Câu 1 (1 điểm):

Nam Định 2013-2014

Cho phương trình x2 – 2mx + m2 - m – 1 =0 (1), với m là tham số.

1)Giải phương trình (1) khi m = 1.

2)Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1(x1 +2) +x2(x2+2) = 10.

 

Hướng dẫn giải:

1)Giải phương trình (1) khi m =1.

Thay m = 1 vào (1) phương trình trở thành      x2-2x-1=0

Phương trình có nghiệm \(x=1\pm\sqrt{2}\) 

2)Xác định m để (1) có hai nghiệm x1 ;x2  thỏa mãn điều kiện ​ 

                         \(x_1\left(x_1+2\right)+x_2\left(x_2+2\right)=10\)

+Chỉ ra điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm x1;x2 \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow m\ge-1\)

+Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có  ​ 

                   \(x_1+x_2=2m;x_1x_2=m^2-m+1\)

Từ đó tính được \(x_1\left(x_1+2\right)+x_2\left(x_2+2\right)=2m^2+6m+2\).

+ Yêu cầu bài toán được thực hiện khi và chỉ khi 

                       \(2m^2+6m-8=0\Leftrightarrow m=1;m=-4\)

Đối chiếu điều kiện \(m\ge-1\) ta có đáp số    \(m=1\).

 


Câu 2 (1 điểm):

Nam Định 2013-2014

Cho phương trình x2 – 2mx + m2 - m – 1 =0 (1), với m là tham số.

1)Giải phương trình (1) khi m = 1.

2)Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1(x1 +2) +x2(x2+2) = 10.

 

Hướng dẫn giải:

1)Giải phương trình (1) khi m =1.

Thay m = 1 vào (1) phương trình trở thành      x2-2x-1=0

Phương trình có nghiệm \(x=1\pm\sqrt{2}\) 

2)Xác định m để (1) có hai nghiệm x1 ;x2  thỏa mãn điều kiện ​ 

                         \(x_1\left(x_1+2\right)+x_2\left(x_2+2\right)=10\)

+Chỉ ra điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm x1;x2 \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow m\ge-1\)

+Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có  ​ 

                   \(x_1+x_2=2m;x_1x_2=m^2-m+1\)

Từ đó tính được \(x_1\left(x_1+2\right)+x_2\left(x_2+2\right)=2m^2+6m+2\).

+ Yêu cầu bài toán được thực hiện khi và chỉ khi 

                       \(2m^2+6m-8=0\Leftrightarrow m=1;m=-4\)

Đối chiếu điều kiện \(m\ge-1\) ta có đáp số    \(m=1\).

 


Câu 3 (1 điểm):

Nam Định 2015-2016

Cho phương trình x2 – 2x – m2 + 2m = 0 (1), với m là tham số.

1)      Giải phương trình (1) khi m = 0

2)      Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện 

                                              \(x_1^2-x_2^2=10\)

 

 

Hướng dẫn giải:

​1) Khi \(m=0\) ta có phương trình \(x^2-2x=0\). Tập nghiệm là \(S=\left\{0;2\right\}\).

2) Ta có \(\Delta'=\left(m-1\right)^2\), phương trình có hai nghiệm phân biệt  \(x=m,x=2-m\)khi  \(m\ne1\) .  Yêu cầu bài toán được thực hiện khi và chỉ khi

               \(m^2-\left(2-m\right)^2=\pm10\)\(\Leftrightarrow m=\pm\dfrac{7}{2}\) (thỏa mãn điều kiện \(m\ne1\)).


Câu 4 (1 điểm):

Nam Định 2016-2017

Cho phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 – 2m + 3 = 0 (m là tham số)

1)      Giải phương trình với m = 2

2)      Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn:                              \(\left(x_1-1\right)^2+\left(x_2-1\right)^2+2\left(x_1+x_2-x_1x_2\right)=18\)

 

 

Hướng dẫn giải:

​2)   Ta có   

        \(\left(x_1-1\right)^2+\left(x_2-1\right)^2+2\left(x_1+x_2-x_1x_2\right)=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2+2\)

                                     \(=4\left(2m+1\right)^2-4\left(4m^2-2m+3\right)+2\)

                                       \(=24m-6\)

Yêu cầu bài toán được thực hiện khi  \(24m-6=18\Leftrightarrow m=1\)(dễ kiểm tra khi m =1 phương trình có nghiệm)


Câu 5 (1 điểm):

Ninh Bình 2014 - 2015

Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m – 5 = 0 (1), (x là ẩn, m là tham số).

  1. Giải phương tình với m = 2.
  2. Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. Tìm m để biểu thức  \(x_1^2+x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

​b.          \(\Delta=4\left(m-1\right)^2-4\left(m-5\right)=4m^2-12m+24\)

                                                               \(=\left(2m-3\right)^2+15>0,\forall m\)

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo Vi et ta có

                   \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m-1\right)^2-2\left(m-5\right)\)

                                    \(=4m^2-10m+14=\left(2m-\dfrac{5}{2}\right)^2+14-\dfrac{25}{4}\)

 Biểu thức này đạt GTNN khi và chỉ khi  \(m=\dfrac{5}{4}\).


Câu 6 (1 điểm):

Ninh Bình 2015 - 2016

Cho phương trình:  \(x^2-2x-m^2-4=0\)   (x là ẩn số, m là tham số).

Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. Tìm m biết    \(x_1^2+x_2^2=20\) .

 

Hướng dẫn giải:

​Phương trình có  \(\Delta'=1+m^2+4>0,\forall m\). Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo Vi et ta có

            \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4-2\left(m^2-4\right)=-2m^2+12\) 

Do đó  \(x_1^2+x_2^2=20\Leftrightarrow-2m^2+12=20\Leftrightarrow m=\pm2\).


