Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

Đề bài

Câu 1

Cho \(x,y\)  là hai số thực thay đổi tùy ý luôn thỏa mãn điều kiện    \(x+y=1\)

Tìm GTNN của biểu thức      \(P=x^3+y^3\).

Đáp án

Do giả thiết \(x+y=2\) , ta có   

            \(P=x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=2\left(x^2-xy+y^2\right)\)

Mặt khác            \(x^2+y^2+1^2\ge xy+y.1+1.x=xy+2\)

Suy ra                             \(x^2+y^2-xy\ge1\)

Suy ra                           \(P\ge2\)

GTNN = 2  đạt khi \(x=y=1\)

 

           

Câu 1

Cho \(x,y\)  là hai số thực thay đổi tùy ý luôn thỏa mãn điều kiện    \(x+y=1\)

Tìm GTNN của biểu thức      \(P=x^3+y^3\).

Đáp án

Do giả thiết \(x+y=2\) , ta có   

            \(P=x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=2\left(x^2-xy+y^2\right)\)

Mặt khác            \(x^2+y^2+1^2\ge xy+y.1+1.x=xy+2\)

Suy ra                             \(x^2+y^2-xy\ge1\)

Suy ra                           \(P\ge2\)

GTNN = 2  đạt khi \(x=y=1\)

 

           

Câu 1

Cho  \(x\ge1,y\ge2\). Tìm GTNN của tổng     \(S=\left(x+y\right)\left(1+\dfrac{1}{xy}\right)\)

 

Đáp án

 Ta có      \(S=x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+\dfrac{3y}{4}+\left(\dfrac{y}{4}+\dfrac{1}{y}\right)\)

                   \(\ge2+\dfrac{3.2}{4}+2\sqrt{\dfrac{y}{4}.\dfrac{1}{y}}\)

Suy ra        \(S\ge\dfrac{9}{2}\) . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(x=1,y=2\)

GTNN = \(\dfrac{9}{2}\)

Câu 1

Cho  \(x,y,z\in[-1;2]\) thỏa mãn điều kiện   \(x^2+y^2+z^2=6\). Tìm GTNN của tổng

                                     \(S=x+y+z\)

Đáp án

Từ giả thiết \(x,y,z\in[-1;2]\) suy ra   \(\left(x+1\right)\left(x-2\right)\le0\Leftrightarrow x\ge x^2-2\)

Do đó                         \(S=x+y+z\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)-6\)

Theo giả thiết,   \(x^2+y^2+z^2=6\), suy ra    \(S\ge0\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong bộ ba số \(x,y,z\) có hai số bằng -1, một số bằng 2.

Vậy GTNN = 0.

Câu 1

Tìm GTNN của hàm số   \(f\left(x\right)=\left(x-1\right)^4+\left(x-3\right)^4+6\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2\)

 

Đáp án

Để tính toán được thuận tiện, ta chú ý rằng \(\dfrac{\left(x-1\right)+\left(x-3\right)}{2}=x-2\) , do đó nếu đặt

\(t=x-2\) thì    \(x-1=t+1;x-3=t+1\) . Do đó

             \(\left(x-1\right)^4=\left(t+1\right)^4=t^4+4t^3+6t^2+4t+1\)

             \(\left(x-3\right)^4=\left(t-1\right)^4=t^4-4t^3+6t^2-4t+1\)

 \(6\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2=6\left(t+1\right)^2\left(t-1\right)^2=6\left(t^2-1\right)^2=6t^4-12t^2+6\)

Từ đó       \(f\left(x\right)=8t^4+8\ge8\)

GTNN = 8 đạt khi   \(t=0\Leftrightarrow x=2\)

             

Câu 1

Cho  \(x,y,z>0\) thỏa mãn điều kiện   \(x+y+z=4\) . Tìm GTLN của tổng

                               \(S=\dfrac{xy}{z+4}+\dfrac{yz}{x+4}+\dfrac{zx}{y+4}\)

Đáp án

Do giả thiết \(x+y+z=4\) nên  \(z+4=z+\left(x+y+z\right)=\left(z+x\right)+\left(z+y\right)\) 

Do đó    \(\dfrac{xy}{z+4}=xy.\dfrac{1}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{xy}{4}\left(\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{z+y}\right)\)

Làm tương tự đối với hai số hạng còn lại của \(S\) ta được

              \(4S\le\dfrac{xy}{z+x}+\dfrac{xy}{z+y}+\dfrac{yz}{x+y}+\dfrac{yz}{x+z}+\dfrac{zx}{y+z}+\dfrac{zx}{y+x}\)  

Nhóm các cặp số hạng cùng mẫu, chẳng hạn   \(\dfrac{xy}{z+x}+\dfrac{yz}{x+z}=y.\dfrac{x+z}{x+z}=y\) , ta suy ra

                        \(4S\le x+y+z=4\Rightarrow S\le1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(x=y=z=\dfrac{4}{3}\).

