Câu 1 (1,5 điểm)

a) Tìm x để biểu thức \(A=\sqrt{x-1}\) có nghĩa.

b) Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức \(B=\sqrt{3^2.2}+\sqrt{2^3}-\sqrt{5^2.2}\).

c) Rút gọn biểu thức \(C=\frac{a-1}{\sqrt{a}-1}-\frac{a\sqrt{a}-1}{a-1}\) với \(a\ge0,a\ne1.\)

Câu 2 (1,5 điểm)

a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}x+2y=4\\3x-y=5\end{cases}}.\)

b) Cho hàm số \(y=-\frac{1}{2}x^2\) có đồ thị (P).

i) Vẽ đồ thị (P) của hàm số.

ii) Cho đường thẳng y = mx + n \(\left(\Delta\right)\)  . Tìm m, n để đường thẳng \(\left(\Delta\right)\)  song song với đường thẳng y = - 2x + 5 (d) và có duy nhất một điểm chung với đồ thị (P).

Câu 3 (1 điểm)

Cho hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 5 giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ rồi đóng lại, sau đỏ mở vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì ta được \(\frac{1}{4}\) bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?

Câu 4 (2 điểm)

Cho phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+5=0\left(1\right)\)

, với x là ẩn số.

a) Giải phương trình (1) với m = 2.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn đẳng thức sau:

                     \(2x_1x_2-5\left(x_1+x_2\right)+8=0.\)

Câu 5 (3 điểm)

Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và D là hình chiếu vuông góc của B trên AO saocho D nằm giữa A và O. Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của BD và AC, F là giao điểm của MD và AC, E là giao điểm thứ hai của BD với đường tròn (O), H là giao điểm của BF và AD. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BDOM nội tiếp và \(\widehat{MOD}+\widehat{NAE}=180^o.\)

b) DF // CE, từ đó suy ra NE.NF = NC.ND.

c) CA là tia phân giác của góc \(\widehat{BCE}.\)

d) \(HN\perp AB.\)

Câu 6 (1 điểm)

Một cốc nước có dạng hình trụ bán kính đáy bằng 3cm, chiều cao bằng 12cm và chứa một lượng nước cao 10 cm. Người ta thả từ từ 3 viên bi làm bằng thủy tinh có cùng đường kính bằng 2cm vào cốc nước. Hỏi mực nước trong cốc lúc này cao bao nhiêu?

  ________________Hết________________

 

Câu 1)

a) Để \(A=\sqrt{x-1}\) có nghĩa thì \(x-1\ge0\Leftrightarrow x\ge1.\)

b) \(B=\sqrt{3^2.2}+\sqrt{2^3}-\sqrt{5^2.2}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}-5\sqrt{2}=0\)

c) \(C=\frac{a-1}{\sqrt{a}-1}-\frac{a\sqrt{a}-1}{a-1}\)

\(C=\frac{\left(a-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{a-1}-\frac{a\sqrt{a}-1}{a-1}\)

\(C=\frac{a\sqrt{a}+a-\sqrt{a}-1-a\sqrt{a}+1}{a-1}\)

\(C=\frac{a-\sqrt{a}}{a-1}\)

\(C=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

\(C=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\)

Câu 2) 

a) \(\hept{\begin{cases}x+2y=4\\3x-y=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4-2y\\3\left(4-2y\right)-y=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4-2y\\-7y=-7\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1),

b)

i) Bảng giá trị:

x-4-2024
\(y=-\frac{1}{2}x^2\)-8-20-2-8

 

 

ii) Để đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) y = mx + n song song với  đường thẳng y = - 2x + 5 thì m = -2.

Khi đó ta có phương trình đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) : y = -2x + n

Xét phương trình hoành độ giao điểm:   \(-\frac{1}{2}x^2=-2x+n\Leftrightarrow x^2-4x+2n=0\)

\(\Delta'=2^2-2n=4-2n\)

Để (\(\Delta\)) giao (P) tại 1 điểm duy nhất thì \(\Delta'=0\Leftrightarrow4-2n=0\Leftrightarrow n=2\)

Vậy m = -2, n = 2.

Câu 3) 

Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình thì đầy bể là x (giờ, x > 5)

Gọi thời gian để vòi thứ hai chảy một mình thì đầy bể là y (giờ, x > 5)

Một giờ vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) bể nước, một giờ vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{y}\) bể nước.

