Câu 1. (2 điểm)

a) Tìm m để hàm số y = (3m - 2)x + 2017 đồng biến trên tập R.

b) Giải hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)+\left(x+2y\right)=-2\\3\left(x+y\right)+\left(x-2y\right)=1\end{cases}}\)

Câu 2. (2 điểm)

Cho biểu thức \(P=\frac{3x+5\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}\) với \(x\ge0;x\ne1\)

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x sao cho \(P=-\frac{1}{2}.\)

Câu 3. (2 điểm)

Cho phương trình \(x^2-\left(m-1\right)x-m^2+m-1=0\left(1\right)\)

a) Giải phương trình với m = -1.

b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt. Giả sử hai nghiệm là x1 ; x2 (x1 < x2), khi đó tìm m để |x2| - |x1| = 2.

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho tam giac ABC có ba góc nhọn (AB < AC), dựng AH vuông góc với BC tại điểm H. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm H trên AB và AC. Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại điểm D. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính CD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt nửa đường tròn trên tại điểm E.

 a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp.

b) Chứng minh \(\widehat{EBM}=\widehat{DNH}.\)

c) Chứng minh DM.DN = DB.DC.

d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNE. Chứng minh rằng OE vuông góc DE.

Câu 5. (0,5 điểm)

Cho tam giác AB, M là điểm bất kì nằm trong tam giác. Kéo dài AM cắt BC tại P, BM cắt AC tại Q, CM cắt AB tại K. Chứng minh:

\(MA.MB.MC\ge8MP.MQ.MK\)

----------------------Hết---------------------

 

Câu 1) 

a) Để hàm số  y = (3m - 2)x + 2017 đồng biến trên tập R thì 3m - 2 > 0 \(\Leftrightarrow m>\frac{3}{2}\)

b) \(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)+\left(x+2y\right)=-2\\3\left(x+y\right)+\left(x-2y\right)=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x+3y=-2\\4x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x+6y=-4\\4x+y=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x+y=1\\5y=-5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=-1\end{cases}}\)

Vậy hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\frac{1}{2};-1\right)\)

Câu 2)

a) \(P=\frac{3x+5\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}\)

\(P=\frac{3x+5\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{x-1}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x+3}\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x+3}\right)}\)

\(P=\frac{3x+5\sqrt{x}-4-x+1-x-6\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(P=\frac{x-\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(P=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1}\)

b) Để \(P=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x-1}}=-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}-8+\sqrt{x}-1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x}-9=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\)   (tmđk)

Câu 3) 

a) Với m = -1, ta có phương trình:   \(x^2+2x-3=0\)

\(\Delta'=1^2+3=4\)

\(\Rightarrow x_1=-1+2=1;x_2=-1-2=-3\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 hoặc x = -3.

b) \(x^2-\left(m-1\right)x-m^2+m-1=0\)

\(\Delta=\left(m-1\right)^2+4\left(m^2-m+1\right)\)

\(=5m^2-6m+5=5\left(m^2-\frac{6}{5}m+\frac{9}{25}\right)+\frac{16}{5}=5\left(m-\frac{3}{5}\right)^2+\frac{16}{5}>0\forall m\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Viet ta có:  \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m-1\\x_1.x_2=-m^2+m-1\end{cases}}\)

Ta thấy \(-m^2+m-1< 0\) nên phương trình trên luốn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

Vậy thì \(\left|x_2\right|-\left|x_1\right|=2\Leftrightarrow x_2+x_1=0\left(x_1< 0< x_2\right)\)

\(\Rightarrow m-1=0\Leftrightarrow m=1.\)

Câu 4) 

a) Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90^o\), mà M ,N lại là hai đỉnh đối nhau nên AMHN là tứ giác nội tiếp.

b) Do EB và AH cùng vuông góc với BC nên EB // AH

Vậy thì \(\widehat{EBA}=\widehat{BAH}\) (So le trong)

Lại có AMHN là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{BAH}=\widehat{DNH}\)   (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MH)

\(\Rightarrow\widehat{EBM}=\widehat{DNH}.\)

c) Do \(\widehat{EBM}=\widehat{DNH}\Rightarrow\widehat{EBM}+90^o=\widehat{DNH}+90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DBM}=\widehat{DNC}\)

Xét tam giác DBM và tam giác DNC có:

Góc D chung

\(\widehat{DBM}=\widehat{DNC}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta DBM\sim\Delta DNC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{DB}{DN}=\frac{DM}{DC}\Rightarrow DB.DC=DN.DM\)

d) Xét nửa đường tròn đường kính CD, ta có  \(\widehat{EDC}=90^o\)   

Tam giác EDC vuông tại E có \(EB\perp CD\) nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 

\(DE^2=DB.DC\)

Mà DM.DN = DB.DC nên \(DE^2=DM.DN\Rightarrow\frac{DE}{DM}=\frac{DN}{DE}\)

Xét tam giác MED và END có :

Góc D chung

\(\frac{DE}{DM}=\frac{DN}{DE}\)

\(\Rightarrow\Delta MED\sim\Delta END\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DEM}=\widehat{DNE}\)

Xét đường tròn (O) có \(\widehat{DEM}=\widehat{DNE}\) và tia EM nằm giữa hai tia ED và EN nên DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Vậy \(DE\perp OE.\)

Câu 5)

Kẻ \(MH\perp BC,AI\perp BC\Rightarrow AI//MH\)

Áp dụng hệ quả định lý Talet thì \(\frac{MH}{AI}=\frac{MP}{AP}\)

Lại có \(\frac{MH}{AI}=\frac{\frac{1}{2}MH.BC}{\frac{1}{2}AI.BC}=\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}\)

nên \(\frac{MP}{AP}=\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}\)

Tương tự \(\frac{MQ}{BQ}=\frac{S_{MAC}}{S_{ABC}};\frac{MK}{CK}=\frac{S_{MAB}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{MP}{AP}+\frac{MQ}{BQ}+\frac{MK}{CK}=\frac{S_{MBC}+S_{MCA}+S_{MAB}}{S_{ABC}}=1\)

Đặt \(\frac{MP}{AP}=x,\frac{MQ}{BQ}=y,\frac{MK}{CK}=z\) thì \(x,y,z>0;x+y+z=1\)

Bất đẳng thức đề bài cho tương đương 

\(\frac{MA}{MP}.\frac{MB}{MQ}.\frac{MC}{MK}\ge8\Leftrightarrow\left(\frac{AP}{MP}-1\right)\left(\frac{BQ}{MQ}-1\right)\left(\frac{CK}{MK}-1\right)\ge8\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)\left(\frac{1}{z}-1\right)\ge8\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{xyz}-\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\ge8\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{xyz}-\frac{x+y+z}{xyz}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\ge8\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}++1\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}-2\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}+\frac{\left(y-z\right)^2}{yz}+\frac{\left(z-x\right)^2}{zx}\ge0\)

(Đúng)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\Leftrightarrow\frac{MP}{AP}=\frac{MQ}{BQ}=\frac{MK}{CK}=\frac{1}{3}\)

Hay M là trọng tâm của tam giác ABC.

Vậy \(MA.MB.MC\ge8MP.MQ.MK\)

 

Link bài học:
Thảo luận
Hattory Heiji
Trả lời
0

20 tháng 3 lúc 21:48

thanhtung
Trả lời
3

15 tháng 10 2018 lúc 19:48

shitbo 26 tháng 12 2018 lúc 15:20

xam thek

Long Nguyễn Thành 11 tháng 2 lúc 21:53

Jason vorhees

nguyenquockhang 7 tháng 4 lúc 15:47

vc