Câu 1 (1 điểm):

Cho parabol (P) : y = 2x2 và đường thẳng d : y = x + 1.

a) Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b) Viết phương trình đường thẳng d1 song song với đường thẳng d và đi qua điểm A (-1;2).

Hướng dẫn giải:

​a) Ta có hai bảng giá trị:

x -2 -1 0 1 2
y = 2x2 8 2 0 2 8
x 0 -1
y 1 0

 

–2 –2 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 14 16 16 18 18 20 20 22 22 24 24 26 26 28 28 30 30 32 32 34 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 44 –22 –22 –20 –20 –18 –18 –16 –16 –14 –14 –12 –12 –10 –10 –8 –8 –6 –6 –4 –4 –2 –2 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 0 0 c f y = 2x y = x+1 -1 1

b) Gọi phương trình đường thẳng d1 là : y = ax + b

Do đường thẳng d1 song song với đường thẳng d nên a = 1, \(b\ne1.\)

Vậy ta có hàm số : y = x + b

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A (-1 ; 2) nên 2 = -1 + b \(\Rightarrow b=3\)

Vậy phương trình đường thẳng d2 là: y = x + 3.

 


Câu 2 (1 điểm):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy:

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số \(y=\dfrac{1}{4}x^2\).

b) Cho đường thẳng (d) : \(y=\dfrac{3}{2}x+m\) đi qua điểm C(6;7). Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).

 

Hướng dẫn giải:

​a) Ta có bảng giá trị :

x -4 -2 0 2 4
\(y=\dfrac{1}{4}x^2\) 4 1 0 1 4

Đồ thị hàm số:

–4 –4 –2 –2 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 14 16 16 18 18 20 20 22 22 24 24 26 26 28 28 30 30 32 32 34 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 44 46 46 48 48 50 50 52 52 54 54 56 56 –24 –24 –22 –22 –20 –20 –18 –18 –16 –16 –14 –14 –12 –12 –10 –10 –8 –8 –6 –6 –4 –4 –2 –2 2 2 4 4 6 6 8 8 0 0 1 4 2 y = x

b) Do đường thẳng (d) : \(y=\dfrac{3}{2}x+m\) đi qua điểm C(6;7) nên:

                          \(7=\dfrac{3}{2}.6+m\Rightarrow m=-2\) 

Vậy ta có đường thẳng (d) : \(y=\dfrac{3}{2}x-2\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

                                  \(\dfrac{1}{4}x^2=\dfrac{3}{2}x-2\)

                             \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{3}{2}x+2=0\)

                              \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=2\end{matrix}\right.\)

Với x = 4, y = 4

Với x = 2, y = 1

Vậy hai giao điểm của (d) và (P) là A(4;4) và B(2;1). 


Câu 3 (1 điểm):

Cho hàm số \(y=-\dfrac{1}{2}x^2\) có đồ thị (P).

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số.

b) Cho đường thẳng y = mx + n \(\left(\Delta\right)\). Tìm m, n để đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) song song với đường thẳng y = -2x + 5 (d) và có duy nhất một điểm chung với đồ thị (P).

  

Hướng dẫn giải:

​a) Ta có bảng giá trị:

x -2 -1 0 1 2
\(y=-\dfrac{1}{2}x^2\) -2 -1/2 0 -1/2 -2

–2 –2 –1 –1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28 28 29 29 30 30 31 31 32 32 33 33 34 34 35 35 –11 –11 –10 –10 –9 –9 –8 –8 –7 –7 –6 –6 –5 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 1 1 0 0 c 1 2 2 y = x

b) Để \(\left(\Delta\right)\) song song với đường thẳng (d) thì \(\left\{{}\begin{matrix}m=-2\\n\ne5\end{matrix}\right.\)

Khi đó phương trình đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) là: y = -2x + n

Xét phương trình hoành độ giao điểm: 

                             \(-\dfrac{1}{2}x^2=-2x+n\)

                          \(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}x^2+2x-n=0\)

\(\Delta'=1^2-\dfrac{1}{2}.n=1-\dfrac{n}{2}\)

Để \(\left(\Delta\right)\) giao (P) tại một điểm duy nhất thì phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất.

