Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

Đề bài

Câu 1

Hải Dương 2016-2017

Cho phương trình   \(x^2-5x+m-3=0\) . Tìm m để  phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1,x_2\)  thỏa mãn  điều kiện  \(x_1^2-2x_1x_2+3x_2=1\).

 

Hướng dẫn giải:

​Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt là  \(\Delta>0\Leftrightarrow25-4\left(m-3\right)>0\Leftrightarrow m< \dfrac{37}{4}\)

Định lí Viet và yêu cầu bài toán cho 

                        \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\left(1\right)\\x_1x_2=m-3\left(2\right)\\x_1^2-2x_1x_2+3x_2=1\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) suy ra  \(x_1=5-x_2\) (1'). Thế (1') vào (3) ta có

                     \(\left(5-x_2\right)^2-2\left(5-x_2\right)x_2+3x_2=1\)

                   \(\Leftrightarrow3x_2^2-17x_2+24=0\Leftrightarrow x_2=3;x_2=\dfrac{8}{3}\)

- Nếu \(x_2=3\) thì (1') suy ra  \(x_1=2\), thay vào (2) ta có  \(6=m-3\Leftrightarrow m=9\)

- Nếu \(x_2=\dfrac{8}{3}\) thì  \(x_1=5-\dfrac{8}{3}=\dfrac{7}{3}\) . Thế vào  (2) ta được 

                      \(\dfrac{56}{9}=m-3\Leftrightarrow m=\dfrac{83}{9}\)

Đáp số:     \(m=9;m=\dfrac{83}{9}\)

   

Câu 1

Hải Dương 2016-2017

Cho phương trình   \(x^2-5x+m-3=0\) . Tìm m để  phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1,x_2\)  thỏa mãn  điều kiện  \(x_1^2-2x_1x_2+3x_2=1\).

 

Hướng dẫn giải:

​Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt là  \(\Delta>0\Leftrightarrow25-4\left(m-3\right)>0\Leftrightarrow m< \dfrac{37}{4}\)

Định lí Viet và yêu cầu bài toán cho 

                        \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\left(1\right)\\x_1x_2=m-3\left(2\right)\\x_1^2-2x_1x_2+3x_2=1\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) suy ra  \(x_1=5-x_2\) (1'). Thế (1') vào (3) ta có

                     \(\left(5-x_2\right)^2-2\left(5-x_2\right)x_2+3x_2=1\)

                   \(\Leftrightarrow3x_2^2-17x_2+24=0\Leftrightarrow x_2=3;x_2=\dfrac{8}{3}\)

- Nếu \(x_2=3\) thì (1') suy ra  \(x_1=2\), thay vào (2) ta có  \(6=m-3\Leftrightarrow m=9\)

- Nếu \(x_2=\dfrac{8}{3}\) thì  \(x_1=5-\dfrac{8}{3}=\dfrac{7}{3}\) . Thế vào  (2) ta được 

                      \(\dfrac{56}{9}=m-3\Leftrightarrow m=\dfrac{83}{9}\)

Đáp số:     \(m=9;m=\dfrac{83}{9}\)

   

Câu 1

Hải Phòng 2014-2015

  1. Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

a)      Giải phương trình (1) khi m = 2

b)      Tìm giá trị nhỏ nhất của              \(P=x_1^2+x_2^2\)  với              \(x_1,x_2\)  là hai nghiệm của phương

 trình (1)

Hướng dẫn giải:

​a) Khi m = 2 ta có phương trình  \(x^2-2x=0\Leftrightarrow x=0;x=2\).

b) \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-2m+4=\left(m-2\right)^2+1>0,\forall m\). Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo Viet ta có

              \(P=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m-1\right)^2-2\left(2m-4\right)\)

                   \(=\left(2m-3\right)^2+3\ge3\)

GTNN = 3 đạt được khi và chỉ khi \(m=\dfrac{3}{2}\)

Câu 1

Hải Phòng 2015-2016

  1. Trong hệ trục Oxy, cho đường thẳng (d): y = (5m – 1)x – 6m2 + 2m (m là tham số) và parabol (P): y = x2 .

a)      Tìm giá trị của m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.

