Câu 1 (1 điểm):

Hải Dương 2016-2017

Cho phương trình   \(x^2-5x+m-3=0\) . Tìm m để  phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1,x_2\)  thỏa mãn  điều kiện  \(x_1^2-2x_1x_2+3x_2=1\).

 

Hướng dẫn giải:

​Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt là  \(\Delta>0\Leftrightarrow25-4\left(m-3\right)>0\Leftrightarrow m< \dfrac{37}{4}\)

Định lí Viet và yêu cầu bài toán cho 

                        \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\left(1\right)\\x_1x_2=m-3\left(2\right)\\x_1^2-2x_1x_2+3x_2=1\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) suy ra  \(x_1=5-x_2\) (1'). Thế (1') vào (3) ta có

                     \(\left(5-x_2\right)^2-2\left(5-x_2\right)x_2+3x_2=1\)

                   \(\Leftrightarrow3x_2^2-17x_2+24=0\Leftrightarrow x_2=3;x_2=\dfrac{8}{3}\)

- Nếu \(x_2=3\) thì (1') suy ra  \(x_1=2\), thay vào (2) ta có  \(6=m-3\Leftrightarrow m=9\)

- Nếu \(x_2=\dfrac{8}{3}\) thì  \(x_1=5-\dfrac{8}{3}=\dfrac{7}{3}\) . Thế vào  (2) ta được 

                      \(\dfrac{56}{9}=m-3\Leftrightarrow m=\dfrac{83}{9}\)

Đáp số:     \(m=9;m=\dfrac{83}{9}\)

   


Câu 2 (1 điểm):

Hải Dương 2016-2017

Cho phương trình   \(x^2-5x+m-3=0\) . Tìm m để  phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1,x_2\)  thỏa mãn  điều kiện  \(x_1^2-2x_1x_2+3x_2=1\).

 

Hướng dẫn giải:

​Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt là  \(\Delta>0\Leftrightarrow25-4\left(m-3\right)>0\Leftrightarrow m< \dfrac{37}{4}\)

Định lí Viet và yêu cầu bài toán cho 

                        \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\left(1\right)\\x_1x_2=m-3\left(2\right)\\x_1^2-2x_1x_2+3x_2=1\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) suy ra  \(x_1=5-x_2\) (1'). Thế (1') vào (3) ta có

                     \(\left(5-x_2\right)^2-2\left(5-x_2\right)x_2+3x_2=1\)

                   \(\Leftrightarrow3x_2^2-17x_2+24=0\Leftrightarrow x_2=3;x_2=\dfrac{8}{3}\)

- Nếu \(x_2=3\) thì (1') suy ra  \(x_1=2\), thay vào (2) ta có  \(6=m-3\Leftrightarrow m=9\)

- Nếu \(x_2=\dfrac{8}{3}\) thì  \(x_1=5-\dfrac{8}{3}=\dfrac{7}{3}\) . Thế vào  (2) ta được 

                      \(\dfrac{56}{9}=m-3\Leftrightarrow m=\dfrac{83}{9}\)

Đáp số:     \(m=9;m=\dfrac{83}{9}\)

   


Câu 3 (1 điểm):

Hải Phòng 2014-2015

  1. Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

a)      Giải phương trình (1) khi m = 2

b)      Tìm giá trị nhỏ nhất của              \(P=x_1^2+x_2^2\)  với              \(x_1,x_2\)  là hai nghiệm của phương

 trình (1)

Hướng dẫn giải:

​a) Khi m = 2 ta có phương trình  \(x^2-2x=0\Leftrightarrow x=0;x=2\).

b) \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-2m+4=\left(m-2\right)^2+1>0,\forall m\). Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo Viet ta có

              \(P=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m-1\right)^2-2\left(2m-4\right)\)

                   \(=\left(2m-3\right)^2+3\ge3\)

GTNN = 3 đạt được khi và chỉ khi \(m=\dfrac{3}{2}\)


Câu 4 (1 điểm):

