Câu 1 (1 điểm):

Quảng Ngãi 2013 - 2014

Tìm GTNN của biểu thức   \(P=\frac{x^2-2x+2014}{x^2}\)

 

Đáp án:

- Ta có                  \(P=\frac{x^2-2x+2014}{x^2}\Leftrightarrow\left(P-1\right)x^2+2x-2014=0\) (1)

- Nếu  \(P=1\) thì   (1) có nghiệm  \(x=1007\).

- Nếu   \(P\ne1\) thì (1) là phương trình bậc hai. Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi

                      \(\Delta'=1+2014\left(P-1\right)\ge0\Leftrightarrow P\ge\frac{2013}{2014}\)

Vậy  GTNN =   \(\frac{2013}{2014}\).


Câu 2 (1 điểm):

Phú Thọ 2015 - 2016

Cho \(a,b,c\)là ba số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện  

                                         \(7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2015\)

Tìm GTLN của biểu thức

                                            \(P=\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\)

Đáp án:

- Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có     

                               \(3\left(2a^2+b^2\right)=\left(1+1+1\right)\left(a^2+a^2+b^2\right)\ge\left(a+a+b\right)^2\)

Suy ra                     \(\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}\ge2a+b\)    (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b\))

Do dó                      \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}\le\frac{1}{2a+b}\)  (1)

- Lại theo bất đẳng thức Svac ta có        

                               \(\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

hay                            \(\frac{1}{2a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra       

                                  \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)\)   (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b\))

- Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng cả ba bất đẳng thức nhận được ta có

                                   \(P\le\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)\)

hay                             \(P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)  (3)

- Bây giờ cần đánh giá  tổng    \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\). Lại theo Bunhiacopxki ta có

                                 \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)     (4)

- Mà theo giả thiết thì       

                     \(7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2015\)

                                                                 \(\le6\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+2015\)

                                                              \(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\le2015\)

Do đó (4) suy ra               

                                                  \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le3.2015\)

Nên                                               \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\sqrt{6045}\)

Thế vào (3) ta được                          \(P\le\frac{\sqrt{6045}}{3}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(\left\{{}\begin{matrix}7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+2015\\a=b=c\end{matrix}\right.\)

                                   

                                                      \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{3}{\sqrt{6045}}\)

Vậy   GTLN = \(\frac{\sqrt{6045}}{3}\)


Câu 3 (1 điểm):

Lạng Sơn 2014 - 2015

Cho \(x,y\)  là hai số dương thay đổi luôn thỏa mãn    \(x+2y\le3\). Tìm GTLN của biểu thức

                                    \(S=\sqrt{x+3}+2\sqrt{y+3}\)

Đáp án:

- Theo Bunhiacopxki ta có

                                                \(S^2=\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}+\sqrt{y+3}\right)^2\)

                                                       \(\le3\left(x+3+y+3+y+3\right)\)

                                                        \(=3\left(x+2y+9\right)\)

                                                          \(\le3\left(3+9\right)\)       (do giả thiết    \(x+2y\le3\) )

Từ đó    \(S\le6\)  , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}=\sqrt{y+3}\\x+2y=3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy     GTLN =  6


Câu 4 (1 điểm):

Hưng Yên 2016 - 2017

Cho \(a,b,c\)là ba số dương thay đổi luôn thỏa mãn  \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1\)

Tìm GTNN của biểu thức

                                \(P=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\)

Đáp án:

- Chú ý rằng   

                          \(2a^2+ab+2b^2=\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2\)

Suy ra   

                         \(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)

- Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có 

                                   \(P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\)

- Lại theo Bunhiacopxki  thì     \(\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\frac{1}{3}.1^2\) (do giả thiết 

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1\)  ). 

Vậy       \(P\ge\frac{\sqrt{5}}{3}\), đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{9}\). Vậy   GTNN =  \(\frac{\sqrt{5}}{3}\).


Câu 5 (1 điểm):

Hòa Bình  2014 - 2015

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức  

                                                                \(P=\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\)

Đáp án:

- Ta có bất đẳng thức đúng hiển nhiên      \(2x^2\pm4xy+2y^2\ge0,\forall x,y\).

