Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

Đề bài

Câu 1

Quảng Ngãi 2013 - 2014

Tìm GTNN của biểu thức   \(P=\frac{x^2-2x+2014}{x^2}\)

 

Đáp án:

- Ta có                  \(P=\frac{x^2-2x+2014}{x^2}\Leftrightarrow\left(P-1\right)x^2+2x-2014=0\) (1)

- Nếu  \(P=1\) thì   (1) có nghiệm  \(x=1007\).

- Nếu   \(P\ne1\) thì (1) là phương trình bậc hai. Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi

                      \(\Delta'=1+2014\left(P-1\right)\ge0\Leftrightarrow P\ge\frac{2013}{2014}\)

Vậy  GTNN =   \(\frac{2013}{2014}\).

Câu 1

Phú Thọ 2015 - 2016

Cho \(a,b,c\)là ba số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện  

                                         \(7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2015\)

Tìm GTLN của biểu thức

                                            \(P=\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\)

Đáp án:

- Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có     

                               \(3\left(2a^2+b^2\right)=\left(1+1+1\right)\left(a^2+a^2+b^2\right)\ge\left(a+a+b\right)^2\)

Suy ra                     \(\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}\ge2a+b\)    (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b\))

Do dó                      \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}\le\frac{1}{2a+b}\)  (1)

- Lại theo bất đẳng thức Svac ta có        

                               \(\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

hay                            \(\frac{1}{2a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra       

                                  \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)\)   (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b\))

- Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng cả ba bất đẳng thức nhận được ta có

                                   \(P\le\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)\)

hay                             \(P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)  (3)

- Bây giờ cần đánh giá  tổng    \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\). Lại theo Bunhiacopxki ta có

                                 \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)     (4)

- Mà theo giả thiết thì       

                     \(7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2015\)

                                                                 \(\le6\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+2015\)

                                                              \(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\le2015\)

Do đó (4) suy ra               

                                                  \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le3.2015\)

Nên                                               \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\sqrt{6045}\)

Thế vào (3) ta được                          \(P\le\frac{\sqrt{6045}}{3}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(\left\{{}\begin{matrix}7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+2015\\a=b=c\end{matrix}\right.\)

                                   

                                                      \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{3}{\sqrt{6045}}\)

Vậy   GTLN = \(\frac{\sqrt{6045}}{3}\)

Câu 1

Lạng Sơn 2014 - 2015

Cho \(x,y\)  là hai số dương thay đổi luôn thỏa mãn    \(x+2y\le3\). Tìm GTLN của biểu thức

                                    \(S=\sqrt{x+3}+2\sqrt{y+3}\)

Đáp án:

- Theo Bunhiacopxki ta có

                                                \(S^2=\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}+\sqrt{y+3}\right)^2\)

                                                       \(\le3\left(x+3+y+3+y+3\right)\)

                                                        \(=3\left(x+2y+9\right)\)

                                                          \(\le3\left(3+9\right)\)       (do giả thiết    \(x+2y\le3\) )

Từ đó    \(S\le6\)  , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}=\sqrt{y+3}\\x+2y=3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy     GTLN =  6

Câu 1

Hưng Yên 2016 - 2017

Cho \(a,b,c\)là ba số dương thay đổi luôn thỏa mãn  \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1\)

Tìm GTNN của biểu thức

                                \(P=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\)

Đáp án:

- Chú ý rằng   

                          \(2a^2+ab+2b^2=\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2\)

Suy ra   

                         \(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)

- Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có 

                                   \(P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\)

- Lại theo Bunhiacopxki  thì     \(\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\frac{1}{3}.1^2\) (do giả thiết 

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1\)  ). 

Vậy       \(P\ge\frac{\sqrt{5}}{3}\), đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{9}\). Vậy   GTNN =  \(\frac{\sqrt{5}}{3}\).

Câu 1

Hòa Bình  2014 - 2015

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức  

                                                                \(P=\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\)

Đáp án:

- Ta có bất đẳng thức đúng hiển nhiên      \(2x^2\pm4xy+2y^2\ge0,\forall x,y\).