Hải Phòng 2015-2016

  1. Trong hệ trục Oxy, cho đường thẳng (d): y = (5m – 1)x – 6m2 + 2m (m là tham số) và parabol (P): y = x2 .

a)      Tìm giá trị của m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.

b)      Gọi x1; x2 lần lượt là hoành độ của A, B. Tìm giá trị của m để

                                                                         \(x_1^2+x_2^2=1\)

 

Hướng dẫn giải:

​a) Phương trình xác định hoành độ giao điểm hai đường

                                \(x^2=\left(5m-1\right)x-6m^2+2m\)

                           \(\Leftrightarrow x^2-\left(5m-1\right)x+6m^2-2m=0\)

                            \(\Leftrightarrow x=2m;x=3m-1\)

Hai đường cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi \(3m-1\ne2m\Leftrightarrow m\ne1\)

b)                          \(x_1^2+x_2^2=1\Leftrightarrow4m^2+\left(3m-1\right)^2=1\)

                   \(\Leftrightarrow3m^2-6m=0\Leftrightarrow m=0;m=\dfrac{6}{13}\) (thỏa mãn điều kiện \(m\ne1\))

 


Câu 5 (1 điểm):

Hải Phòng 2016-2017

  1. Cho phương trình: x2 – mx – 4 = 0 (1) ( với m là tham số)

a)      Giải phương trình (1) khi m = 3

b)      Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn                       

                                         \(x_1\left(x_2^2+1\right)+x_2\left(x_1^2+1\right)>6\)

Hướng dẫn giải:

​a) Khi m = 3, ta có phương trình \(x^2-3x-4=0\Leftrightarrow x=-1;x=4\).

b) Phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\). Theo Viet \(x_1+x_2=m;x_1x_2=-4\)

nên        \(x_1\left(x_2^2+1\right)+x_2\left(x_1^2+1\right)=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1x_2+1\right)=-3m\)

Yêu cầu  \(x_1\left(x_2^2+1\right)+x_2\left(x_1^2+1\right)>6\)\(\Leftrightarrow-3m>6\Leftrightarrow m< -2\).


Câu 6 (1 điểm):

Hà Nam 2014-2015

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình: y = -2x + m (với m là tham số).

a) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ là 2.

b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ \(x_1,x_2\) thỏa mãn điều kiện

                                                                   \(x_1^2+x_2^2=6x_1^2x_2^2\)

 

Hướng dẫn giải:

​a) Phương trình xác định hoành độ giao điểm là

                             \(x^2=-2x+m\Leftrightarrow x^2+2x-m=0\) (1)

(d) cắt (P) tại điểm có hoành độ là 2 khi và chỉ khi \(x=2\) là một nghiệm của phương trình tức là   \(2^2+2.2-m=0\Leftrightarrow m=8\).

b) Để (1) có nghiệm, điều kiện có nghiệm là  \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow1+m\ge0\Leftrightarrow m\le-1\)

Điều kiện       \(x_1^2+x_2^2=6x_1^2x_2^2\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6x_1^2x_2^2\)

     \(\Leftrightarrow\left(-2\right)^2-2\left(-m\right)=6\left(-m\right)^2\Leftrightarrow3m^2-m-2=0\Leftrightarrow m=1;m=-\dfrac{2}{3}\)


Câu 7 (1 điểm):

Hà Nam 2015-2016

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = 3mx – 3 (với m là tham số).

a)      Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 3).

b)      Xác định các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt sao cho tổng 2 tung độ của hai giao điểm đó bằng -10.

 

Hướng dẫn giải:

a) (d) đi qua A(1;3) khi và chỉ khi    \(3=3m.1-3\Leftrightarrow m=2\)

​b) Phương trình xác định hoành độ giao điểm là          

                           \(-x^2=3mx-3\Leftrightarrow x^2+3mx-3=0\)   (1)

(1) có \(\Delta=9m^2+12>0\) nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tung độ tương ứng là \(y_1=3mx_1-3;y_2=3mx_2-3\).