Hay \(\Delta'=0\Leftrightarrow1-\dfrac{n}{2}=0\Leftrightarrow n=2\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) là : y = -2x + 2.

 

 

 


Câu 4 (1 điểm):

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) : y = -x2 và đường thẳng (d) : y = x - 2 cắt nhau tại hai điểm A, B. Tìm tọa độ các điểm A, B và tính diện tích tam giác OAB (trong đó O là gốc tọa độ, hoành độ của điểm A lớn hơn hoành độ của điểm B). 

Hướng dẫn giải:

​Xét phương trình hoành độ giao điểm:

             \(-x^2=x-2\)

           \(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)

           \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Do \(x_A>x_B\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=1;y_A=-1\\x_B=-2;y_B=-4\end{matrix}\right.\)

Vậy thì A(1;-1) và B(-2;-4).

–2 –2 –1 –1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28 28 29 29 30 30 31 31 32 32 33 33 34 34 35 35 –11 –11 –10 –10 –9 –9 –8 –8 –7 –7 –6 –6 –5 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 1 1 0 0 B A C O

Ta thấy ngay đường thẳng (d) cắt trục tung tại C(0;-2)

Từ đó ta có:

 \(S_{OAB}=S_{OAC}+S_{OCB}=\dfrac{1}{2}.\left|y_C\right|.\left|x_A\right|+\dfrac{1}{2}\left|y_C\right|\left|x_B\right|=3\left(đvdt\right)\)


Câu 5 (1 điểm):

Cho parabol (P) : y = 2x2 và đường thẳng (d) : y = x + 1.

1) Vẽ đồ thị của (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ

2) Bằng phép tính, xác định tọa độ giao điểm A và B của (P) và (d). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Hướng dẫn giải:

​1) Ta có hai bảng giá trị:

x -2 -1 0 1 2
y = 2x2 8 2 0 2 8
x 0 -1
y 1 0

–2 –2 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 14 16 16 18 18 20 20 22 22 24 24 26 26 28 28 30 30 32 32 34 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 44 46 46 48 48 50 50 52 52 54 54 56 56 58 58 60 60 –10 –10 –8 –8 –6 –6 –4 –4 –2 –2 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 0 0 c y=x+1 y=2x 2 -1 1

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

                  \(2x^2=x+1\)

             \(\Leftrightarrow2x^2-x-1=0\)

             \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Với x = 1, y = 2.

Với \(x=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy A(1;2) ; \(B\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

\(AB=\sqrt{\left(1+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(2-\dfrac{1}{2}\right)^2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(đvd\right)\)


Câu 6 (1 điểm):

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (P) là đồ thị hàm số y = x2.

a) Vẽ (P)

b) Xác định hệ số a để đường thẳng y = ax + 3 cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.

 

Hướng dẫn giải:

​1) Ta có bảng giá trị:

x -2 -1 0 1 2
y = x2 4 1 0 1 4

–2 –2 –1 –1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28 28 29 29 30 30 31 31 32 32 33 33 34 34 –6 –6 –5 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 0 0 y = x 2

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm: 

                     \(x^2=ax+3\Leftrightarrow x^2-ax-3=0\)   (*)

Để giao điểm có hoành độ bằng 1 thì phương trình (*) có nghiệm x = 1.

Khi đó    \(1^2-a-3=0\Leftrightarrow a=-2\)

Vậy a = -2.

 


Câu 7 (1 điểm):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình : \(y=\dfrac{1}{2}x^2\) và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là xA = -1, xB = 2.

a) Tìm tọa độ của hai điểm A, B.

b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B.

c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d).

 

Hướng dẫn giải:

​a) Do A, B thuộc (P) nên ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_A=-1\\x_B=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_A=\dfrac{1}{2}\\y_B=2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(A\left(-1;\dfrac{1}{2}\right);B\left(2;2\right)\).

b) Giả sử phương trình đường thẳng (d) : y = ax + b

Do A, B thuộc (d) nên \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}=-a+b\\2=2a+b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình đường thẳng (d) : \(y=\dfrac{1}{2}x+1\)

c) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của (d) với Ox và Oy. Đặt H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống (d).

