Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

Đề bài

Câu 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x}\) với  \(x\ge3\).

Đáp án:

Hướng dẫn: Nếu trực tiếp dùng Cô si cho 2 số \(x\) và \(\dfrac{1}{x}\) thì dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=1\) không thỏa mãn điều kiện \(x\ge3\). Ta cần chọn \(k\) sao cho \(0< k< 1\)  để

                         \(f\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x}=\left(1-k+k\right)x+\dfrac{1}{x}=\left(1-k\right)x+\left(kx+\dfrac{1}{x}\right)\)

   Có   \(k< 1,x\ge3\)  nên  \(\left(1-k\right)x\ge\left(1-k\right)3\) (1) , đẳng thức xảy ra khi \(x=3\)

  và    \(kx+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{k}\)     (2), đẳng thức khi \(kx=\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{k}}\).

Cần chọn \(k\)  để  \(\dfrac{1}{\sqrt{k}}=3\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{9}\) . 

Giải: Có   \(f\left(x\right)=\dfrac{8}{9}x+\left(x+\dfrac{1}{9}x\right)\ge\dfrac{8}{9}.3+2\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{10}{3}\)

                 \(f\left(3\right)=\dfrac{10}{3}\)

Vậy  GTNN = \(\dfrac{10}{3}\)

 

 

Câu 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số  \(f\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x^2}\) với  

Đáp án

Ta có     \(f\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{6x}{8}+\left(\dfrac{x}{8}+\dfrac{x}{8}+\dfrac{1}{x^2}\right)\)

Với  \(x\ge2\) thì  \(\dfrac{6x}{8}\ge\dfrac{6}{4}\)  và  \(\dfrac{x}{8}+\dfrac{x}{8}+\dfrac{1}{x^2}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}.\dfrac{1}{8}}=\dfrac{3}{4}\)

Suy ra    \(f\left(x\right)\ge\dfrac{9}{4},\forall x\ge2\). Hơn nữa   \(f\left(2\right)=2+\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}\) .

Vậy    GTNN =  \(\dfrac{9}{4}\)  .

 

Câu 1

Cho  \(x,y>0\)  thỏa mãn điều kiện   \(x+y\le1\) . Tìm GTNN của biểu thức

                                                  \(P=xy+\dfrac{1}{xy}\)

 

Đáp án

- Có   \(1=\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}\Rightarrow\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{16xy}+\dfrac{15}{16xy}\)   nên  \(P=\left(xy+\dfrac{1}{16xy}\right)+\dfrac{15}{16xy}\) .

- Vì  \(x,y>0;x+y\le1\) nên   \(0< xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow0< xy\le\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{xy}\ge4\)  .

- Do đó       \(P\ge2\sqrt{xy.\dfrac{1}{16xy}}+\dfrac{15}{16}.4=\dfrac{17}{4}\) .

- Hơn nữa, với \(x=y=\dfrac{1}{2}\) thì  \(P=\dfrac{1}{4}+4=\dfrac{17}{4}\) .

 - Do đó     GTNN = \(\dfrac{17}{4}\) .

 

Câu 1

Cho  \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện  \(x+y+z\le\dfrac{3}{2}\) . Tìm GTNN của biểu thức

                             \(P=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}}\)

Đáp án

-Theo Bunhiacopxki thì     

                           \(\left(1^2+4^2\right)\left(x^2+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\left(1.x+4.\dfrac{1}{y}\right)^2\)

nên                    \(\left(x^2+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\dfrac{1}{17}\left(x.1+\dfrac{1}{y}.4\right)^2\)

suy ra        

                           \(\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(x+\dfrac{4}{y}\right)\)

Tương tự              

                            \(\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(y+\dfrac{4}{z}\right)\) và  \(\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(z+\dfrac{4}{y}\right)\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được

                            \(P\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(x+y+z\right)+\dfrac{4}{\sqrt{17}}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

                                 \(\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(x+y+z\right)+\dfrac{4}{\sqrt{17}}.\dfrac{9}{x+y+z}\)  .

Đặt   \(t=x+y+z\)      (\(0< t\le\dfrac{3}{2}\) )  thì

                               \(P\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(t+\dfrac{36}{t}\right)\)

- Chú ý rằng       \(36=\dfrac{144}{4}=\dfrac{9}{4}+\dfrac{135}{4}\) nên 

               \(t+\dfrac{36}{t}=t+\dfrac{9}{4t}+\dfrac{135}{4}.\dfrac{1}{t}\ge2\sqrt{\dfrac{9}{4}}+\dfrac{135}{4}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{51}{2}\) .