- Cộng \(x^2-xy+y^2\)vào hai vế của   \(2x^2+4xy+2y^2\ge0\) ta suy ra

                                                   \(3\left(x^2+xy+y^2\right)\ge x^2-xy+y^2\)

                                                \(\Rightarrow\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\le3\),  dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(y=-x\ne0\)

- Cộng  \(x^2+xy+y^2\) vào hai vế của  \(2x^2-4xy+2y^2\ge0\)  ta nhận được

                                                    \(3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge x^2+xy+y^2\)

                                               \(\Rightarrow\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{1}{3}\)  (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(y=x\ne0\)

Vậy  GTLN = 3 ;  GTNN = \(\frac{1}{3}\)


Câu 6 (1 điểm):

Hà Tĩnh 2016 - 2017

Cho \(a,b\)là hai số dương thay đổi nhưng luôn có tích bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức

                                            \(P=\left(2a+2b-3\right)\left(a^3+b^3\right)+\frac{7}{\left(a+b\right)^2}\)

Đáp án:

- Vì   \(a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\) và vì  \(ab=1\)(theo giả thiết) nên

                                     \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge\left(a+b\right)ab=\left(a+b\right)\)

                                                                \(a^3+b^3\ge a+b\)    (1)

- Mặt khác                 \(2a+2b-3=2\left(a+b\right)-3\ge2.2\sqrt{ab}-3=1\)   

                           \(\Rightarrow\left(2a+2b-3\right)>0\)

Nhân hai vế của (1)  với  \(\left(2a+2b-3\right)>0\) ta được  

                                 \(\left(2a+2b-3\right)\left(a^3+b^3\right)\ge\left(2a+2b-3\right)\left(a+b\right)\)

Do đó                   

                                                \(P\ge\left(2\left(a+b\right)-3\right)\left(a+b\right)+\frac{7}{\left(a+b\right)^2}\)

- Đặt \(t=a+b\) thì  \(t\ge2\)  và     

                                                \(P\ge2t^2-3t+\frac{7}{t^2}\)

Biến đổi     \(2t^2-3t+\frac{7}{t^2}=\left(\frac{7}{t^2}+\frac{7t^2}{16}\right)+\frac{25}{16}\left(t-2\right)^2+\frac{13t}{4}-\frac{25}{4}\)

                                                 \(\ge2\sqrt{\frac{7}{t^2}.\frac{7t^2}{16}}+0+\frac{13.2}{4}-\frac{25}{4}\)

Do đó      \(P\ge\frac{14}{4}+\frac{26}{4}-\frac{25}{4}\)\(\Leftrightarrow P\ge\frac{15}{4}\).

Đẳng thức xảy ra khi  \(a=b=1\).

Vậy GTNN = \(\frac{15}{4}\)

 

 

 

                                 


Câu 7 (1 điểm):

Thanh Hóa 2017 - 2018

Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện  

                                               \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=2017\)

Tìm GTLN của biểu thức  

                                            \(P=\frac{1}{2x+3y+3z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}\)

Đáp án:

- Ta có 

  \(\frac{1}{2x+3y+3z}=\frac{1}{x+y+x+z+y+z+y+z}\)

                               \(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)

   Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được

                            \(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\right)\)

                             \(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{2017}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ chi    

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=y+z=z+x\\\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}=2017\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{4034}\)

 

GTLN =  \(\frac{2017}{4}\)


Câu 8 (1 điểm):

Ninh Bình 2017 - 2018

Cho \(a,b,c\)là ba số không âm thỏa mãn điều kiện   \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\). Tìm GTNN của biểu thức 

                    \(P=\sqrt{3a^2+2ab+b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\)

Đáp án:

Chú ý rằng                     \(3a^2+2ab+3b^2=\left(a-b\right)^2+2\left(a+b\right)^2\ge2\left(a+b\right)^2\)

Suy ra                          \(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}\ge\sqrt{2}\left(a+b\right)\) . Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại theo vế  và sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có                

                                                       \(P\ge2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\)

                                                              \(\ge2\sqrt{2}.\frac{1}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=6\sqrt{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\). Vậy   GTNN =  \(6\sqrt{2}\).