Câu 7 (1 điểm):

Nghệ An 2013 - 2014

Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 4 = 0 (m là tham số)

a)      Giải phương trình với m = 2.

b)      Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn   

                                         \(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2\le3m^2+16\)

 

Hướng dẫn giải:

​b) \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2-4=2m-3\) . Phương trình có nghiệm khi  \(m\ge\dfrac{3}{2}\) .

Chú ý rằng \(x_1\)là một nghiệm phương trình nên 

                \(x_1^2-2\left(m+1\right)x_1+m^2+4\Rightarrow x_1^2=2\left(m+1\right)x_1-m^2-4\)

Suy ra    \(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2=2\left(m+1\right)\left(x_1+x_2\right)-m^2-4\)

                                                \(=2\left(m+1\right).2\left(m+1\right)-m^2-4\)

                                                \(=3m^2+8m\)

Yêu cầu bài toán trở thành     \(3m^2+8m\le3m^2+16\Leftrightarrow m\le2\)

Đáp số:       \(\dfrac{3}{2}\le m\le2\)


Câu 8 (1 điểm):

Nghệ An 2015 - 2016

Cho phương trình : \(x^2+2\left(m+1\right)x+m^2-3=0\) (1) (m là tham số).

a)      Giải phương trình (1) với m = 2.

b)   Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 sao cho

                                                      \(x_1^2+x_2^2=4\)          

Hướng dẫn giải:

​b) \(\Delta'=2m+4\). Phương trình có nghiệm khi    \(m\ge-2\) . Theo Viet ta có

          \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m+1\right)^2-2\left(m^2-3\right)\)

                         \(=2m^2+8m+10\)

Do đó   \(x_1^2+x_2^2=4\Leftrightarrow2m^2+8m+6=0\Leftrightarrow m=-1;m=-3\). Đối chiếu điều kiện   \(m\ge-2\) ta được đáp số  \(m=-1\)

Link bài học:
Thảo luận
1

Bài 1: Căn thức và rút gọn biểu thức

 1. Bài giảng: Căn bậc hai

 2. Tài liệu: Căn bậc hai

 3. Căn bậc hai, căn bậc ba

 4. Rút gọn biểu thức - Cơ bản

 5. Rút gọn biểu thức - Nâng cao

 6. Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 7. Tài liệu: Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 8. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

 9. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 10. Phân tích đa thức thành nhân tử

 11. Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

 12. Rút gọn biểu thức có chứa căn

2

Bài 2: Phương trình

 1. Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 2. Tài liệu : Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 4. Tài liệu: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 5. Giải phương trình bậc nhất

 6. Giải phương trình bậc hai

 7. Phương trình quy về bậc hai

 8. Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 9. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 10. Phương trình vô tỷ

3

Bài 3: Hàm số

 1. Hàm số, Đồ thị

 2. Hàm số bậc nhất

 3. Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số

 4. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax^2 (a khác 0)

 5. Xác định tham số để điểm thuộc đồ thị

 6. Vị trí tương đối của các đồ thị hàm số

 7. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

 8. Một số bài tập tự luận

4

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

 4. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

 6. Một số bài tập tự luận

5

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

 1. Định lí Viet

 2. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 4. Lập phương trình bậc hai biết các nghiệm của nó.

 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

 6. Các biểu thức đối xứng của hai nghiệm phương trình bậc hai.

 7. Luyện tập chung

 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

 9. Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho

 10. Bắc Giang, Bắc Ninh, Bình Định, Bình Dương

 11. Cà Mau, Cần Thơ, Đắc Lắc, Đà Nẵng, Đồng Nai

 12. Hải Dương, Hà Nam, Hà Nội

 13. Hà Tĩnh, Hòa Bình, Hưng Yên, Hải Phòng

 14. Khánh Hòa, Kiên Giang, Kon Tum, Lạng Sơn, Lào Cai, Long An

 15. Tp Hồ Chí Minh, Thanh Hóa, Thái Bình, Thái Nguyên, Thừa Thiên Huế, Trà Vinh

 16. Nam Định, Ninh Bình, Nghệ An

 17. Phú Thọ, Quảng Bình, Quảng Ninh, Quảng Ngãi

6

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 2. Tài liệu: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 3. Toán chuyển động

 4. Toán năng suất, số lượng

 5. Toán làm chung làm riêng

 6. Toán có nội dung hình học

 7. Toán về phần trăm

 8. Một số dạng toán khác

7

Bài 7: Bất đẳng thức

 1. Bất đẳng thức

 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứng minh BĐT

 3. Bất đẳng thức Cô si (p.1)

 4. Bất đẳng thức Cô si (p.2)

 5. Bất đẳng thức Cô si (p3)

 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.1)

 7. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.2)

 8. Thanh Hóa, Quảng Bình, Nghệ An, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hỏa Bình

 9. Bình Định, Hà Tĩnh, Hà Nội, Hà Nam, Hải Phòng, Bắc Giang

8

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

 1. GTLN, GTBN của tam thức bậc hai

 2. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

 3. GTLN, GTNN (p1)

 4. GTLN,GTNN (p2)

 5. Yên Bái, Bà Rịa Vũng Tàu, Vĩnh Phúc, Tuyên Quang, Thái Bình, Quảng Ninh

 6. Quảng Ngãi, Phú Thọ, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hòa Bình, Hà Tĩnh, Ninh Bình, Bắc Ninh Thanh Hóa

 7. Bắc Giang, Hà Nam, Bà Rịa Vũng Tàu, Hà Nội, Hà Tĩnh, Hải Phòng, Đăc Lắc