Câu 1 (1 điểm): Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a)    \(2x^2-3x-2=0\)

b)    \(\hept{\begin{cases}2x-3y=12\\3x+y=7\end{cases}}\)

Câu 2 (1 điểm).

a) Rút gọn biểu thức \(A=\sqrt{9-4\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}-2}.\)

b) Vẽ đồ thị hàm số \(y=\frac{3}{4}x^2.\)

Câu 3 (1,5 điểm).

Khi thực hiện xây dựng trường điển hình đổi mới năm 2017, hai trường trung học cơ sở A và B có tất cả 760 học sinh đăng ký tham gia nội dung hoạt động trải nghiệm. Đến khi tổng kết, số học sinh tham gia đạt tỉ lệ 85% so với số đã đăng kí. Nếu tính riêng thì tỷ lệ học sinh tham giác của trường A và trường B lần lượt là 80% và 89,5%. Tính số học sinh ban đầu đăng kí tham gia của mỗi trường.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình \(2x^2-\left(m+5\right)x-3m^2+10m-3=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2-\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2=4.\)

Câu 4 (2,5 điểm).

Cho đường tròn tâm O và điểm P nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ tiếp tuyến PC của (O) (C là tiếp điểm) và cát tuyến PAB (PA  < PB) sao cho các điểm A, B, C nằm cùng phía so với đường thẳng PO. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB và CD là đường kính của (O).

a) Chứng minh tứ giác PCMO là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng PO với đường thẳng BD. Chứng minh AM.DE = AC.DO.

c) Chứng minh đường thẳng CE vuông góc với đường thẳng CA.

------------Hết-------------

Câu 1:

a)  \(2x^2-3x-2=0\)

\(\Delta=\left(-3\right)^2-4.2.\left(-2\right)=25\)

\(\Rightarrow x_1=\frac{\sqrt{25}+3}{4}=2;x_2=\frac{-\sqrt{25}+3}{4}=-\frac{1}{2}.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1=2;x_2=-\frac{1}{2}.\)

b) \(\hept{\begin{cases}2x-3y=12\\3x+y=7\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-3y=12\\9x+3y=21\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}11x=33\\3x+y=7\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}}\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;-2).

Câu 2:

a) \(A=\sqrt{9-4\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}-2}\)

\(A=\sqrt{4-2.2\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2}+\frac{5-4}{\sqrt{5}-2}\)

\(A=\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}+\frac{\left(\sqrt{5}\right)^2-2^2}{\sqrt{5}-2}\)

\(A=\left|\sqrt{5}-2\right|+\sqrt{5}+2\)

\(A=\sqrt{5}-2+\sqrt{5}+2\)

\(A=2\sqrt{5}\).

b) Bảng giá trị :

x-2-1012
\(y=\frac{3}{4}x^2\)3\(\frac{3}{4}\)0\(\frac{3}{4}\)3

 

Ta có đồ thị:

Câu 3:

Gọi số học sinh đăng kí tham gia hoạt động trải nghiệm của trường A là x (học sinh,  \(x\inℕ^∗;x< 760\) )

Số học sinh tham gia hoạt động trải nghiệm của trường B là : 760 - x (học sinh)

Số học sinh tham gia thực tế là:   760 x 85% = 646 (học sinh)

Số học sinh tham gia thực tế của trường A là:    80%x = 0,8x (học sinh)

Số học sinh tham gia thực tế của trường B là:    89,5%(760 - x) = 0,895(760 - x) (học sinh)

Theo bài ra ta có phương trình:   \(0,8x+0,895\left(760-x\right)=646\)

\(\Leftrightarrow680,2-0,095x=646\)

\(\Leftrightarrow x=360\left(tmđk\right)\)

Vậy số học sinh đăng kí ban đầu của trường A là 360 học sinh.

Số học sinh đăng kí ban đầu của trường B là:   760 - 360 =  400 (học sinh).

b) \(2x^2-\left(m+5\right)x-3m^2+10m-3=0\)     (*)

\(\Delta=\left(m+5\right)^2-4.2\left(-3m^2+10m-3\right)\)

\(=m^2+10m+25+24m^2-80m+24\)

\(=25m^2-70m+49\)

\(=\left(5m-7\right)^2\)

Để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\Leftrightarrow5m-7\ne0\Leftrightarrow m\ne\frac{7}{5}.\)

Áp dụng hệ thức Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{m+5}{2}\\x_1.x_2=\frac{-3m^2+10m-3}{2}\end{cases}}\)

 

Ta có \(x_1^2+x_2^2-\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2=4.\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{m+5}{2}\right)^2-\frac{m+5}{2}-\frac{-3m^2+10m-3}{2}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{m^2+10m+25}{4}-\frac{2m+10}{4}+\frac{6m^2-20m+6}{4}=4\)

\(\Leftrightarrow7m^2-12m+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(7m-5\right)\left(m-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}7m-5=0\\m-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=\frac{5}{7}\\m=1\end{cases}}\left(tm\right)\)

Vậy \(m=\frac{5}{7}\) hoặc m = 1.

Câu 4:

a) Do M là trung điểm dây cung AB không đi qua tâm nên theo tính chất đường kính dây cung thì \(OM\perp AB\Rightarrow\widehat{PMO}=90^o\)

Xét tứ giác PCMO có \(\widehat{PMO}=\widehat{PCO}=90^o\) mà C, M lại là hai đỉnh kề nhau nên PCMO là tứ giác nội tiếp.

b) Do tứ giác PCMO nội tiếp nên \(\widehat{AMC}=\widehat{POC}\)   (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung PC)

mà \(\widehat{POC}=\widehat{DOE}\)   (Hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat{AMC}=\widehat{DOE}\)

Xét đường tròn (O) ta cũng có \(\widehat{CAM}=\widehat{EDO}\)   (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB)

Từ đó suy ra ngay \(\Delta ACM\sim\Delta DEO\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AC}{DE}=\frac{AM}{DO}\Rightarrow AM.DE=AC.DO\left(đpcm\right)\)

c) Ta có theo câu b thì \(\frac{AC}{DE}=\frac{AM}{DO}\Rightarrow\frac{AC}{DE}=\frac{2AM}{2DO}=\frac{AB}{DC}\)

Xét tam giác ACB và tam giác DEC có:

 \(\frac{AC}{DE}=\frac{AB}{DC}\)   (cmt)

\(\widehat{CAB}=\widehat{EDC}\)   (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB)

\(\Rightarrow\Delta ACB\sim\Delta DEC\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{DCE}\)

Lại có \(\widehat{ABC}=\widehat{PAC}\)   (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)

\(\Rightarrow\widehat{DCE}=\widehat{PAC}\Rightarrow\widehat{DCE}+\widehat{ACD}=\widehat{PAC}+\widehat{ACD}\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{PCD}=90^o\)

Vậy nên \(CE\perp AC.\)

Link bài học:
Thảo luận
Hattory Heiji
Trả lời
0

20 tháng 3 lúc 21:48

thanhtung
Trả lời
3

15 tháng 10 2018 lúc 19:48

shitbo 26 tháng 12 2018 lúc 15:20

xam thek

Long Nguyễn Thành 11 tháng 2 lúc 21:53

Jason vorhees

nguyenquockhang 7 tháng 4 lúc 15:47

vc