Cho parabol (P) : y = 2x2 và đường thẳng d : y = x + 1.
a) Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b) Viết phương trình đường thẳng d1 song song với đường thẳng d và đi qua điểm A (-1;2).
a) Ta có hai bảng giá trị:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
y = 2x2 | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
x | 0 | -1 |
y | 1 | 0 |
b) Gọi phương trình đường thẳng d1 là : y = ax + b
Do đường thẳng d1 song song với đường thẳng d nên a = 1, \(b\ne1.\)
Vậy ta có hàm số : y = x + b
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A (-1 ; 2) nên 2 = -1 + b \(\Rightarrow b=3\)
Vậy phương trình đường thẳng d2 là: y = x + 3.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy:
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số \(y=\dfrac{1}{4}x^2\).
b) Cho đường thẳng (d) : \(y=\dfrac{3}{2}x+m\) đi qua điểm C(6;7). Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
a) Ta có bảng giá trị :
x | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
\(y=\dfrac{1}{4}x^2\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Đồ thị hàm số:
b) Do đường thẳng (d) : \(y=\dfrac{3}{2}x+m\) đi qua điểm C(6;7) nên:
\(7=\dfrac{3}{2}.6+m\Rightarrow m=-2\)
Vậy ta có đường thẳng (d) : \(y=\dfrac{3}{2}x-2\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\dfrac{1}{4}x^2=\dfrac{3}{2}x-2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{3}{2}x+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=2\end{matrix}\right.\)
Với x = 4, y = 4
Với x = 2, y = 1
Vậy hai giao điểm của (d) và (P) là A(4;4) và B(2;1).
Cho hàm số \(y=-\dfrac{1}{2}x^2\) có đồ thị (P).
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số.
b) Cho đường thẳng y = mx + n \(\left(\Delta\right)\). Tìm m, n để đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) song song với đường thẳng y = -2x + 5 (d) và có duy nhất một điểm chung với đồ thị (P).
a) Ta có bảng giá trị:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
\(y=-\dfrac{1}{2}x^2\) | -2 | -1/2 | 0 | -1/2 | -2 |
b) Để \(\left(\Delta\right)\) song song với đường thẳng (d) thì \(\left\{{}\begin{matrix}m=-2\\n\ne5\end{matrix}\right.\)
Khi đó phương trình đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) là: y = -2x + n
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(-\dfrac{1}{2}x^2=-2x+n\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}x^2+2x-n=0\)
\(\Delta'=1^2-\dfrac{1}{2}.n=1-\dfrac{n}{2}\)
Để \(\left(\Delta\right)\) giao (P) tại một điểm duy nhất thì phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất.
Hay \(\Delta'=0\Leftrightarrow1-\dfrac{n}{2}=0\Leftrightarrow n=2\)
Vậy phương trình đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) là : y = -2x + 2.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) : y = -x2 và đường thẳng (d) : y = x - 2 cắt nhau tại hai điểm A, B. Tìm tọa độ các điểm A, B và tính diện tích tam giác OAB (trong đó O là gốc tọa độ, hoành độ của điểm A lớn hơn hoành độ của điểm B).
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(-x^2=x-2\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)
Do \(x_A>x_B\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=1;y_A=-1\\x_B=-2;y_B=-4\end{matrix}\right.\)
Vậy thì A(1;-1) và B(-2;-4).
Ta thấy ngay đường thẳng (d) cắt trục tung tại C(0;-2)
Từ đó ta có:
\(S_{OAB}=S_{OAC}+S_{OCB}=\dfrac{1}{2}.\left|y_C\right|.\left|x_A\right|+\dfrac{1}{2}\left|y_C\right|\left|x_B\right|=3\left(đvdt\right)\)
Cho parabol (P) : y = 2x2 và đường thẳng (d) : y = x + 1.
1) Vẽ đồ thị của (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ
2) Bằng phép tính, xác định tọa độ giao điểm A và B của (P) và (d). Tính độ dài đoạn thẳng AB.
1) Ta có hai bảng giá trị:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
y = 2x2 | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
x | 0 | -1 |
y | 1 | 0 |
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(2x^2=x+1\)
\(\Leftrightarrow2x^2-x-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Với x = 1, y = 2.
Với \(x=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy A(1;2) ; \(B\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
\(AB=\sqrt{\left(1+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(2-\dfrac{1}{2}\right)^2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(đvd\right)\)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (P) là đồ thị hàm số y = x2.
a) Vẽ (P)
b) Xác định hệ số a để đường thẳng y = ax + 3 cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.
