập

00:00:00