Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

Đề bài

Câu 1

Phú Thọ 2015 - 2016

Cho parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d) có phương trình: y=2(m+1)x-3m+2

a)      Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với m=3

b)      Chứng minh (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B với mọi m

c)      Gọi x1 ;x2 là hoành độ giao điểm của A và B. Tìm m để             \(x_1^2+x_2^2=20\) .

 

Hướng dẫn giải:

​Phương trình hoành độ giao điểm     \(x^2=2\left(m+1\right)x-3m+2\Leftrightarrow x^2-2\left(m+1\right)x+3m-2=0\)

 b) Ta có     \(\Delta=4\left(m+1\right)^2-4\left(3m-2\right)=4m^2-4m+12=\left(2m-1\right)^2+11>0,\forall m\)

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, hai đường luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

c) Theo Viet      

              \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m+1\right)^2-2\left(3m-2\right)\)

                             \(=4m^2+2m+8\)

Cần có  \(x_1^2+x_2^2=20\Leftrightarrow4m^2+2m-12=0\Leftrightarrow2m^2+m-6=0\)

                                      \(\Leftrightarrow m=2;m=-\dfrac{3}{2}\)

Câu 1

Phú Thọ 2015 - 2016

Cho parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d) có phương trình: y=2(m+1)x-3m+2

a)      Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với m=3

b)      Chứng minh (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B với mọi m

c)      Gọi x1 ;x2 là hoành độ giao điểm của A và B. Tìm m để             \(x_1^2+x_2^2=20\) .

 

Hướng dẫn giải:

​Phương trình hoành độ giao điểm     \(x^2=2\left(m+1\right)x-3m+2\Leftrightarrow x^2-2\left(m+1\right)x+3m-2=0\)

 b) Ta có     \(\Delta=4\left(m+1\right)^2-4\left(3m-2\right)=4m^2-4m+12=\left(2m-1\right)^2+11>0,\forall m\)

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, hai đường luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

c) Theo Viet      

              \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m+1\right)^2-2\left(3m-2\right)\)

                             \(=4m^2+2m+8\)

Cần có  \(x_1^2+x_2^2=20\Leftrightarrow4m^2+2m-12=0\Leftrightarrow2m^2+m-6=0\)

                                      \(\Leftrightarrow m=2;m=-\dfrac{3}{2}\)

Câu 1

Quảng Ninh 2013 - 2014

Cho phương trình: x2 – 3x – 2m2 = 0 (1) với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện      \(x_1^2=4x_2^2\).

 

Hướng dẫn giải:

​Dễ thấy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Điều kiện 

                                       \(x_1^2=4x_2^2\Leftrightarrow x_1=\pm2x_2\)

Sử dụng Viet ta thấy yêu cầu bài toán sẽ được thực hiện trong hai trường hợp sau:

a)   \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2x_2\\x_1+x_2=3\\x_1x_2=-2m^2\end{matrix}\right.\)                     và                     b)  \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=-2x_2\\x_1+x_2=3\\x_1x_2=-2m^2\end{matrix}\right.\)

   \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=1,x_1=2\\1.2=-2m^2\end{matrix}\right.\)                                           \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=-3;x_1=6\\-18=-2m^2\end{matrix}\right.\)

Đáp số      \(m=\pm3\)

Câu 1

Quảng Ninh 2014 - 2015

Cho phương trình : x2 + x + m – 5 = 0 (1) (m là tham số, x là ẩn)

  1. Giải phương trình (1) với m = 4.
  2. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ≠ 0, x2 ≠ 0 thỏa mãn:                                   \(\dfrac{6-m-x_1}{x_2}+\dfrac{6-m-x_2}{x_1}=\dfrac{10}{3}\)

Hướng dẫn giải:

​2. Có  \(\Delta=1-4\left(m-5\right)=21-4m\). Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi    \(m< \dfrac{21}{4}\).

Theo Viet ta có 

    \(\dfrac{6-m-x_1}{x_2}+\dfrac{6-m-x_2}{x_1}=\left(6-m\right)\left(\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_1}\right)-\left(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\right)\)

          \(=\left(6-m\right)\left(\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}\right)-\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}\)

           \(=\left(6-m\right)\dfrac{-1}{m-5}-\dfrac{\left(-1\right)^2-2\left(m-5\right)}{m-5}=\dfrac{3m-17}{m-5}\)

Yêu cầu bài toán là    \(\dfrac{3m-17}{m-5}=\dfrac{10}{3}\Leftrightarrow m=-1\) (thỏa mãn điều kiện \(m< \dfrac{21}{4}\) )

 

Câu 1

Quảng Ninh 2015-2016

Cho phương trình chứa tham số m:    \(x^2-2\left(m+1\right)x+2m+1=0\)  .  Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 và hai nghiệm đó thoả mãn điều kiện:

                            \(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1^2x_2^2-6m>4\)

Hướng dẫn giải:

​Ta có \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m-1=m^2\). Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(m\ne0\). Theo Viet, yêu cầu bài toán được thực hiện khi

         \(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1^2x_2^2-6m>4\)\(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-\left(2m+1\right)^2-6m-4>0\)

                               \(\Leftrightarrow-2m-1>0\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{2}\)  (thỏa mãn điều kiện \(m\ne0\)).

Đáp số:    \(m< -\dfrac{1}{2}\)

Câu 1

Quảng Ngãi 2013-2014

Tìm m để phương trình ​                  \(x^2+mx+m-2=0\)

         có 2 nghiệm x1; x2    thỏa mãn      |x1-x2|=2  .

Hướng dẫn giải:

\(\Delta=m^2-4\left(m-2\right)=\left(m-2\right)^2+4>0,\forall m\). Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.  Theo Viet, yêu cầu bài toán tương đương với

                     \(\left(x_1-x_2\right)^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\Leftrightarrow m^2-4\left(m-2\right)=4\)

                                               \(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2=0\Leftrightarrow m=2\)

Câu 1

Quảng Ngãi 2014-2015

Cho phương trình x2 - (3m + 1)x + 2m2 + m - 1 = 0 (1) với m là tham số.

a/ Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b/ Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1). Tìm m để biểu thức B = x12 + x22 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất.

 

Hướng dẫn giải:

​a)   \(\Delta=\left(3m+1\right)^2-4\left(2m^2+m-1\right)=\left(m+1\right)^2+4>0,\forall m\)

b)  \(B=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2=\left(3m+1\right)^2-5\left(2m^2+m-1\right)\)

                                                 \(=-m^2+m+6=-\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+6-\dfrac{1}{4}\)\

\(B\) đạt GTLN khi  \(m=\dfrac{1}{2}\)

 

Câu 1

Quảng Ngãi 2015-2016

  1. Cho phương trình:           \(x^2-2x+m+3=0\)     (với m là tham số)

a)      Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3 và tìm nghiệm còn lại.

b)      Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt  thỏa mãn hệ thức:

                                      \(x_1^2+x_2^2-x_1x_2-4=0\)

 

Hướng dẫn giải:

​b)    \(\Delta'=1-m-3=-m-2\). Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(m< -2\).  Theo Viet, yêu cầu bài toán là

                    \(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2-4=0\Leftrightarrow4-3\left(m+3\right)-4=0\)

Đáp số   \(m=-3\).

Bài làm

Hãy đăng nhập để làm bài!

Đăng nhập

00:00:00