Với \(y_M=0\Rightarrow x_M=-2\)

Với \(x_N=0\Rightarrow y_N=1\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OMN, ta có:

\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac{1}{ON^2}=\dfrac{1}{\left|x_M\right|^2}+\dfrac{1}{\left|y_N\right|^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{1^2}\Rightarrow OH=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\left(đvd\right)\)

Vậy khoảng cách từ O đến đường thẳng (d) là \(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\left(đvd.\right)\)

 


Câu 8 (1 điểm):

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): \(y=\dfrac{1}{2}x^2\) và đường thẳng (d) : \(y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{2}\)

a) Vẽ đồ thị của (P).

b) Gọi \(A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)\) lần lượt là các giao điểm của (P) với đường thẳng (d). Tính giá trị của biểu thức \(T=\dfrac{x_1+x_2}{y_1+y_2}.\)

Hướng dẫn giải:

​a) Bảng giá trị:

x -2 -1 0 1 2
\(y=\dfrac{1}{2}x^2\) 2 1/2 0 1/2 2

–2 –2 –1 –1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 26 26 –12 –12 –11 –11 –10 –10 –9 –9 –8 –8 –7 –7 –6 –6 –5 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 1 1 2 2 3 3 4 4 0 0 y = x 1 2 2

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm: 

            \(\dfrac{1}{2}x^2=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{2}\)     

       \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{3}{2}=0\)

       \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Với \(x_1=2\Rightarrow y_1=2\)

Với \(x_1=-\dfrac{3}{2}\Rightarrow y_1=\dfrac{9}{8}\)

Vậy thì \(T=\dfrac{2-\dfrac{3}{2}}{2+\dfrac{9}{8}}=\dfrac{4}{25}\)


Câu 9 (1 điểm):

Cho hai đường thẳng (d1): y = -x - 2 ; (d2): y = -2x và parabol (P) : y = ax2 với \(a\ne0\). Tìm a để parabol (P) đi qua giao điểm của d1 và d2.

Hướng dẫn giải:

​Xét phương trình hoành độ giao điểm:

        \(-x-2=-2x\Leftrightarrow x=2\)

Với x = 2, y = -4.

Vậy giao điểm của (d1) và (d2) là điểm A(2;-4).

Để A thuộc parabol (P) thì :

\(-4=a.\left(2\right)^2\Leftrightarrow a=-1\)

Vậy a = -1.


Câu 10 (1 điểm):

Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4x + 9.

a) Vẽ đồ thị (P).

b) Viết phương trình đường thẳng (d1) biết (d1) song song (d) và (d1) tiếp xúc (P).

 

Hướng dẫn giải:

​a) Bảng giá trị:

x -2 -1 0 1 2
y = x2 4 1 0 1 4

–2 –2 –1 –1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 26 26 –12 –12 –11 –11 –10 –10 –9 –9 –8 –8 –7 –7 –6 –6 –5 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 0 0 y = x 2

b) Gọi phương trình đường thẳng (d1) là: y = ax + b

Do (d1) // (d) nên \(\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b\ne9\end{matrix}\right.\) 

Vậy ta có : \(y=4x+b\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

                       \(x^2=4x+b\)   (*)

                 \(\Leftrightarrow x^2-4x-b=0\)

\(\Delta'=2^2+b=b+4\)

Để đường thẳng (d1) tiếp xúc (P) thì phương trình (*) có 1 nghiệm duy nhất.

Hay \(\Delta'=0\Leftrightarrow b=-4\)

Vậy phương trình đường thẳng (d1) là: y = 4x - 4.


Câu 11 (1 điểm):

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y = -3x2 và hai điểm A(-1;-3) ; B(2;3).

a) Chứng tỏ rằng điểm A thuộc parabol (P).

b) Tìm tọa độ điểm C (C khác A) thuộc parabol (P) sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng.

 

Hướng dẫn giải:

​a) Với x = -1, y = (-3).(-1)2 = -3.

Vậy A(-1;-3) thuộc (P).

b) Điểm C chính là một giao điểm của đường thẳng (d) đi qua A và B với parabol (P).