- Do đó \(P\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}.\dfrac{51}{2}=\dfrac{51\sqrt{17}}{17.2}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

- Khi  \(x=y=\dfrac{1}{2}\)  thì  

              \(P=\sqrt{\dfrac{1}{4}+4}+\sqrt{\dfrac{1}{4}+4}+\sqrt{\dfrac{1}{4}+4}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

Từ đó  GTNN = \(\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

                             

                              

Câu 1

Cho \(x,y,z\) là ba số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện 

                                         \(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z}=2\) .

Tìm GTLN của tích  \(P=xyz\).

 

Đáp án

Từ giả thiết suy ra     

          \(\dfrac{1}{1+x}=1-\dfrac{1}{1+y}+1-\dfrac{1}{1+z}=\dfrac{y}{1+y}+\dfrac{z}{1+z}\ge2\sqrt{\dfrac{yz}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)

        (đẳng thức khi và chỉ khi  \(1-\dfrac{1}{1+y}=1-\dfrac{1}{1+z}\Leftrightarrow y=z\) )

Từ đó    \(\dfrac{1}{1+x}\ge2\sqrt{\dfrac{yz}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)  (1)   Tương tự :

         \(\dfrac{1}{1+y}\ge2\sqrt{\dfrac{zx}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}}\)  (2);    \(\dfrac{1}{1+z}\ge2\sqrt{\dfrac{zx}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}}\)  (3)

Nhân theo vế (1), (2) và (3) ta có

                \(\dfrac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\dfrac{8xyz}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)

suy ra               \(xyz\le\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{8}\)

Hơn nữa,        \(P=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt[3]{xyz}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{1}{2}\). Dễ kiểm tra bộ ba số dương này thỏa mãn giả thiết bài toán.

Vậy GTLN= \(\dfrac{1}{8}\)  

   

  

Câu 1

Cho  \(x,y,z\)  là ba số dương thỏa mãn điều kiên   \(x+y+z\le6\). Tìm GTLN cuả biểu thức

                                      \(S=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)

 

Đáp án

Vì    \(\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}=1\)  nên 

                \(S=3-\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\right)\) 

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki Svac ta có

          \(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{9}{x+y+z+3}\ge\dfrac{9}{6+3}=1\)

             (do giả thiết  \(x+y+z\le6\) )

Suy ra   \(S\le2\) .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y=z=\dfrac{x+y+z}{3}=\dfrac{6}{3}=2\).

Vậy  GTLN = 2.

Câu 1

Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện  \(x+y+z\le6\).

Tìm  GTNN của biểu thức        

                                  \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\)

 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Svac và giả thiết  ta có

                         \(P\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}\ge\dfrac{36}{6}=6\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y=z=2\) . Vậy  GTNN = 2. 

 

Câu 1

Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện

                                       \(\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{y}+\dfrac{4}{z}\le12\).

Tìm GTLN của biểu thức      \(S=\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{2}{y+x}+\dfrac{3}{z+y}\)

 

Đáp án

Áp dụng bất đẳng thức    \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)  (với \(a,b>0\)  , đẳng thức khi \(a=b\) ) ta có    

                       \(S=\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{2}{y+x}+\dfrac{3}{z+y}\) 

                           \(\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{2}{4}\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}\right)+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

                           \(=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{y}+\dfrac{4}{z}\right)\)

                           \(\le\dfrac{1}{4}.12\)

Vậy   \(S\le2\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\).

GTLN = 3.

 

Câu 1

Cho  \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện    \(x+y+z\ge6\) . 

Tìm  GTNN của biểu thức

                                \(S=\dfrac{x^2+y^2}{x+y}+\dfrac{y^2+z^2}{y+z}+\dfrac{z^2+x^2}{z+x}\)

Đáp án

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có   \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\)  suy ra

                    \(\dfrac{x^2+y^2}{x+y}\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)\) , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y\).

Tương tự với hai hạng tử còn lại của \(S\) . Vì vậy

                                         \(S\ge x+y+z\)

                                             \(\ge6\)      (do giả thiết     \(x+y+z\ge6\))

Do đó     GTNN = 6   (đạt được khi và chỉ khi  \(x=y=z=2\) )

Câu 1

Cho  \(x,y,z\)  là ba số dương thỏa mãn điều kiện    \(x+y+z\ge6\).

Timg GTNN của các biểu thức sau

a)    \(S_1=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}\)

b)    \(S_2=\dfrac{y^2}{x+y}+\dfrac{z^2}{y+z}+\dfrac{x^2}{z+x}\)

c)   \(S_3=\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}\)

Đáp án

Cả ba phần a), b), c) được làm hoàn toàn tương tự nhau. Ta giải phần c).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Svac ta có

            \(S_3\ge\dfrac{\left(z+x+y\right)^2}{x+y+y+z+z+x}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge3\) 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi    \(x=y=z=2\).  Vậy GTNN = 3.

Bài làm

Hãy đăng nhập để làm bài!

Đăng nhập

00:00:00