Câu 9 (1 điểm):

Bắc Ninh 2017 - 2018

Cho bốn số dương  \(x,y,z,t\) thỏa mãn   \(x+y+z+t=2\).   Tìm GTNN của 

                                                     \(P=\frac{\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)

Đáp án:

- Theo Cô si ta có                 \(\left(x+y+z+t\right)\ge2\sqrt{\left(x+y+z\right)t}\)

                                             \(\left(x+y+z\right)\ge2\sqrt{\left(x+y\right)z}\)

                                                 \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

Từ đó    

                      \(\left(x+y+z+t\right)\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)\ge8\sqrt{xyzt\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}\)

 Theo giả thiết có   \(x+y+z+t=2\) nên

                          \(2\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)\ge8\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)xyzt}\)

                            \(\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}\ge4\sqrt{xyzt}\)

                             \(\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)\ge16xyzt\)

                             \(P=\frac{\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\ge\frac{1}{16}\)

Đẳng thức khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z+t=2\\x+y=z\\x=y\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{1}{4}\\z=\dfrac{1}{2}\\t=1\end{matrix}\right.\)

  Vậy P có GTNN =  \(\frac{1}{16}\)


Câu 10 (1 điểm):

Thanh hóa 2014 - 2015

Cho ba số dương \(x,y,z\) thay đổi nhưng luôn có tích bằng 1. Tìm GTLN của biểu thức

                                 

                                  \(P=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\)

 

Hướng dẫn giải:

Đáp án:

- Đặt  \(a=\sqrt[3]{x},b=\sqrt[3]{y},c=\sqrt[3]{z}\) thì  \(abc=\sqrt[3]{xyz}=1\) và

                  \(x+y+1=a^3+b^3+abc=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+abc\)

                   \(x+y+1=\left(a+b\right)\left(ab+\left(a-b\right)^2\right)+abc\)

                  \(x+y+1=\left(a+b\right)ab+abc+\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\)

                  \(x+y+1=ab\left(a+b+c\right)+\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\)

               \(\Rightarrow x+y+1\ge ab\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{c}\) ,  đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\Leftrightarrow x=y\).

                \(\Rightarrow\frac{1}{x+y+1}\le\frac{c}{a+b+c}\).

              Tương tự    \(\frac{1}{y+z+1}\le\frac{a}{a+b+c}\) và     \(\frac{1}{z+x+1}\le\frac{b}{a+b+c}\).

Cộng ba bất đẳng thức vừa nhận được theo vế suy ra     \(P\le1\). Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi  \(x=y=z=1\)

Vậy GTLN = 1.


Câu 11 (1 điểm):

Thanh Hóa 2015 - 2016

Cho \(a,b,c\) là ba số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện   \(5a^2+2abc+4b^2+3c^2=60\).

Tìm GTLN của biểu thức \(P=a+b+c\).

 

Hướng dẫn giải:

Đáp án:

- Từ giả thiết ta có thể tính \(a\) theo \(b,c\)  bằng cách giả phương trình bậc hai ẩn \(a\)sau: 

                                    \(5a^2+2abc+4b^2+3c^2=60\)   (*)

                              \(\Leftrightarrow5a^2+\left(2bc\right)a+\left(4b^2+3c^2-60\right)=0\)

- Phương trình này có biệt số     \(\Delta'=\left(15-b^2\right)\left(20-c^2\right)\). Chú ý rằng từ giả thiết (*) suy ra \(4b^2\le60\)  và \(3c^2\le60\) nên  \(\Delta'\ge0\) và  (*) có hai nghiệm

                        \(a=\frac{-bc-\sqrt{\Delta'}}{5};a=\frac{-bc+\sqrt{\Delta'}}{5}\)

- Do đòi hỏi \(a>0\) nên \(a=\frac{-bc-\sqrt{\Delta'}}{5}\) bị loại. Vì vậy     \(a=\frac{-bc+\sqrt{\Delta'}}{5}\).

- Áp dụng bất dẳng thức Cô si ta có

                         \(\sqrt{\Delta'}=\sqrt{\left(15-b^2\right)\left(20-c^2\right)}\le\frac{15-b^2+20-c^2}{2}\)

Từ đó      \(a\le\frac{-bc+\frac{1}{2}\left(35-b^2-c^2\right)}{5}\) hay  \(a\le\frac{35-\left(b+c\right)^2}{10}\)

Do đó         \(a+b+c\le\frac{35-\left(b+c\right)^2+10\left(b+c\right)}{10}\)

                  \(a+b+c\le\frac{60-\left(b+c-5\right)^2}{10}\)

                 \(P=a+b+c\le6\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

\(\left\{{}\begin{matrix}15-b^2=20-c^2\\b+c-5=0\\a+b+c=6\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\end{matrix}\right.\)

GTLN = 6.