b)      Gọi x1; x2 lần lượt là hoành độ của A, B. Tìm giá trị của m để

                                                                         \(x_1^2+x_2^2=1\)

 

Hướng dẫn giải:

​a) Phương trình xác định hoành độ giao điểm hai đường

                                \(x^2=\left(5m-1\right)x-6m^2+2m\)

                           \(\Leftrightarrow x^2-\left(5m-1\right)x+6m^2-2m=0\)

                            \(\Leftrightarrow x=2m;x=3m-1\)

Hai đường cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi \(3m-1\ne2m\Leftrightarrow m\ne1\)

b)                          \(x_1^2+x_2^2=1\Leftrightarrow4m^2+\left(3m-1\right)^2=1\)

                   \(\Leftrightarrow3m^2-6m=0\Leftrightarrow m=0;m=\dfrac{6}{13}\) (thỏa mãn điều kiện \(m\ne1\))

 

Câu 1

Hải Phòng 2016-2017

  1. Cho phương trình: x2 – mx – 4 = 0 (1) ( với m là tham số)

a)      Giải phương trình (1) khi m = 3

b)      Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn                       

                                         \(x_1\left(x_2^2+1\right)+x_2\left(x_1^2+1\right)>6\)

Hướng dẫn giải:

​a) Khi m = 3, ta có phương trình \(x^2-3x-4=0\Leftrightarrow x=-1;x=4\).

b) Phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\). Theo Viet \(x_1+x_2=m;x_1x_2=-4\)

nên        \(x_1\left(x_2^2+1\right)+x_2\left(x_1^2+1\right)=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1x_2+1\right)=-3m\)

Yêu cầu  \(x_1\left(x_2^2+1\right)+x_2\left(x_1^2+1\right)>6\)\(\Leftrightarrow-3m>6\Leftrightarrow m< -2\).

Câu 1

Hà Nam 2014-2015

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình: y = -2x + m (với m là tham số).

a) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ là 2.

b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ \(x_1,x_2\) thỏa mãn điều kiện

                                                                   \(x_1^2+x_2^2=6x_1^2x_2^2\)

 

Hướng dẫn giải:

​a) Phương trình xác định hoành độ giao điểm là

                             \(x^2=-2x+m\Leftrightarrow x^2+2x-m=0\) (1)

(d) cắt (P) tại điểm có hoành độ là 2 khi và chỉ khi \(x=2\) là một nghiệm của phương trình tức là   \(2^2+2.2-m=0\Leftrightarrow m=8\).

b) Để (1) có nghiệm, điều kiện có nghiệm là  \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow1+m\ge0\Leftrightarrow m\le-1\)

Điều kiện       \(x_1^2+x_2^2=6x_1^2x_2^2\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6x_1^2x_2^2\)

     \(\Leftrightarrow\left(-2\right)^2-2\left(-m\right)=6\left(-m\right)^2\Leftrightarrow3m^2-m-2=0\Leftrightarrow m=1;m=-\dfrac{2}{3}\)

Câu 1

Hà Nam 2015-2016

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = 3mx – 3 (với m là tham số).

a)      Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 3).

b)      Xác định các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt sao cho tổng 2 tung độ của hai giao điểm đó bằng -10.

 

Hướng dẫn giải:

a) (d) đi qua A(1;3) khi và chỉ khi    \(3=3m.1-3\Leftrightarrow m=2\)

​b) Phương trình xác định hoành độ giao điểm là          

                           \(-x^2=3mx-3\Leftrightarrow x^2+3mx-3=0\)   (1)

(1) có \(\Delta=9m^2+12>0\) nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tung độ tương ứng là \(y_1=3mx_1-3;y_2=3mx_2-3\).