- Cộng \(x^2-xy+y^2\)vào hai vế của   \(2x^2+4xy+2y^2\ge0\) ta suy ra

                                                   \(3\left(x^2+xy+y^2\right)\ge x^2-xy+y^2\)

                                                \(\Rightarrow\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\le3\),  dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(y=-x\ne0\)

- Cộng  \(x^2+xy+y^2\) vào hai vế của  \(2x^2-4xy+2y^2\ge0\)  ta nhận được

                                                    \(3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge x^2+xy+y^2\)

                                               \(\Rightarrow\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{1}{3}\)  (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(y=x\ne0\)

Vậy  GTLN = 3 ;  GTNN = \(\frac{1}{3}\)

Câu 1

Hà Tĩnh 2016 - 2017

Cho \(a,b\)là hai số dương thay đổi nhưng luôn có tích bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức

                                            \(P=\left(2a+2b-3\right)\left(a^3+b^3\right)+\frac{7}{\left(a+b\right)^2}\)

Đáp án:

- Vì   \(a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\) và vì  \(ab=1\)(theo giả thiết) nên

                                     \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge\left(a+b\right)ab=\left(a+b\right)\)

                                                                \(a^3+b^3\ge a+b\)    (1)

- Mặt khác                 \(2a+2b-3=2\left(a+b\right)-3\ge2.2\sqrt{ab}-3=1\)   

                           \(\Rightarrow\left(2a+2b-3\right)>0\)

Nhân hai vế của (1)  với  \(\left(2a+2b-3\right)>0\) ta được  

                                 \(\left(2a+2b-3\right)\left(a^3+b^3\right)\ge\left(2a+2b-3\right)\left(a+b\right)\)

Do đó                   

                                                \(P\ge\left(2\left(a+b\right)-3\right)\left(a+b\right)+\frac{7}{\left(a+b\right)^2}\)

- Đặt \(t=a+b\) thì  \(t\ge2\)  và     

                                                \(P\ge2t^2-3t+\frac{7}{t^2}\)

Biến đổi     \(2t^2-3t+\frac{7}{t^2}=\left(\frac{7}{t^2}+\frac{7t^2}{16}\right)+\frac{25}{16}\left(t-2\right)^2+\frac{13t}{4}-\frac{25}{4}\)

                                                 \(\ge2\sqrt{\frac{7}{t^2}.\frac{7t^2}{16}}+0+\frac{13.2}{4}-\frac{25}{4}\)

Do đó      \(P\ge\frac{14}{4}+\frac{26}{4}-\frac{25}{4}\)\(\Leftrightarrow P\ge\frac{15}{4}\).

Đẳng thức xảy ra khi  \(a=b=1\).

Vậy GTNN = \(\frac{15}{4}\)

 

 

 

                                 

Câu 1

Thanh Hóa 2017 - 2018

Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện  

                                               \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=2017\)

Tìm GTLN của biểu thức  

                                            \(P=\frac{1}{2x+3y+3z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}\)

Đáp án:

- Ta có 

  \(\frac{1}{2x+3y+3z}=\frac{1}{x+y+x+z+y+z+y+z}\)

                               \(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)

   Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được

                            \(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\right)\)

                             \(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{2017}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ chi    

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=y+z=z+x\\\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}=2017\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{4034}\)

 

GTLN =  \(\frac{2017}{4}\)

Câu 1

Ninh Bình 2017 - 2018

Cho \(a,b,c\)là ba số không âm thỏa mãn điều kiện   \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\). Tìm GTNN của biểu thức 

                    \(P=\sqrt{3a^2+2ab+b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\)

Đáp án:

Chú ý rằng                     \(3a^2+2ab+3b^2=\left(a-b\right)^2+2\left(a+b\right)^2\ge2\left(a+b\right)^2\)

Suy ra                          \(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}\ge\sqrt{2}\left(a+b\right)\) . Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại theo vế  và sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có                

                                                       \(P\ge2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\)

                                                              \(\ge2\sqrt{2}.\frac{1}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=6\sqrt{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\). Vậy   GTNN =  \(6\sqrt{2}\).

Câu 1

Bắc Ninh 2017 - 2018

Cho bốn số dương  \(x,y,z,t\) thỏa mãn   \(x+y+z+t=2\).   Tìm GTNN của 

                                                     \(P=\frac{\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)

Đáp án:

- Theo Cô si ta có                 \(\left(x+y+z+t\right)\ge2\sqrt{\left(x+y+z\right)t}\)

                                             \(\left(x+y+z\right)\ge2\sqrt{\left(x+y\right)z}\)

                                                 \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

Từ đó    

                      \(\left(x+y+z+t\right)\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)\ge8\sqrt{xyzt\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}\)

 Theo giả thiết có   \(x+y+z+t=2\) nên

                          \(2\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)\ge8\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)xyzt}\)

                            \(\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}\ge4\sqrt{xyzt}\)

                             \(\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)\ge16xyzt\)

                             \(P=\frac{\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\ge\frac{1}{16}\)

Đẳng thức khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z+t=2\\x+y=z\\x=y\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{1}{4}\\z=\dfrac{1}{2}\\t=1\end{matrix}\right.\)

