Bài 1 (1,5 điểm)

Cho hai biểu thức:

\(A=2\sqrt{8}-\sqrt{50}+\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2};\)

\(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right).\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)   (với \(x>0,x\ne1\) )

a) Rút gọn biểu thức A, B;

b) Tìm các giá trị của x sao cho giá trị biểu thức A gấp hai lần giá trị biểu thức B.

Bài 2 (1,5 điểm)

a) Tìm tất cả các giá trị của m để cả hai đường thẳng y = 2x - m và y = (m + 1)x - 1 cùng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = -1.

b) Giải hệ phương trình sau \(\hept{\begin{cases}3x-2\left(2y-1\right)=0\\3x+2y=2\left(7-x\right)\end{cases}}\)

Bài 3 (2,5 điểm)

1. Cho phương trình: \(x^2-\left(m-1\right)x-m=0\left(1\right)\)   (với x là ẩn số, m là tham số).

a) Giải phương trình (1) với m = 4;

b) Xác định các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện: \(x_1\left(3-x_2\right)+20\ge3\left(3-x_2\right).\)

2. Bài toán có nội dung thực tế:

"Em có tưởng tượng được hai lá phổi (gọi tắt là phổi) của mình chứa khoảng bao nhiêu lít không khí hay không? Dung tích phổi của mỗi người phụ thuộc vào một số yếu tố, trong đó yếu tố quan trọng là chiều cao và độ tuổi.

Sau đây là một công thức ước tính dung tích chuẩn phổi của mỗi người:

Nam: P = 0,057h - 0,022a - 4,23

Nữ: Q = 0,04h - 0,018a - 2,69

Trong đó:

h: Chiều cao tính bằng xangtimet,

a: Tuổi tính bằng năm

P, Q: Dung tích chuẩn của phổi tính bằng lít...

               (Toán 7, tập hai, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017, tr.29).

Bạn Hùng (nam) 15 tuổi, số đo của bạn được biết qua bài toán sau:

Chiều cao của bạn Hùng tính bằng xentimet. Đó là một số tự nhiên có 3 chữ số, trong đó chữ số hàng trăm là 1, chữ số hàng chục kém chữ số hàng đơn vị là 2 và hai lần chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 4. Tính dung tích chuẩn phổi của bạn Hùng.

Bài 4 (3,5 điểm)

1. Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O;R) vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm)

a) Chứng minh rằng 4 điểm M, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn;

b) Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O của đường trong sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D. Tiếp tuyến tại đIểm C và điểm D của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm N. Gọi H là giao điểm của AB và MO, K là giao điểm của CD và ON. Chứng minh rằng OH.OM = OK.ON = R2.

c) Chứng minh rằng ba điểm A, B, N thẳng hàng.

2. Hình trụ có đường kính đáy bằng 4cm và chiều cao bằng đường kính đáy. Tính thể tích hình trụ (lấy \(\pi=3,14\) )

Bài 5 (1 điểm)

a) Cho hai số x > 0, y > 0. Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

b) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=16\). Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{a+3b+2c}+\frac{1}{2a+b+3c}\le\frac{8}{3}\)

----------------------------------Hết-------------------------------------

Bài 1)

a) \(A=2\sqrt{8}-\sqrt{50}+\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}\)

\(A=4\sqrt{2}-5\sqrt{2}+\sqrt{2}+1\)

\(A=1\)

\(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right).\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)

\(B=\left(\frac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right).\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)

\(B=\frac{x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}.\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)

\(B=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

b) Để A = 2B thì \(\frac{1}{\sqrt{x}}=2\Rightarrow\sqrt{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{4}\left(tmđk\right)\)

Bài 2)

a) Để hai đường thẳng y = 2x - m và y = (m + 1)x - 1 cùng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = -1 thì ta có hệ:

\(\hept{\begin{cases}0=2\left(-1\right)-m\\0=-\left(m+1\right)-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=-2\\m=-2\end{cases}}\Leftrightarrow m=-2\)

b) \(\hept{\begin{cases}3x-2\left(2y-1\right)=0\\3x+2y=2\left(7-x\right)\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x-4y=-2\\5x+2y=14\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x-4y=-2\\10x+4y=28\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}13x=26\\3x-4y=-2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}}\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x,y) = (2,2).

