Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

Đề bài

Câu 1

Hà Tĩnh 2013-2014

Cho phương trình bậc hai : x2 – 4x + m + 2 = 0 (m là tham số)

a)      Giải phương trình khi m = 2

b)      Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

                                              \(x_1^2+x_2^2=3\left(x_1+x_2\right)\)

 

 

Hướng dẫn giải:

​a) Khi m = 2, ta có phương trình   \(x^2-4x+4=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2=0\Leftrightarrow x=-2\)

b) \(\Delta'=4-\left(m+2\right)=2-m\) ,  \(\Delta'>0\Leftrightarrow m< 2\).

          \(x_1^2+x_2^2=3\left(x_1+x_2\right)\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=3\left(x_1+x_2\right)\)   

                                                 \(\Leftrightarrow\left(4\right)^2-2\left(m+2\right)=3.4\Leftrightarrow m=0\)

 

 

Câu 1

Hà Tĩnh 2013-2014

Cho phương trình bậc hai : x2 – 4x + m + 2 = 0 (m là tham số)

a)      Giải phương trình khi m = 2

b)      Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

                                              \(x_1^2+x_2^2=3\left(x_1+x_2\right)\)

 

 

Hướng dẫn giải:

​a) Khi m = 2, ta có phương trình   \(x^2-4x+4=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2=0\Leftrightarrow x=-2\)

b) \(\Delta'=4-\left(m+2\right)=2-m\) ,  \(\Delta'>0\Leftrightarrow m< 2\).

          \(x_1^2+x_2^2=3\left(x_1+x_2\right)\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=3\left(x_1+x_2\right)\)   

                                                 \(\Leftrightarrow\left(4\right)^2-2\left(m+2\right)=3.4\Leftrightarrow m=0\)

 

 

Câu 1

Hà Tĩnh 2015-2016

Cho phương trình bậc hai x2-2(m+1)x+m2+m+1=0 (m là tham số)

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn

                                                \(x^2_1+x^2_2=3x_1x_2-1\)

Hướng dẫn giải:

​Phương trình    x2-2(m+1)x+m2+m+1=0   có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

                        \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+m+1\right)=m>0\)

Điều kiên   \(x^2_1+x^2_2=3x_1x_2-1\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2+1=0\)

                 \(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-5\left(m^2+m+1\right)+1=0\Leftrightarrow-m^2+3m=0\)

Đáp số:  m = 3.

Câu 1

Cho phương trình: x2-2(m+2)x+m2+m+3=0

a)       Giải phương trình với m = 1

b)      Tìm m để pt có hai nghiệm  thỏa mãn    

                                              \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=5\)

Hướng dẫn giải:

​a) m = 1:      \(x^2-6x+5=0\Leftrightarrow x=1;x=5\)

b)  x2-2(m+2)x+m2+m+3=0  có  \(\Delta'=\left(m+2\right)^2-\left(m^2+m+3\right)=3m+1\)

Điều kiện có nghiệm :    \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow m\ge-\dfrac{1}{3}\) . Với điều kiện này phương trình có 2 nghiệm  \(x_1,x_2\)  thỏa mãn      \(x_1+x_2=2\left(m+2\right),x_1x_2=m^2+m+3\) .

Vì   \(m^2+m+3=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}>0\)  nên \(x_1x_2\ne0\)   và

        \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=5\)\(\Leftrightarrow x^2_1+x^2_2=5x_1x_2\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-7x_1x_2=0\)

                                \(\Leftrightarrow4\left(m+2\right)^2-7\left(m^2+m+3\right)=0\)

                                \(\Leftrightarrow-3m^2+9m-5=0\)

Đáp số:  \(m=\dfrac{9\pm\sqrt{21}}{6}\)  (cả hai nghiệm đều dương nên đều thỏa mãn điều kiện 

\(m\ge-\dfrac{1}{3}\)  )

Câu 1

Hòa Bình 2015-2016

Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m2 - 10 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2 . Tìm m để biểu thức             \(C=x^2_1+x_2^2\)  đạt giá trị nhỏ nhất

 

Hướng dẫn giải:

​ Phương trình               \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2-10=0\) có

                                 \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2+10=2m+11\).

Điều kiện có nghiệm:   \(m\ge-\dfrac{11}{2}\).

   \(C=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m+1\right)^2-2\left(m^2-10\right)=2\left(m+2\right)^2+16\)

C đạt giá trị nhỏ nhất bằng 16 khi  \(m=-2\)

Câu 1

Hưng Yên 2014-2015

Cho phương trình:   \(x^2-2x+m-3=0\) ( m là tham số)

1)      Tim m để phương trình có nghiệm x = 3. Tìm nghiệm còn lại.

