Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

Đề bài

Câu 1

Nam Định 2013-2014

Cho phương trình x2 – 2mx + m2 - m – 1 =0 (1), với m là tham số.

1)Giải phương trình (1) khi m = 1.

2)Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1(x1 +2) +x2(x2+2) = 10.

 

Hướng dẫn giải:

1)Giải phương trình (1) khi m =1.

Thay m = 1 vào (1) phương trình trở thành      x2-2x-1=0

Phương trình có nghiệm \(x=1\pm\sqrt{2}\) 

2)Xác định m để (1) có hai nghiệm x1 ;x2  thỏa mãn điều kiện ​ 

                         \(x_1\left(x_1+2\right)+x_2\left(x_2+2\right)=10\)

+Chỉ ra điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm x1;x2 \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow m\ge-1\)

+Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có  ​ 

                   \(x_1+x_2=2m;x_1x_2=m^2-m+1\)

Từ đó tính được \(x_1\left(x_1+2\right)+x_2\left(x_2+2\right)=2m^2+6m+2\).

+ Yêu cầu bài toán được thực hiện khi và chỉ khi 

                       \(2m^2+6m-8=0\Leftrightarrow m=1;m=-4\)

Đối chiếu điều kiện \(m\ge-1\) ta có đáp số    \(m=1\).

 

Câu 1

Nam Định 2013-2014

Cho phương trình x2 – 2mx + m2 - m – 1 =0 (1), với m là tham số.

1)Giải phương trình (1) khi m = 1.

2)Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1(x1 +2) +x2(x2+2) = 10.

 

Hướng dẫn giải:

1)Giải phương trình (1) khi m =1.

Thay m = 1 vào (1) phương trình trở thành      x2-2x-1=0

Phương trình có nghiệm \(x=1\pm\sqrt{2}\) 

2)Xác định m để (1) có hai nghiệm x1 ;x2  thỏa mãn điều kiện ​ 

                         \(x_1\left(x_1+2\right)+x_2\left(x_2+2\right)=10\)

+Chỉ ra điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm x1;x2 \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow m\ge-1\)

+Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có  ​ 

                   \(x_1+x_2=2m;x_1x_2=m^2-m+1\)

Từ đó tính được \(x_1\left(x_1+2\right)+x_2\left(x_2+2\right)=2m^2+6m+2\).

+ Yêu cầu bài toán được thực hiện khi và chỉ khi 

                       \(2m^2+6m-8=0\Leftrightarrow m=1;m=-4\)

Đối chiếu điều kiện \(m\ge-1\) ta có đáp số    \(m=1\).

 

Câu 1

Nam Định 2015-2016

Cho phương trình x2 – 2x – m2 + 2m = 0 (1), với m là tham số.

1)      Giải phương trình (1) khi m = 0

2)      Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện 

                                              \(x_1^2-x_2^2=10\)

 

 

Hướng dẫn giải:

​1) Khi \(m=0\) ta có phương trình \(x^2-2x=0\). Tập nghiệm là \(S=\left\{0;2\right\}\).

2) Ta có \(\Delta'=\left(m-1\right)^2\), phương trình có hai nghiệm phân biệt  \(x=m,x=2-m\)khi  \(m\ne1\) .  Yêu cầu bài toán được thực hiện khi và chỉ khi

               \(m^2-\left(2-m\right)^2=\pm10\)\(\Leftrightarrow m=\pm\dfrac{7}{2}\) (thỏa mãn điều kiện \(m\ne1\)).

Câu 1

Nam Định 2016-2017

Cho phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 – 2m + 3 = 0 (m là tham số)

1)      Giải phương trình với m = 2

2)      Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn:                              \(\left(x_1-1\right)^2+\left(x_2-1\right)^2+2\left(x_1+x_2-x_1x_2\right)=18\)

 

 

Hướng dẫn giải:

​2)   Ta có   

        \(\left(x_1-1\right)^2+\left(x_2-1\right)^2+2\left(x_1+x_2-x_1x_2\right)=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2+2\)

                                     \(=4\left(2m+1\right)^2-4\left(4m^2-2m+3\right)+2\)

                                       \(=24m-6\)

Yêu cầu bài toán được thực hiện khi  \(24m-6=18\Leftrightarrow m=1\)(dễ kiểm tra khi m =1 phương trình có nghiệm)

Câu 1

Ninh Bình 2014 - 2015

Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m – 5 = 0 (1), (x là ẩn, m là tham số).

  1. Giải phương tình với m = 2.
  2. Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. Tìm m để biểu thức  \(x_1^2+x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

​b.          \(\Delta=4\left(m-1\right)^2-4\left(m-5\right)=4m^2-12m+24\)

                                                               \(=\left(2m-3\right)^2+15>0,\forall m\)

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo Vi et ta có

                   \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m-1\right)^2-2\left(m-5\right)\)

                                    \(=4m^2-10m+14=\left(2m-\dfrac{5}{2}\right)^2+14-\dfrac{25}{4}\)

 Biểu thức này đạt GTNN khi và chỉ khi  \(m=\dfrac{5}{4}\).

Câu 1

Ninh Bình 2015 - 2016

Cho phương trình:  \(x^2-2x-m^2-4=0\)   (x là ẩn số, m là tham số).

Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. Tìm m biết    \(x_1^2+x_2^2=20\) .

 

Hướng dẫn giải:

​Phương trình có  \(\Delta'=1+m^2+4>0,\forall m\). Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo Vi et ta có

            \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4-2\left(m^2-4\right)=-2m^2+12\) 

Do đó  \(x_1^2+x_2^2=20\Leftrightarrow-2m^2+12=20\Leftrightarrow m=\pm2\).

Câu 1

Nghệ An 2013 - 2014

Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 4 = 0 (m là tham số)

a)      Giải phương trình với m = 2.

b)      Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn   

                                         \(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2\le3m^2+16\)

 

Hướng dẫn giải:

​b) \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2-4=2m-3\) . Phương trình có nghiệm khi  \(m\ge\dfrac{3}{2}\) .

Chú ý rằng \(x_1\)là một nghiệm phương trình nên 

                \(x_1^2-2\left(m+1\right)x_1+m^2+4\Rightarrow x_1^2=2\left(m+1\right)x_1-m^2-4\)

Suy ra    \(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2=2\left(m+1\right)\left(x_1+x_2\right)-m^2-4\)

                                                \(=2\left(m+1\right).2\left(m+1\right)-m^2-4\)

                                                \(=3m^2+8m\)

Yêu cầu bài toán trở thành     \(3m^2+8m\le3m^2+16\Leftrightarrow m\le2\)

Đáp số:       \(\dfrac{3}{2}\le m\le2\)

Câu 1

Nghệ An 2015 - 2016

Cho phương trình : \(x^2+2\left(m+1\right)x+m^2-3=0\) (1) (m là tham số).

a)      Giải phương trình (1) với m = 2.

b)   Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 sao cho

                                                      \(x_1^2+x_2^2=4\)          

Hướng dẫn giải:

​b) \(\Delta'=2m+4\). Phương trình có nghiệm khi    \(m\ge-2\) . Theo Viet ta có

          \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m+1\right)^2-2\left(m^2-3\right)\)

                         \(=2m^2+8m+10\)

Do đó   \(x_1^2+x_2^2=4\Leftrightarrow2m^2+8m+6=0\Leftrightarrow m=-1;m=-3\). Đối chiếu điều kiện   \(m\ge-2\) ta được đáp số  \(m=-1\)

Bài làm

Hãy đăng nhập để làm bài!

Đăng nhập

00:00:00