  Vậy P có GTNN =  \(\frac{1}{16}\)

Câu 1

Thanh hóa 2014 - 2015

Cho ba số dương \(x,y,z\) thay đổi nhưng luôn có tích bằng 1. Tìm GTLN của biểu thức

                                 

                                  \(P=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\)

 

Hướng dẫn giải:

Đáp án:

- Đặt  \(a=\sqrt[3]{x},b=\sqrt[3]{y},c=\sqrt[3]{z}\) thì  \(abc=\sqrt[3]{xyz}=1\) và

                  \(x+y+1=a^3+b^3+abc=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+abc\)

                   \(x+y+1=\left(a+b\right)\left(ab+\left(a-b\right)^2\right)+abc\)

                  \(x+y+1=\left(a+b\right)ab+abc+\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\)

                  \(x+y+1=ab\left(a+b+c\right)+\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\)

               \(\Rightarrow x+y+1\ge ab\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{c}\) ,  đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\Leftrightarrow x=y\).

                \(\Rightarrow\frac{1}{x+y+1}\le\frac{c}{a+b+c}\).

              Tương tự    \(\frac{1}{y+z+1}\le\frac{a}{a+b+c}\) và     \(\frac{1}{z+x+1}\le\frac{b}{a+b+c}\).

Cộng ba bất đẳng thức vừa nhận được theo vế suy ra     \(P\le1\). Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi  \(x=y=z=1\)

Vậy GTLN = 1.

Câu 1

Thanh Hóa 2015 - 2016

Cho \(a,b,c\) là ba số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện   \(5a^2+2abc+4b^2+3c^2=60\).

Tìm GTLN của biểu thức \(P=a+b+c\).

 

Hướng dẫn giải:

Đáp án:

- Từ giả thiết ta có thể tính \(a\) theo \(b,c\)  bằng cách giả phương trình bậc hai ẩn \(a\)sau: 

                                    \(5a^2+2abc+4b^2+3c^2=60\)   (*)

                              \(\Leftrightarrow5a^2+\left(2bc\right)a+\left(4b^2+3c^2-60\right)=0\)

- Phương trình này có biệt số     \(\Delta'=\left(15-b^2\right)\left(20-c^2\right)\). Chú ý rằng từ giả thiết (*) suy ra \(4b^2\le60\)  và \(3c^2\le60\) nên  \(\Delta'\ge0\) và  (*) có hai nghiệm

                        \(a=\frac{-bc-\sqrt{\Delta'}}{5};a=\frac{-bc+\sqrt{\Delta'}}{5}\)

- Do đòi hỏi \(a>0\) nên \(a=\frac{-bc-\sqrt{\Delta'}}{5}\) bị loại. Vì vậy     \(a=\frac{-bc+\sqrt{\Delta'}}{5}\).

- Áp dụng bất dẳng thức Cô si ta có

                         \(\sqrt{\Delta'}=\sqrt{\left(15-b^2\right)\left(20-c^2\right)}\le\frac{15-b^2+20-c^2}{2}\)

Từ đó      \(a\le\frac{-bc+\frac{1}{2}\left(35-b^2-c^2\right)}{5}\) hay  \(a\le\frac{35-\left(b+c\right)^2}{10}\)

Do đó         \(a+b+c\le\frac{35-\left(b+c\right)^2+10\left(b+c\right)}{10}\)

                  \(a+b+c\le\frac{60-\left(b+c-5\right)^2}{10}\)

                 \(P=a+b+c\le6\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

\(\left\{{}\begin{matrix}15-b^2=20-c^2\\b+c-5=0\\a+b+c=6\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\end{matrix}\right.\)

GTLN = 6.

Câu 1

Bắc Ninh  2015 - 2016

Cho \(a\)là số dương. Tìm GTNN của biểu thức

                                               \(S=\frac{a}{a^2+1}+\frac{5\left(a^2+1\right)}{2a}\)

 

Hướng dẫn giải:

Đáp án:

Ta có       \(S=\frac{a}{a^2+1}+\frac{10\left(a^2+1\right)}{4a}\)

                    \(=\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\)

                      \(\ge2\sqrt{\frac{a}{a^2+1}.\frac{a^2+1}{4a}}+\frac{9}{4a}\left(\left(a-1\right)^2+2a\right)\)

                       \(\ge1+\frac{9\left(a-1\right)^2}{4a}+\frac{9}{2}\)

                        \(\ge\frac{11}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a^2+1}=\dfrac{a^2+1}{4a}\\\left(a-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=1\)                 

Vậy   GTNN = \(\frac{11}{2}\)

Bài làm

Hãy đăng nhập để làm bài!

Đăng nhập

00:00:00