2)      Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn

                                                       \(x^3_1+x_2^3=8\)

 

Hướng dẫn giải:

​1) \(x=3\)  là một nghiệm của   \(x^2-2x+m-3=0\)  khi 

                           \(3^2-2.3+m-3=0\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó nghiệm kia của phương trình  là  \(x=-1\).

2) Phương trình  \(x^2-2x+m-3=0\)  có      \(\Delta'=1-\left(m-3\right)=4-m\). Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  \(m< 4\). Khi đó

                 \(x^3_1+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=8-6\left(m-3\right)\)

                 \(x^3_1+x_2^3=8\Leftrightarrow6\left(m-3\right)=0\Leftrightarrow m=3\)  (thỏa mãn điều kiện \(m< 4\) ) 

       

Câu 1

Hưng Yên 2015-2016

 Cho phương trình       \(x^2-2\left(m+1\right)x+2m=0\)   (m là tham số).

1)      Giải phương trình với m =1.

2)      Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn

                                                  \(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{2}\)

 

 

Hướng dẫn giải:

​1) Khi m = 1:      \(x^2-4x+2=0\Leftrightarrow x=2\pm\sqrt{2}\)

2)     \(x^2-2\left(m+1\right)x+2m=0\)  có     \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m=m^2+1>0,\forall m\)

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Yêu cầu bài toán là 2 nghiệm của phương trình phải không âm và   \(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)+2\sqrt{x_1x_2}=2\)

                   \(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)+2\sqrt{2m}=2\Leftrightarrow m+\sqrt{2m}=0\Leftrightarrow m=0\)

Thử lại, khi m = 0, phương trình trở thành    \(x^2-2x=0\) có 2 nghiệm không âm là \(x=0,x=2\) .    Đáp số    \(m=0\)

Câu 1

Hải Phòng 2014-2015

  1. Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

a)      Giải phương trình (1) khi m = 2

b)      Tìm giá trị nhỏ nhất của           \(P=x_1^2+x_2^2\) với x1; x2 là nghiệm của phương trình (1)

Hướng dẫn giải:

​b) \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-2m+4=\left(m-2\right)^2+1>0,\forall m\), phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo Viet ta có                   \(P=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m-1\right)^2-2\left(2m-4\right)=\left(2m-3\right)^2+3\ge3\)

P đạt GTNN = 3 khi \(m=\dfrac{3}{2}\)

Câu 1

Hải Phòng 2015-2016

  1. Trong hệ trục Oxy, cho đường thẳng (d): y = (5m – 1)x – 6m2 + 2m (m là tham số) và parabol (P): y = x2 .

a)      Tìm giá trị của m để (d) (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A B.

b)      Gọi x1; x2 lần lượt là hoành độ của A, B. Tìm giá trị của m để

                                                               \(x_1^2+x_2^2=1\)

 

Hướng dẫn giải:

​a) Phương trình hoành độ giao điểm   

           \(x^2=\left(5m-1\right)x-6m^2+2m\Leftrightarrow x^2-\left(5m-1\right)x+6m^2-2m=0\)

                               \(\Delta=\left(m-1\right)^2\ge0,\forall m\)

Đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm phân biệt khi \(m\ne0\)

b) Theo Viet         \(x_1^2+x_2^2=1\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\Leftrightarrow\left(5m-1\right)^2-2\left(6m^2-2m\right)=1\)

                     \(\Leftrightarrow13m^2-6m=0\Leftrightarrow m=0;m=\dfrac{6}{13}\)

Đáp số:   \(m=\dfrac{6}{13}\)

Câu 1

Hải Phòng 2016-2017

Cho phương trình: x2 – mx – 4 = 0  (1) ( với m là tham số)

 a)      Giải phương trình (1) khi m = 3

 b)      Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

                              \(x_1\left(x_2^2+1\right)+x_2\left(x_1^2+1\right)>6\)

 

 

Hướng dẫn giải:

​b) Phương trình có   \(\Delta=m^2+16>0,\forall m\) . Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Theo Viet ta có

     \(x_1\left(x_2^2+1\right)+x_2\left(x_1^2+1\right)=x_1x_2\left(x_2+x_1\right)+\left(x_1+x_2\right)=-4m+m=-3m\)

Do đó \(x_1\left(x_2^2+1\right)+x_2\left(x_1^2+1\right)>6\Leftrightarrow-3m>6\Leftrightarrow m< -2\)

 

Bài làm

Hãy đăng nhập để làm bài!

Đăng nhập

00:00:00
Hãy sử dụng trình duyệt Chrome để không bị lỗi trong quá trình học tâp