Yêu cầu bài toán trở thành   \(y_1+y_2=-10\Leftrightarrow3m\left(x_1+x_2\right)-6=-10\)

\(\Leftrightarrow-9m^2-6=-10\Leftrightarrow m^2=\dfrac{4}{9}\Leftrightarrow m=\pm\dfrac{2}{3}\)


Câu 8 (1 điểm):

Hà Nội 2013-2014

1)      Cho parabol  (P):            \(y=\dfrac{1}{2}x^2\)    và đường thẳng (d):          \(y=mx-\dfrac{1}{2}m^2+m+1\)

a)      Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P)

b)      Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ,x2 sao cho

                                                           |x1 – x2| =2

Hướng dẫn giải:

​a) Phương trình xác định hoành độ giao điểm hai đường là

                                       \(\dfrac{1}{2}x^2=mx-\dfrac{1}{2}m^2+m+1\)

                                 \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}x^2-mx+\dfrac{1}{2}m^2-m-1=0\)

                                  \(\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-2m-2=0\)  (1)

Khi m = 1 thì (1) trở thành          \(x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x=-1;x=3\)

Hai giao điểm là  \(A\left(-1;\dfrac{1}{2}\right),B\left(3;\dfrac{9}{2}\right)\)

b) Cần tìm m để (1) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện      \(\left|x_1-x_1\right|=2\) 

    (1) có hai nghiệm:        \(\Delta'=2m+2\ge0\Leftrightarrow m\ge-1\)

      \(\left|x_1-x_1\right|=2\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\)

        \(\Leftrightarrow4m^2-4\left(m^2-2m-2\right)=4\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

Đáp số: \(m=-\dfrac{1}{2}\)


Câu 9 (1 điểm):

Hà Nội 2014-2015

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = -x + 6 và parabol (P): y = x2.

a)      Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P).

b)      Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB.

 

Hướng dẫn giải:

​a) Phương trình xác định hoành độ giao điểm hai đường    

                     \(x^2=-x+6\Leftrightarrow x^2+x-6=0\Leftrightarrow x=-3;x=2\)

Hai giao điểm là   \(A\left(-3;9\right),B\left(2;4\right)\).

b) Tam giác OAB có   \(AB=\sqrt{\left(-3-2\right)^2+\left(9-4\right)^2}=5\sqrt{2}\). Kẻ đường cao OH thì tam giác OAB có diện tích 

                                     \(S=\dfrac{1}{2}AB.OH=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}.OH\)

Bài toán quy về tính OH. Đường thẳng (d): \(y=-x+6\) cắt hai trục tọa độ tại M(0;6) và N(6;0). Tam giác OMN vuông cân tại O, có cạnh OM = 6 nên đường cao OH (của tam giác ONM) là     \(OH=\dfrac{OM}{\sqrt{2}}=\dfrac{6}{\sqrt{2}}\). Vậy  \(S=15\)

    

                             


Câu 10 (1 điểm):

Hà Nội 2015-2016

Cho phương trình : x2-(m+5)x+3m+6=0 (x là ẩn số).

a.       Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m.

b.      Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5.

Hướng dẫn giải:

a)      \(x^2-\left(m+5\right)x+3m+6=0\Leftrightarrow x^2-\left(m+5\right)x+3\left(m+2\right)=0\) luôn có hai nghiệm    \(x_1=3;x_2=m+2\)   

b) Yêu cầu bài toán tương đương với 

                \(\left\{{}\begin{matrix}x_1>0,x_2>0\\x_1^2+x_2^2=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+2>0\\9+\left(m+2\right)^2=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m+2=4\Leftrightarrow m=2\)     


Câu 11 (1 điểm):

Hà Nội 2016-2017

1)      Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  (d): y = 3x + m2 – 1

và parabol  (P): y = x

a)      Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m

b)      Gọi x1, x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để (x1+1)(x2+1)=1

 

Hướng dẫn giải:

​a) Phương trình hoành độ giao điểm hai đường

                       \(x^2=3x+m^2-1\Leftrightarrow x^2-3x-m^2+1=0\)  (1)