Câu 12 (1 điểm):

Bắc Ninh  2015 - 2016

Cho \(a\)là số dương. Tìm GTNN của biểu thức

                                               \(S=\frac{a}{a^2+1}+\frac{5\left(a^2+1\right)}{2a}\)

 

Hướng dẫn giải:

Đáp án:

Ta có       \(S=\frac{a}{a^2+1}+\frac{10\left(a^2+1\right)}{4a}\)

                    \(=\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\)

                      \(\ge2\sqrt{\frac{a}{a^2+1}.\frac{a^2+1}{4a}}+\frac{9}{4a}\left(\left(a-1\right)^2+2a\right)\)

                       \(\ge1+\frac{9\left(a-1\right)^2}{4a}+\frac{9}{2}\)

                        \(\ge\frac{11}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a^2+1}=\dfrac{a^2+1}{4a}\\\left(a-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=1\)                 

Vậy   GTNN = \(\frac{11}{2}\)

Link bài học:
Thảo luận
1

Bài 1: Căn thức và rút gọn biểu thức

 1. Bài giảng: Căn bậc hai

 2. Tài liệu: Căn bậc hai

 3. Căn bậc hai, căn bậc ba

 4. Rút gọn biểu thức - Cơ bản

 5. Rút gọn biểu thức - Nâng cao

 6. Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 7. Tài liệu: Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 8. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

 9. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 10. Phân tích đa thức thành nhân tử

 11. Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

 12. Rút gọn biểu thức có chứa căn

2

Bài 2: Phương trình

 1. Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 2. Tài liệu : Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 4. Tài liệu: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 5. Giải phương trình bậc nhất

 6. Giải phương trình bậc hai

 7. Phương trình quy về bậc hai

 8. Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 9. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 10. Phương trình vô tỷ

3

Bài 3: Hàm số

 1. Hàm số, Đồ thị

 2. Hàm số bậc nhất

 3. Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số

 4. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax^2 (a khác 0)

 5. Xác định tham số để điểm thuộc đồ thị

 6. Vị trí tương đối của các đồ thị hàm số

 7. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

 8. Một số bài tập tự luận

4

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

 4. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

 6. Một số bài tập tự luận

5

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

 1. Định lí Viet

 2. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 4. Lập phương trình bậc hai biết các nghiệm của nó.

 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

 6. Các biểu thức đối xứng của hai nghiệm phương trình bậc hai.

 7. Luyện tập chung

 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

 9. Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho

 10. Bắc Giang, Bắc Ninh, Bình Định, Bình Dương

 11. Cà Mau, Cần Thơ, Đắc Lắc, Đà Nẵng, Đồng Nai

 12. Hải Dương, Hà Nam, Hà Nội

 13. Hà Tĩnh, Hòa Bình, Hưng Yên, Hải Phòng

 14. Khánh Hòa, Kiên Giang, Kon Tum, Lạng Sơn, Lào Cai, Long An

 15. Tp Hồ Chí Minh, Thanh Hóa, Thái Bình, Thái Nguyên, Thừa Thiên Huế, Trà Vinh

 16. Nam Định, Ninh Bình, Nghệ An

 17. Phú Thọ, Quảng Bình, Quảng Ninh, Quảng Ngãi

6

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 2. Tài liệu: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 3. Toán chuyển động

 4. Toán năng suất, số lượng

 5. Toán làm chung làm riêng

 6. Toán có nội dung hình học

 7. Toán về phần trăm

 8. Một số dạng toán khác

7

Bài 7: Bất đẳng thức

 1. Bất đẳng thức

 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứng minh BĐT

 3. Bất đẳng thức Cô si (p.1)

 4. Bất đẳng thức Cô si (p.2)

 5. Bất đẳng thức Cô si (p3)

 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.1)

 7. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.2)

 8. Thanh Hóa, Quảng Bình, Nghệ An, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hỏa Bình

 9. Bình Định, Hà Tĩnh, Hà Nội, Hà Nam, Hải Phòng, Bắc Giang

8

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

 1. GTLN, GTBN của tam thức bậc hai

 2. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

 3. GTLN, GTNN (p1)

 4. GTLN,GTNN (p2)

 5. Yên Bái, Bà Rịa Vũng Tàu, Vĩnh Phúc, Tuyên Quang, Thái Bình, Quảng Ninh

 6. Quảng Ngãi, Phú Thọ, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hòa Bình, Hà Tĩnh, Ninh Bình, Bắc Ninh Thanh Hóa

 7. Bắc Giang, Hà Nam, Bà Rịa Vũng Tàu, Hà Nội, Hà Tĩnh, Hải Phòng, Đăc Lắc