1) Ta có bảng giá trị:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
y = x2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^2=ax+3\Leftrightarrow x^2-ax-3=0\) (*)
Để giao điểm có hoành độ bằng 1 thì phương trình (*) có nghiệm x = 1.
Khi đó \(1^2-a-3=0\Leftrightarrow a=-2\)
Vậy a = -2.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình : \(y=\dfrac{1}{2}x^2\) và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là xA = -1, xB = 2.
a) Tìm tọa độ của hai điểm A, B.
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B.
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d).
a) Do A, B thuộc (P) nên ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_A=-1\\x_B=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_A=\dfrac{1}{2}\\y_B=2\end{matrix}\right.\)
Vậy \(A\left(-1;\dfrac{1}{2}\right);B\left(2;2\right)\).
b) Giả sử phương trình đường thẳng (d) : y = ax + b
Do A, B thuộc (d) nên \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}=-a+b\\2=2a+b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình đường thẳng (d) : \(y=\dfrac{1}{2}x+1\)
c) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của (d) với Ox và Oy. Đặt H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống (d).
Với \(y_M=0\Rightarrow x_M=-2\)
Với \(x_N=0\Rightarrow y_N=1\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OMN, ta có:
\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac{1}{ON^2}=\dfrac{1}{\left|x_M\right|^2}+\dfrac{1}{\left|y_N\right|^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{1^2}\Rightarrow OH=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\left(đvd\right)\)
Vậy khoảng cách từ O đến đường thẳng (d) là \(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\left(đvd.\right)\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): \(y=\dfrac{1}{2}x^2\) và đường thẳng (d) : \(y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{2}\)
a) Vẽ đồ thị của (P).
b) Gọi \(A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)\) lần lượt là các giao điểm của (P) với đường thẳng (d). Tính giá trị của biểu thức \(T=\dfrac{x_1+x_2}{y_1+y_2}.\)
a) Bảng giá trị:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
\(y=\dfrac{1}{2}x^2\) | 2 | 1/2 | 0 | 1/2 | 2 |
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\dfrac{1}{2}x^2=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{3}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Với \(x_1=2\Rightarrow y_1=2\)
Với \(x_1=-\dfrac{3}{2}\Rightarrow y_1=\dfrac{9}{8}\)
Vậy thì \(T=\dfrac{2-\dfrac{3}{2}}{2+\dfrac{9}{8}}=\dfrac{4}{25}\).
Cho hai đường thẳng (d1): y = -x - 2 ; (d2): y = -2x và parabol (P) : y = ax2 với \(a\ne0\). Tìm a để parabol (P) đi qua giao điểm của d1 và d2.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(-x-2=-2x\Leftrightarrow x=2\)
Với x = 2, y = -4.
Vậy giao điểm của (d1) và (d2) là điểm A(2;-4).
Để A thuộc parabol (P) thì :
\(-4=a.\left(2\right)^2\Leftrightarrow a=-1\)
Vậy a = -1.
Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4x + 9.
a) Vẽ đồ thị (P).
b) Viết phương trình đường thẳng (d1) biết (d1) song song (d) và (d1) tiếp xúc (P).
a) Bảng giá trị:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
y = x2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
b) Gọi phương trình đường thẳng (d1) là: y = ax + b
Do (d1) // (d) nên \(\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b\ne9\end{matrix}\right.\)
Vậy ta có : \(y=4x+b\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^2=4x+b\) (*)
\(\Leftrightarrow x^2-4x-b=0\)
\(\Delta'=2^2+b=b+4\)
Để đường thẳng (d1) tiếp xúc (P) thì phương trình (*) có 1 nghiệm duy nhất.
Hay \(\Delta'=0\Leftrightarrow b=-4\)
Vậy phương trình đường thẳng (d1) là: y = 4x - 4.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y = -3x2 và hai điểm A(-1;-3) ; B(2;3).
a) Chứng tỏ rằng điểm A thuộc parabol (P).
b) Tìm tọa độ điểm C (C khác A) thuộc parabol (P) sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng.
a) Với x = -1, y = (-3).(-1)2 = -3.
Vậy A(-1;-3) thuộc (P).
b) Điểm C chính là một giao điểm của đường thẳng (d) đi qua A và B với parabol (P).
Giả sử phương trình đường thẳng (d) : y = ax + b
Ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}-a+b=-3\\2a+b=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình đường thẳng (d) là: \(y=2x-1\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(-3x^2=2x-1\)
\(\Leftrightarrow3x^2+2x-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
Do xA = -1 nên \(x_C=\dfrac{1}{3}\Rightarrow y_C=-\dfrac{1}{3}\)
Vậy \(C\left(\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3}\right)\).