Bài 1 (2 điểm)

Cho hai biểu thức : \(A=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-1}\) và \(B=\frac{3\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}\) với \(x\ge0,x\ne1\)

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

b) Chứng minh rằng \(B=\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)

c) Tìm tất cả các giá trị của x để \(\frac{A}{B}\ge\frac{x}{4}+5\)

Bài 2:  (2 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét với độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét.

Bài 3 (2 điểm)

1) Giải hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}4x-\left|y+2\right|=3\\x+2\left|y+2\right|=3\end{cases}}\)

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 3 và parabol (P) : y = x2.

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ nguyên.

Bài 4) 

Cho đường tròn (O,R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kỳ trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O;R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB.

1) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO.

2) Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo góc \(\widehat{CSD.}\)

3) Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC.

4) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định.

Bài 5) (0,5 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+2\sqrt{x}.\)

-----------Hết--------------

Bài 1:

a) Với x = 9 thì \(\sqrt{x}=\sqrt{9}=3\)

\(\Rightarrow A=\frac{3+4}{3-1}=\frac{7}{2}\)

b) \(B=\frac{3\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}\)

\(B=\frac{3\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(B=\frac{3\sqrt{x}+1-2\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(B=\frac{\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(B=\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)   (đpcm)

c) \(\frac{A}{B}=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-1}:\frac{1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-1}.\left(\sqrt{x}-1\right)=\sqrt{x}+4\)

Vậy nên \(\frac{A}{B}\ge\frac{x}{4}+5\Leftrightarrow\sqrt{x}+4\ge\frac{x}{4}+5\Leftrightarrow x-4\sqrt{x}+4\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)^2\le0\)

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\left(\sqrt{x}-2\right)^2=0\Leftrightarrow\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow x=4\) (tmđk)

Bài 2: 

Gọi chiều dài của mảnh đất là x (m, 10 > x > 0)

Nửa chu vi hình chữ nhật là : 28 : 2 = 14 (m)

Do x là chiều dài nên x > 14:2 hay x > 7 (m).

Chiều rộng hình chữ nhật là : 14 - x (m)

Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có phương trình:

  \(x^2+\left(14-x\right)^2=100\) 

\(\Leftrightarrow2x^2-28x+196=100\Leftrightarrow x^2-14x+48=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-8\right)\left(x-6\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-8=0\\x-6=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=8\left(tmđk\right)\\x=6\left(loại\right)\end{cases}}\)

Vậy chiều dài mảnh đất là 8m.

Chiều rộng mảnh đất là: 14 - 8 = 6 (m).

Bài 3)

1. Đặt \(\left|y+2\right|=z\left(z\ge0\right)\), ta có hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}4x-z=3\\x+2z=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}z=4x-3\\x+2\left(4x-3\right)=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}z=4x-3\\9x=9\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}z=1\\x=1\end{cases}}\)   (tm)

Với z = 1 thì \(\left|y+2\right|=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y+2=1\\y+2=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=-1\\y=-3\end{cases}}\)

Vậy hệ có 2 nghiệm (1;-1) và (1;-3).

2)

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

    \(x^2=\left(m+2\right)x+3\Leftrightarrow x^2-\left(m+2\right)x-3=0\)   (1)

\(\Delta=\left(m+2\right)^2-4\left(-3\right)=\left(m+2\right)^2+12\)

Do \(\left(m+2\right)^2\ge0\forall m\Rightarrow\left(m+2\right)^2+12\ge12\)

\(\Rightarrow\Delta>0\forall m\)

Vậy phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt hay (d) luôn giao (P) tại 2 điểm phân biệt.

b) Điều kiện cần để phương trình (*) có nghiệm nguyên là \(\Delta\) là một số chính phương.

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2+12=k^2\left(k\in Z\right)\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2-k^2=-12\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2-k\right)\left(m+2+k\right)=-12\)

Ta có bảng: 

Do m + 2 - k và m + 2 + k có cùng tính chẵn lẻ nên ta có bảng:

m + 2 - k26-2-6
m + 2 + k-6-262
m-400-4
k-4-444

 

Ta có \(x_1=\frac{\sqrt{\left(m+2\right)^2+12}+m+2}{2};x_2=\frac{-\sqrt{\left(m+2\right)^2+12}+m+2}{2}\)

Với m = 0 thì \(x_1=3;x_2=-1\left(tm\right)\)

Với m = - 4 thì \(x_1=3;x_2=-1\left(tm\right)\)

Vậy m = 0 hoặc m = -4.