Bài 3)

1.

a) Với m = 4, ta có phương trình:  \(x^2-3x-4=0\)

\(\Delta=3^2+16=25\Rightarrow\sqrt{\Delta}=5\)

\(\Rightarrow x_1=\frac{5+3}{2}=4;x_2=\frac{-5+3}{2}=-1\)

Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=4,x_2=-1.\)

b) \(x^2-\left(m-1\right)x-m=0\left(1\right)\)

\(\Delta=\left(m-1\right)^2+4m=m^2+2x+1=\left(m+1\right)^2\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2>0\Leftrightarrow m\ne-1\)

Áp dụng hệ thức Viet ta có:

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m-1\\x_1.x_2=-m\end{cases}}\)

Ta có:

\(x_1\left(3-x_2\right)+20\ge3\left(3-x_2\right)\Leftrightarrow3x_1+3x_2-x_1x_2\ge-11\)

\(\Leftrightarrow3\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2\ge-11\Leftrightarrow3\left(m-1\right)+m\ge-11\)

\(\Leftrightarrow4m-3\ge-11\Leftrightarrow m\ge-2\)

Vậy \(m\ge-2\) và \(m\ne-1.\)

2. Gọi chiều cao của Hùng là \(\overline{1ab}\left(a,b\in N,a,b< 9\right)\)

Theo bài ra ta có hệ: \(\hept{\begin{cases}a+2=b\\2a-b=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b-2\\2\left(b-2\right)-b=4\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b-2\\b=8\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=6\\b=8\end{cases}}\left(tm\right)\)

Vậy chiều cao của Hùng là 168cm.

Dung tích phổi chuẩn của Hùng là:

   P = 0,057h - 0,022a - 4,23 = 0,057.168 - 0,022.15 - 4,23 = 5,016 (lít)

Bài 4)

1.

a) Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^o\)

Mà đỉnh A và đỉnh B lại đối nhau nên MAOB là tứ giác nội tiếp.

b) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau nên \(MO\perp AH\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có \(AO^2=OH.OM\Rightarrow OH.OM=R^2\)

Tương tự: \(OK.ON=OC^2=R^2\)

Vậy nên \(OH.OM=OK.ON=R^2.\)

c) Xét tam giác OKH và tam giác OMN có:

Góc O chung

\(\frac{OH}{ON}=\frac{OK}{OM}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta OKH\sim\Delta OMN\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{NHO}=\widehat{MKO}=90^o\) hay \(NH\perp MO\)

Lại có \(AH\perp MO\) nên A, B, N thẳng hàng.

2. Bán kính đáy hình trụ R = 4 : 2 = 2 (cm)

Thể tích hình trụ bằng:

    \(V=S_đ.h=3,14.2^2.4=50,24\left(cm^3\right)\)

Bài 5)

a)  \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y}-\frac{x+y}{4xy}\le0\Leftrightarrow\frac{4xy-\left(x+y\right)^2}{4xy\left(x+y\right)}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(x-y\right)^2}{4xy\left(x+y\right)}\le0\)     (Đúng với mọi x, y > 0).

Vậy nên \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

b) Mở rộng ra chứng minh được \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức ở câu a, ta có:

\(\frac{1}{3a+2b+c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\le\frac{1}{9}.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Tương tự: \(\frac{1}{3b+2c+a}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{a}\right)\)

\(\frac{1}{3c+2a+b}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{c}+\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

Vậy nên \(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{a+3b+2c}+\frac{1}{2a+b+3c}\le\frac{6}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{8}{3}\)

 

Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a+b=b+c=c+a\\a=b=c\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{16}\end{cases}}\Rightarrow a=b=c=\frac{3}{16}\)

Link bài học:
Thảo luận
Hattory Heiji
Trả lời
0

20 tháng 3 lúc 21:48

thanhtung
Trả lời
3

15 tháng 10 2018 lúc 19:48

shitbo 26 tháng 12 2018 lúc 15:20

xam thek

Long Nguyễn Thành 11 tháng 2 lúc 21:53

Jason vorhees

nguyenquockhang 7 tháng 4 lúc 15:47

vc