Vậy GTLN = 1.

 

 

Câu 1

Cho  \(x,y,z>0\)  thỏa mãn điều kiện  \(xy+yz+zx\ge3\). Tìm GTNN của biểu thức

                                            \(S=\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}\)

Đáp án

Ta có                   \(S=\dfrac{x^4}{xy}+\dfrac{y^4}{yz}+\dfrac{z^4}{zx}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\)

Mà      \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx>0\)  nên

               \(\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\ge\dfrac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{xy+yz+zx}=xy+yz+zx\ge3\)

Suy ra       \(S\ge3\) .    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(x=y=z=1\).

Vậy   GTNN = 3. 

Câu 1

Cho  \(x,y,z>0\) thỏa mãn điều kiện  \(x+y+z=1\). Tìm GTNN của biểu thức

                                  \(S=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{16z}\)

 

Đáp án

Do giả thiết   \(x+y+z=1\) nên   

                 \(S=\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{16z}\right)\)

                     \(=\left(1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}\right)+\left(\dfrac{x}{4y}+\dfrac{x}{16z}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{16z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{4y}\right)\)

                      \(=\dfrac{21}{16}+\left(\dfrac{x}{4y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{z}{4y}+\dfrac{y}{16z}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{16z}\right)\)

                      \(\ge\dfrac{21}{16}+2\sqrt{\dfrac{1}{4}}+2\sqrt{\dfrac{1}{64}}+2\sqrt{\dfrac{1}{16}}\) 

Suy ra           \(S\ge\dfrac{49}{16}\) . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

                               \(\left\{{}\begin{matrix}x=2y=4z\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4}{7}\\y=\dfrac{2}{7}\\z=\dfrac{1}{7}\end{matrix}\right.\)

Vậy  GTNN = \(\dfrac{49}{16}\)

                

Câu 1

Cho  \(x,y>0\) thỏa mãn điều kiện  \(x+y\le1\). Tìm GTLN của biểu thức

                                    \(S=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{x^2}}\)

Đáp án

Hướng dẫn: Dự đoán GTLN đạt khi \(x=y\) và \(x+y=1\) tức là khi  \(x=y=\dfrac{1}{2}\) .

 Khi đó   \(x^2=4,\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{4}\)  suy ra  \(x^2=\dfrac{16}{y^2}\) . Vì vậy ta 

 

Giải:   Ta có          \(\left(1.x+4.\dfrac{1}{y}\right)^2\le\left(1^2+4^2\right)\left(x^2+\dfrac{1}{y^2}\right)\)

hay                       \(\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}}\ge\dfrac{1}{17}\left(x+\dfrac{4}{y}\right)\)  

Tương tự              \(\sqrt{y^2+\dfrac{1}{x^2}}\ge\dfrac{1}{17}\left(y+\dfrac{4}{x}\right)\)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức này ta được

                \(S\le\dfrac{1}{17}\left(x+y\right)+\dfrac{4}{17}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\le\dfrac{1}{17}\left(x+y\right)+\dfrac{4}{17}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{x+y}\) 

Mà   \(x+y=1\)  (giả thiết) nên     \(S\le\dfrac{2}{17}\) . Đẳng thức đạt được khi và chỉ khi

\(x=y=\dfrac{1}{2}\) . Vậy   GTLN = \(\dfrac{2}{17}\)

Câu 1

Cho  \(x,y,z>0\) thỏa mãn điều kiện    \(x+y+z=1\). Tìm GTLN của biểu thức

                            \(S=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}}\)

Đáp án

Theo Bunhiacopxki ta có

 \(\left(1.x+9.\dfrac{1}{y}\right)^2\le\left(1^2+9^2\right)\left(x^2+\dfrac{1}{y^2}\right)\)   (em hãy giải thích vì sao xét hai bộ số (1;9) và \(\left(x;\dfrac{1}{y}\right)\) ) . Do đó

                                          \(x+\dfrac{9}{y}\le\sqrt{82}.\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}}\)

nên                    \(\left(x+y+z\right)+9\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\le\sqrt{82}.S\)

Suy ra           \(S\ge\dfrac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z\right)+\dfrac{9}{\sqrt{82}}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

                          \(\ge\dfrac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z\right)+\dfrac{9}{\sqrt{82}}.\dfrac{9}{x+y+z}\)

                           \(=\dfrac{1}{\sqrt{82}}+\dfrac{81}{\sqrt{82}}\)   (do giả thiết   \(x+y+z=1\))

                \(S\ge\sqrt{82}\)

GTNN = \(\sqrt{82}\)   đạt được khi  \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\) .

 

Bài làm

Hãy đăng nhập để làm bài!

Đăng nhập

00:00:00