Yêu cầu bài toán trở thành   \(y_1+y_2=-10\Leftrightarrow3m\left(x_1+x_2\right)-6=-10\)

\(\Leftrightarrow-9m^2-6=-10\Leftrightarrow m^2=\dfrac{4}{9}\Leftrightarrow m=\pm\dfrac{2}{3}\)

Câu 1

Hà Nội 2013-2014

1)      Cho parabol  (P):            \(y=\dfrac{1}{2}x^2\)    và đường thẳng (d):          \(y=mx-\dfrac{1}{2}m^2+m+1\)

a)      Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P)

b)      Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ,x2 sao cho

                                                           |x1 – x2| =2

Hướng dẫn giải:

​a) Phương trình xác định hoành độ giao điểm hai đường là

                                       \(\dfrac{1}{2}x^2=mx-\dfrac{1}{2}m^2+m+1\)

                                 \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}x^2-mx+\dfrac{1}{2}m^2-m-1=0\)

                                  \(\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-2m-2=0\)  (1)

Khi m = 1 thì (1) trở thành          \(x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x=-1;x=3\)

Hai giao điểm là  \(A\left(-1;\dfrac{1}{2}\right),B\left(3;\dfrac{9}{2}\right)\)

b) Cần tìm m để (1) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện      \(\left|x_1-x_1\right|=2\) 

    (1) có hai nghiệm:        \(\Delta'=2m+2\ge0\Leftrightarrow m\ge-1\)

      \(\left|x_1-x_1\right|=2\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\)

        \(\Leftrightarrow4m^2-4\left(m^2-2m-2\right)=4\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

Đáp số: \(m=-\dfrac{1}{2}\)

Câu 1

Hà Nội 2014-2015

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = -x + 6 và parabol (P): y = x2.

a)      Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P).

b)      Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB.

 

Hướng dẫn giải:

​a) Phương trình xác định hoành độ giao điểm hai đường    

                     \(x^2=-x+6\Leftrightarrow x^2+x-6=0\Leftrightarrow x=-3;x=2\)

Hai giao điểm là   \(A\left(-3;9\right),B\left(2;4\right)\).

b) Tam giác OAB có   \(AB=\sqrt{\left(-3-2\right)^2+\left(9-4\right)^2}=5\sqrt{2}\). Kẻ đường cao OH thì tam giác OAB có diện tích 

                                     \(S=\dfrac{1}{2}AB.OH=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}.OH\)

Bài toán quy về tính OH. Đường thẳng (d): \(y=-x+6\) cắt hai trục tọa độ tại M(0;6) và N(6;0). Tam giác OMN vuông cân tại O, có cạnh OM = 6 nên đường cao OH (của tam giác ONM) là     \(OH=\dfrac{OM}{\sqrt{2}}=\dfrac{6}{\sqrt{2}}\). Vậy  \(S=15\)

    

                             

Câu 1

Hà Nội 2015-2016

Cho phương trình : x2-(m+5)x+3m+6=0 (x là ẩn số).

a.       Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m.

b.      Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5.

Hướng dẫn giải:

a)      \(x^2-\left(m+5\right)x+3m+6=0\Leftrightarrow x^2-\left(m+5\right)x+3\left(m+2\right)=0\) luôn có hai nghiệm    \(x_1=3;x_2=m+2\)   

b) Yêu cầu bài toán tương đương với 

                \(\left\{{}\begin{matrix}x_1>0,x_2>0\\x_1^2+x_2^2=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+2>0\\9+\left(m+2\right)^2=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m+2=4\Leftrightarrow m=2\)     

Câu 1

Hà Nội 2016-2017

1)      Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  (d): y = 3x + m2 – 1

và parabol  (P): y = x

a)      Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m

b)      Gọi x1, x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để (x1+1)(x2+1)=1

 

Hướng dẫn giải:

​a) Phương trình hoành độ giao điểm hai đường

                       \(x^2=3x+m^2-1\Leftrightarrow x^2-3x-m^2+1=0\)  (1)

                           \(\Delta=9-4\left(-m^2+1\right)=5+4m^2>0\)

(d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Cần tìm m để hai nghiệm của (1) thỏa mãn điều kiện

     \(\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)=1\Leftrightarrow x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)=0\Leftrightarrow-m^2+1+3=0\Leftrightarrow m=\pm2\)               

Bài làm

Hãy đăng nhập để làm bài!

Đăng nhập

00:00:00