Giả sử phương trình đường thẳng (d) : y = ax + b

Ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}-a+b=-3\\2a+b=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình đường thẳng (d) là: \(y=2x-1\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

           \(-3x^2=2x-1\)

         \(\Leftrightarrow3x^2+2x-1=0\)

         \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Do xA = -1 nên \(x_C=\dfrac{1}{3}\Rightarrow y_C=-\dfrac{1}{3}\)

Vậy \(C\left(\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3}\right)\).

          

Link bài học:
Thảo luận
1

Bài 1: Căn thức và rút gọn biểu thức

 1. Bài giảng: Căn bậc hai

 2. Tài liệu: Căn bậc hai

 3. Căn bậc hai, căn bậc ba

 4. Rút gọn biểu thức - Cơ bản

 5. Rút gọn biểu thức - Nâng cao

 6. Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 7. Tài liệu: Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 8. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

 9. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 10. Phân tích đa thức thành nhân tử

 11. Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

 12. Rút gọn biểu thức có chứa căn

2

Bài 2: Phương trình

 1. Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 2. Tài liệu : Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 4. Tài liệu: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 5. Giải phương trình bậc nhất

 6. Giải phương trình bậc hai

 7. Phương trình quy về bậc hai

 8. Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 9. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 10. Phương trình vô tỷ

3

Bài 3: Hàm số

 1. Hàm số, Đồ thị

 2. Hàm số bậc nhất

 3. Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số

 4. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax^2 (a khác 0)

 5. Xác định tham số để điểm thuộc đồ thị

 6. Vị trí tương đối của các đồ thị hàm số

 7. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

 8. Một số bài tập tự luận

4

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

 4. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

 6. Một số bài tập tự luận

5

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

 1. Định lí Viet

 2. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 4. Lập phương trình bậc hai biết các nghiệm của nó.

 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

 6. Các biểu thức đối xứng của hai nghiệm phương trình bậc hai.

 7. Luyện tập chung

 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

 9. Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho

 10. Bắc Giang, Bắc Ninh, Bình Định, Bình Dương

 11. Cà Mau, Cần Thơ, Đắc Lắc, Đà Nẵng, Đồng Nai

 12. Hải Dương, Hà Nam, Hà Nội

 13. Hà Tĩnh, Hòa Bình, Hưng Yên, Hải Phòng

 14. Khánh Hòa, Kiên Giang, Kon Tum, Lạng Sơn, Lào Cai, Long An

 15. Tp Hồ Chí Minh, Thanh Hóa, Thái Bình, Thái Nguyên, Thừa Thiên Huế, Trà Vinh

 16. Nam Định, Ninh Bình, Nghệ An

 17. Phú Thọ, Quảng Bình, Quảng Ninh, Quảng Ngãi

6

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 2. Tài liệu: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 3. Toán chuyển động

 4. Toán năng suất, số lượng

 5. Toán làm chung làm riêng

 6. Toán có nội dung hình học

 7. Toán về phần trăm

 8. Một số dạng toán khác

7

Bài 7: Bất đẳng thức

 1. Bất đẳng thức

 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứng minh BĐT

 3. Bất đẳng thức Cô si (p.1)

 4. Bất đẳng thức Cô si (p.2)

 5. Bất đẳng thức Cô si (p3)

 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.1)

 7. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.2)

 8. Thanh Hóa, Quảng Bình, Nghệ An, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hỏa Bình

 9. Bình Định, Hà Tĩnh, Hà Nội, Hà Nam, Hải Phòng, Bắc Giang

8

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

 1. GTLN, GTBN của tam thức bậc hai

 2. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

 3. GTLN, GTNN (p1)

 4. GTLN,GTNN (p2)

 5. Yên Bái, Bà Rịa Vũng Tàu, Vĩnh Phúc, Tuyên Quang, Thái Bình, Quảng Ninh

 6. Quảng Ngãi, Phú Thọ, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hòa Bình, Hà Tĩnh, Ninh Bình, Bắc Ninh Thanh Hóa

 7. Bắc Giang, Hà Nam, Bà Rịa Vũng Tàu, Hà Nội, Hà Tĩnh, Hải Phòng, Đăc Lắc