Một số phép tính về căn bậc hai của số thực SVIP

I. CĂN BẬC HAI CỦA MỘT BÌNH PHƯƠNG

CÔNG THỨC

Với mọi số $a$, ta có  $\sqrt {a^2} = |a|$.

Ví dụ 1. Tính:

a) $\sqrt{11^2}$; 

b) $\sqrt{\Big(-\dfrac73\Big)^2}$;

c) $\sqrt{(\sqrt 3 - 2)^2}$.

Lời giải

a) $\sqrt{11^2} = |11| = 11$; 

b) $\sqrt{\Big(-\dfrac73\Big)^2} = \Big|-\dfrac73\Big| = \dfrac73$;

c) Do $3 < 4$ nên  $\sqrt3  < \sqrt 4$ hay $\sqrt 3 < 2$.

Nên $\sqrt3 - 2<0$ suy ra $|\sqrt3 - 2| = 2 - \sqrt3$.

II. CĂN BẬC HAI CỦA MỘT TÍCH

CÔNG THỨC

Với hai số không âm $a$ và $b$, ta có $\sqrt a . \sqrt b = \sqrt{ab}$.

Ví dụ 2. Tính:

a) $\sqrt{81.49}$; 

b) $\sqrt{5} . \sqrt{20}$;

Lời giải

a) $\sqrt{81.49} = \sqrt{81} . \sqrt{49} = 9.7 = 63$; 

b) $\sqrt{5} . \sqrt{20} = \sqrt{5.20} = \sqrt{100} = 10$.

CHÚ Ý

Kết quả trên có thể mở rộng cho nhiều thừa số không âm, ví dụ: $\sqrt a . \sqrt b . \sqrt c = \sqrt{abc}$ với $a \ge 0; \, b \ge 0; \, c \ge 0$.

Ví dụ 3. Tính giá trị căn thức: $\sqrt{2^2 . 3^2 . 5^2}$.

Lời giải

$\sqrt{2^2 . 3^2 . 5^2} = \sqrt {2^2} .  \sqrt {3^2} .  \sqrt {5^2} =  2. 3. 5 = 30$.

III. CĂN BẬC HAI CỦA MỘT THƯƠNG

CÔNG THỨC

Nếu $A$, $B$ là các biểu thức với $A \ge 0$; $B > 0$, thì $\sqrt{\dfrac AB} = \dfrac{\sqrt A}{\sqrt B}$.

Ví dụ 4. Tính. $\sqrt 8  \, : \, \sqrt 2$.

Lời giải

$\sqrt{8} \, : \, \sqrt 2 = \sqrt{8 \, : \, 2} = \sqrt 4 = 2$.

Ví dụ 5. Tính $\sqrt{6,25}$.

Lời giải

$\sqrt{6,25} = \sqrt{\dfrac{625}{100}} = \sqrt{\dfrac{25}4} = \dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt 4} = \dfrac52$.

IV. ĐƯA THỪA SỐ RA NGOÀI DẤU CĂN BẬC HAI

QUY TẮC

Cho hai số a, b với b \ge 0. Khi đó $\sqrt{a^2b} = |a|\sqrt b$. Cụ thể, ta có:

+ Nếu $a \ge 0$ thì $\sqrt{a^2b} = a\sqrt b$;

+ Nếu $a < 0$ thì $\sqrt{a^2b} = -a\sqrt b$.

Ví dụ 6. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{7^2 . 2}$;

b) $\sqrt{50}$. 

Lời giải

a) $\sqrt{7^2 . 2} = 7\sqrt2$;

b) $\sqrt{50} = \sqrt{25.2} = \sqrt{5^2.2} = 5\sqrt2$. 

V. ĐƯA THỪA SỐ VÀO TRONG DẤU CĂN BẬC HAI

QUY TẮC

+ Với $a \ge 0$ và $b \ge 0$, ta có: $a\sqrt b = \sqrt{a^2b}$;

+ Với $a < 0$ và $b \ge 0$, ta có: $a\sqrt b = -\sqrt{a^2b}$.

Ví dụ 7. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $3\sqrt{\dfrac13}$;

b) $5\sqrt{\dfrac75} - \sqrt{35}$. 

Lời giải

a) $3\sqrt{\dfrac13} = \sqrt{3^2.\dfrac13} = \sqrt3$;

b) $5\sqrt{\dfrac75} - \sqrt{35} = \sqrt{5^2.\dfrac75} - \sqrt{35} = \sqrt{5.7} - \sqrt35 = 0$.