Một giờ cả hai vòi chảy được số phần bể nước là : \(1:5=\frac{1}{5}\)  (bể nước)

Vậy ta có phương trình  \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\)

 Nếu chỉ mở vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ rồi đóng lại, sau đỏ mở vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì ta được \(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\)  bể nước.

Vậy \(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)

Từ đó ta có hệ \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\\\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{1}{20}\\\frac{1}{y}=\frac{3}{20}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=20\\y=\frac{20}{3}\end{cases}}\left(tm\right)\)

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình sau 20 giờ đầy bể, vòi thứ hai chảy trong 20/3 giờ thì đầy bể.

Câu 4)

a) Với m = 2, ta có phương trình \(x^2-6x+9=0\)

\(\Delta'=3^2-9=0\)

Vậy phương trình có nghiệm kép \(x=3\).

b) \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+5=0\)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+5\right)=2m-4\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta'>0\Leftrightarrow2m-4>0\Leftrightarrow m>2\)

Áp dụng hệ thức Viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1.x_2=m^2+5\end{cases}}\)

Vậy thì \(2x_1x_2-5\left(x_1+x_2\right)+8=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(m^2+5\right)-10\left(m+1\right)+8=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-10m+8=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(m-1\right)\left(m-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=1\left(l\right)\\m=4\left(tm\right)\end{cases}}\)

Vậy m = 4.

Câu 5)

a) Do M là trung điểm dây cung BC nên theo tính chất đường kính dây cung thì \(OM\perp BC\)

Xét tứ giác BDOM có \(\widehat{BDO}=\widehat{BMO}=90^o\) mà D và M lại là hai đỉnh đối nhau nên BDOM là tứ giác nội tiếp.

Do BDOM là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{DOM}+\widehat{DBM}=180^o\)

Lại có \(\widehat{MBD}=\widehat{NAE}\)   (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

Vậy nên \(\widehat{MOD}+\widehat{NAE}=180^o\)

b) Xét đường tròn (O) ta có:

\(\widehat{BEC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\)   (Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)

Xét tam giác cân OBC có OM là trung tuyến nên đồng thời là đường phân giác.

Vậy nên  \(\widehat{BOM}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\)

Lại có \(\widehat{BOM}=\widehat{BDM}\)   (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) 

Vậy nên \(\widehat{BDM}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\)

Từ đó ta có \(\widehat{BDM}=\widehat{BEC}\)

Chúng lại ở vị trí đồng vị nên FD // EC.

Do FD//EC nên \(\Delta FDN\sim\Delta CEN\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{NF}{ND}=\frac{ND}{NE}\)

Hay NE.NF = NC.ND.

c) Xét đường tròn O, có bán kính AO vuông góc với dây cung BE tại D nên D là trung điểm BE hay OA là trung trực BE.

Vậy thì AB = AE hay \(sđ\widebat{AB}=sđ\widebat{AE}\)

\(\Rightarrow\widehat{BCA}=\widehat{ECA}\) hay CA là phân giác góc BCE.

d) Ta thấy \(\widehat{MCF}=\widehat{FCE}\)  (cm câu c)

Mà \(\widehat{FCE}=\widehat{MFC}\)   (So le trong)

Vậy nên \(\widehat{MCF}=\widehat{MFC}\)  hay tam giác MFC cân tại M.

Suy ra MF = MC.

Xét tam giác BFC có MB = MC = MF nên tam giác BFC vuông tại F.

Xét tam giác ANB có AD và BF là các đường cao nên H là trực tâm.

Vậy thì \(NH\perp AB\)

Câu 6) 

Thể tích nước dâng lên trong cốc bằng thể tích ba viên bi và bằng:

         \(V=3\left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)=4\pi\left(cm^3\right)\)

Chiều cao mực nước dâng lên là:

       \(h=\frac{V_{trụ}}{S_đ}=\frac{4\pi}{\pi.3^2}=\frac{4}{9}\left(cm\right)\)

Vậy chiều cao của mực nước sau khi thả bi là:

      \(10+\frac{4}{9}=\frac{94}{9}\left(cm\right)\)

 

   

Link bài học:
Thảo luận
Hattory Heiji
Trả lời
0

20 tháng 3 lúc 21:48

thanhtung
Trả lời
3

15 tháng 10 2018 lúc 19:48

shitbo 26 tháng 12 2018 lúc 15:20

xam thek

Long Nguyễn Thành 11 tháng 2 lúc 21:53

Jason vorhees

nguyenquockhang 7 tháng 4 lúc 15:47

vc