                           \(\Delta=9-4\left(-m^2+1\right)=5+4m^2>0\)

(d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Cần tìm m để hai nghiệm của (1) thỏa mãn điều kiện

     \(\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)=1\Leftrightarrow x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)=0\Leftrightarrow-m^2+1+3=0\Leftrightarrow m=\pm2\)               

Link bài học:
Thảo luận
1

Bài 1: Căn thức và rút gọn biểu thức

 1. Bài giảng: Căn bậc hai

 2. Tài liệu: Căn bậc hai

 3. Căn bậc hai, căn bậc ba

 4. Rút gọn biểu thức - Cơ bản

 5. Rút gọn biểu thức - Nâng cao

 6. Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 7. Tài liệu: Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 8. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

 9. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 10. Phân tích đa thức thành nhân tử

 11. Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

 12. Rút gọn biểu thức có chứa căn

2

Bài 2: Phương trình

 1. Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 2. Tài liệu : Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 4. Tài liệu: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 5. Giải phương trình bậc nhất

 6. Giải phương trình bậc hai

 7. Phương trình quy về bậc hai

 8. Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 9. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 10. Phương trình vô tỷ

3

Bài 3: Hàm số

 1. Hàm số, Đồ thị

 2. Hàm số bậc nhất

 3. Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số

 4. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax^2 (a khác 0)

 5. Xác định tham số để điểm thuộc đồ thị

 6. Vị trí tương đối của các đồ thị hàm số

 7. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

 8. Một số bài tập tự luận

4

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

 4. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

 6. Một số bài tập tự luận

5

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

 1. Định lí Viet

 2. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 4. Lập phương trình bậc hai biết các nghiệm của nó.

 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

 6. Các biểu thức đối xứng của hai nghiệm phương trình bậc hai.

 7. Luyện tập chung

 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

 9. Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho

 10. Bắc Giang, Bắc Ninh, Bình Định, Bình Dương

 11. Cà Mau, Cần Thơ, Đắc Lắc, Đà Nẵng, Đồng Nai

 12. Hải Dương, Hà Nam, Hà Nội

 13. Hà Tĩnh, Hòa Bình, Hưng Yên, Hải Phòng

 14. Khánh Hòa, Kiên Giang, Kon Tum, Lạng Sơn, Lào Cai, Long An

 15. Tp Hồ Chí Minh, Thanh Hóa, Thái Bình, Thái Nguyên, Thừa Thiên Huế, Trà Vinh

 16. Nam Định, Ninh Bình, Nghệ An

 17. Phú Thọ, Quảng Bình, Quảng Ninh, Quảng Ngãi

6

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 2. Tài liệu: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 3. Toán chuyển động

 4. Toán năng suất, số lượng

 5. Toán làm chung làm riêng

 6. Toán có nội dung hình học

 7. Toán về phần trăm

 8. Một số dạng toán khác

7

Bài 7: Bất đẳng thức

 1. Bất đẳng thức

 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứng minh BĐT

 3. Bất đẳng thức Cô si (p.1)

 4. Bất đẳng thức Cô si (p.2)

 5. Bất đẳng thức Cô si (p3)

 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.1)

 7. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.2)

 8. Thanh Hóa, Quảng Bình, Nghệ An, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hỏa Bình

 9. Bình Định, Hà Tĩnh, Hà Nội, Hà Nam, Hải Phòng, Bắc Giang

8

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

 1. GTLN, GTBN của tam thức bậc hai

 2. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

 3. GTLN, GTNN (p1)

 4. GTLN,GTNN (p2)

 5. Yên Bái, Bà Rịa Vũng Tàu, Vĩnh Phúc, Tuyên Quang, Thái Bình, Quảng Ninh

 6. Quảng Ngãi, Phú Thọ, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hòa Bình, Hà Tĩnh, Ninh Bình, Bắc Ninh Thanh Hóa

 7. Bắc Giang, Hà Nam, Bà Rịa Vũng Tàu, Hà Nội, Hà Tĩnh, Hải Phòng, Đăc Lắc