 

Bài 4) 

a) Do SC, SD là các tiếp tuyến nên\(\widehat{SCO}=\widehat{SDO}=90^o\)

H là trung điểm dây cung AB nên theo tính chất đường kính dây cung thì \(OH\perp AB\Rightarrow\widehat{SHO}=90^o\)

Xét tứ giác SCOD có : \(\widehat{SCD}+\widehat{SDO}=180^o\), mà C và D là hai đỉnh đối nhau nên SCOD là tứ giác nội tiếp hay S, C, O, D cùng thuộc đường tròn đường kính SO.  (1)

Xét tứ giác SCHO có: \(\widehat{SCO}=\widehat{SHO}=90^o\), mà C, H là hai đỉnh kề nhau nên SCHO là tứ giác nội tiếp hay S, C, H, O cùng thuộc một đường tròn  đường kính SO.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra C, D, H, O, S cùng thuộc đường tròn đường kính SO.

b) Xét tam giác vuông SOD có SO = 2R, OD = R

Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có:

\(SD=\sqrt{SO^2-OD^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=\sqrt{3}R\)

Xét tam giác vuông SDO có \(\sin\widehat{DSO}=\frac{DO}{SO}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{DSO}=30^o\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì \(\widehat{CSD}=2\widehat{DSO}=60^o\)

c) Do S, D, H , C cùng thuộc một đường tròn nên \(\widehat{CSH}=\widehat{CDH}\)  (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH)   

Lại có do AK // SC nên \(\widehat{KAH}=\widehat{CSH}\)  (Hai góc đồng vị)

\(\Rightarrow\widehat{KAH}=\widehat{KDH}\)

Xét tứ giác ADHK có \(\widehat{KAH}=\widehat{KDH}\), mà A và D lại là hai đỉnh kề nhau nên ADHK là tứ giác nội tiếp.

Do tứ giác ADHK nội tiếp nên \(\widehat{KHA}=\widehat{KDA}\)  (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK)

Lại có xét đường tròn (O) : \(\widehat{KDA}=\widehat{CDA}=\widehat{CBA}\)

Vậy nên \(\widehat{KHA}=\widehat{CBA}\)

Gọi J là giao điểm của KB với SC.

Xét tam giác JBS có: AK // SJ nên áp dụng định lý Ta let ta có:

\(\frac{AK}{SJ}=\frac{AB}{SB}\)   (3)

Lại có \(\Delta KAH\sim\Delta CSB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AK}{SC}=\frac{AH}{SB}=\frac{1}{2}.\frac{AB}{SB}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{AK}{SJ}=\frac{2AK}{SC}\Rightarrow SJ=\frac{1}{2}SC\Rightarrow\)  J là trung điểm SC.

d) Gọi AM là đường kính của đường trìn (O). Gọi N là trung điểm của BM.

Do AM là đường kính nên \(\widehat{ABN}=\widehat{ADM}=90^o\Rightarrow FE//DM\) 

Lại có E là trung điểm DB, N là trung điểm BM nên EN là đường trung bình tam giác BDM

Vậy nên EN // DM

Từ đó suy ra F, E, N thẳng hàng.

Xét tứ giác ABNF có \(\widehat{ABN}+\widehat{AFN}=90^o+90^o=180^o\)

Mà hai đỉnh B và F lại là hai đỉnh đối nhau nên ABNF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AN.

Vậy F luôn thuộc đường tròn đường kính AN.

Cách 1: Ta có A, B , (O) cố định nên AM cố định \(\Rightarrow AN\) cố định.

Vậy F luôn thuộc đường tròn đường kính AN cố định.

Cách 2: Gọi giao điểm của AN với OH là O'.

Ta có N là trung điểm BM, O là trung điểm AM nên ON / là đường trung bình . Suy ra ON// AB hay \(\widehat{O'ON}=90^o\)  và \(\widehat{HAO'}=\widehat{ONO'}\)

Ta cũng có  ON = AH (Cùng bằng một nửa AB)

Vậy nên \(\Delta AHO'=\Delta NOO'\)   (Cạnh góc vuông và góc nhọn kề) 

\(\Rightarrow O'A=O'N;O'H=O'O\)

Vậy đường tròn đường kính AN chính là đường tròn tâm O', bán kính O'A không đổi với O' là trung điểm HO.

 

Gọi 

Bài 5) 

ĐK: \(0\le x\le1\)

Vì \(\sqrt{1-x}\le1\Rightarrow\sqrt{1-x}\ge1-x\)

Tương tự ta có: \(2\sqrt{x}\ge2x\)

Vậy \(P\ge1-x+2x+\sqrt{1+x}=1+x+\sqrt{1+x}\ge2\)

P = 2 khi và chỉ khi x = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của P  = 2 khi x = 0.

Link bài học:
Thảo luận
Hattory Heiji
Trả lời
0

20 tháng 3 lúc 21:48

thanhtung
Trả lời
3

15 tháng 10 2018 lúc 19:48

shitbo 26 tháng 12 2018 lúc 15:20

xam thek

Long Nguyễn Thành 11 tháng 2 lúc 21:53

Jason vorhees

nguyenquockhang 7 tháng 4 lúc 15:47

vc