Câu 7. (2,5 điểm)

a) Giải hệ phương trình  \(\hept{\begin{cases}x+2y=5\\3x-y=1\end{cases}}.\)

b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của đồ thị hai hàm số \(y=x^2\) và \(y=x+2.\) Gọi D, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD.

Câu 8. ( 1 điểm)

Nhân dịp Tết Thiếu nhi 01/6, một nhóm học sinh cần chia đều một số lượng quyển vở thành các phần quà để tặng cho các em nhỏ tại một mái ấm tính thương. Nếu mỗi phần quà giảm 2 quyển thì các em sẽ có thêm 2 phần quà nữa, còn nếu mỗi phần quà giảm 4 quyển thì các em sẽ có thêm 5 phần quà nữa. Hỏi ban đầu có bao nhiêu phần quà và mỗi phần có bao nhiêu quyển vở?

Câu 9. (2,5 điểm)

Cho đường tròn đường kính AB, các điểm C, D nằm trên đường tròn đó sao cho C, D nằm khác phía đối với đường thẳng AB, đồng thời AD > AC. Gọi điểm chính giữa của các cung nhỏ \(\widebat{AC}\) ,  \(\widebat{AD}\)  lần lượt là M và N; giao điểm của MN với AC, AD lần lượt tại H, I; giao điểm của MD và CN là K.

a) Chứng minh \(\widehat{ACN}=\widehat{DMN}\). Từ đó suy ra tứ giác MCKH nội tiếp.

b) Chứng minh KH song song với AD.

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa sđ\(\widebat{AC}\) và \(sđ\widebat{AD}\) để AK // ND.

Câu 10. (1 điểm)

a) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện \(a+b+c=3.\)  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=4a^2+6b^2+3c^2.\)

b) Tìm các số nguyên dương a, b biết các phương trình \(x^2-2ax-3b=0\) và \(x^2-2bx-3a=0\) (với x là ẩn) đều có các nghiệm nguyên.

-------Hết------

Câu 7:

a) \(\hept{\begin{cases}x+2y=5\\3x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5-2y\\3\left(5-2y\right)-y=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5-2y\\-7y=-14\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (1;2).

b)  Xét phương trình hoành độ giao điểm :

\(x^2=x+2\Leftrightarrow x^2-x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-1\end{cases}}\)

Với x = 2 thì y = 4

Với x = -1 thì y = 1.

Vậy giao điểm của hai đồ thị là A(2;4) và B(-1;1).

Do C, D là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục hoành nên C(2;0) và D(-1;0).

Ta thấy ngay ABCD là hình thang vuông, hai đáy AC // BD

\(AC=\left|y_A\right|=4;BD=\left|y_B\right|=1;DC=3\)

Vậy \(S_{ABCD}=\frac{\left(1+4\right).3}{2}=\frac{15}{2}\) (đvdt)

Câu 8: 

Gọi số phần quà ban đầu là x (phần quà, \(x\inℕ^∗\) ), số quyển vở trong mỗi phần quà là y (quyển, \(y\inℕ^∗;y>5\) )

Số quyển vở mà nhóm học sinh có là xy (quyển)

Nếu mỗi phần quà giảm 2 quyển thì các em sẽ có thêm 2 phần quà nữa nên ta có phương trình : (x + 2)(y - 2) = xy

 Nếu mỗi phần quà giảm 4 quyển thì các em sẽ có thêm 5 phần quà nữa nên ta có phương trình : (x + 5)(y - 4) = xy

Theo bài ra ta có hệ: \(\hept{\begin{cases}\left(x+2\right)\left(y-2\right)=xy\\\left(x+5\right)\left(y-4\right)=xy\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-2x+2y=4\\-4x+5y=20\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-4x+4y=8\\-4x+5y=20\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-x+y=2\\y=12\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=10\\y=12\end{cases}\left(tmđk\right)}\)

Vậy ban đầu có 10 phần quà, mỗi phần có 12 quyển vở.

Câu 9: 

a) Do N là điểm chính giữa cung AD nên \(sđ\widebat{AN}=sđ\widebat{ND}\)

Vậy nên \(\widehat{ACN}=\widehat{DMN}\)  (Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét tứ giác MCKH có  \(\widehat{HCK}=\widehat{HMK}\)   (cmt) mà C, M lại là hai đỉnh kề nhau nên MCKH là tứ giác nội tiếp.

b) Do MCKH là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{MKH}=\widehat{MCH}\)  (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MH)

Mà \(\widehat{MCH}=\widehat{MCA}=\widehat{MDA}\)

(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MA)

Vậy nên \(\widehat{MKH}=\widehat{MDA}\)

Chúng lại ở vị trí đồng vị nên HK // AD.

c) Ta có \(\widehat{NKD}=\frac{sđ\widebat{ND}+sđ\widebat{MC}}{2}=\frac{\frac{1}{2}\left(sđ\widebat{AC}+sđ\widebat{AD}\right)}{2}=\frac{sđ\widebat{MN}}{2}=\widehat{MDN}\)

Xét tam giác NKD có \(\widehat{NKD}=\widehat{KDN}\) nên NKD là tam giác cân tại N hay NK = ND

Lại có ND = NA nên đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD là đường tròn (N, NA).

Từ đó ta có :

\(\widehat{KAD}=\frac{1}{2}\widehat{KND}=\frac{1}{2}sđ\widebat{CD}=\frac{1}{2}\left(360^o-sđ\widebat{AC}-sđ\widebat{AD}\right)\)

\(\widehat{ADN}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AD}\)

Để AK // ND thì \(\widehat{KAD}=\widehat{ADN}\Rightarrow\frac{1}{2}\left(360^o-sđ\widebat{AC}-sđ\widebat{AD}\right)=\frac{1}{2}sđ\widebat{AD}\)

\(\Rightarrow180^o-\frac{1}{2}sđ\widebat{AC}-\frac{1}{2}sđ\widebat{AD}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AD}\)

\(\Rightarrow180^o=sđ\widebat{AD}+\frac{1}{2}sđ\widebat{AC}\)

\(\Rightarrow2sđ\widebat{AD}+sđ\widebat{AC}=360^o\)

Câu 10: 

a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:

\(4\left(a^2+1\right)\ge4.2\sqrt{a^2.1}=8a\)

\(6\left(b^2+\frac{4}{9}\right)\ge6.2.\sqrt{b^2.\frac{4}{9}}=8b\)

\(3\left(c^2+\frac{16}{9}\right)\ge3.2.\sqrt{c^2.\frac{16}{9}}=8c\)

Cộng vế theo vế ta có: \(A+4+\frac{8}{3}+\frac{16}{3}\ge8\left(a+b+c\right)=8.3=24\)

\(\Rightarrow A\ge12.\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2-1;b^2=\frac{4}{9};c^2=\frac{16}{9}\\a,b,c\ge0\\a+b+c=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=\frac{2}{3}\\c=\frac{4}{3}\end{cases}}\)

Vậy minA = 12 khi và chỉ khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)\)

b) Ta có hai phương trình :

\(x^2-2ax-3b=0\) (1)

\(x^2-2bx-3a=0\)   (2)

\(\Delta_1'=a^2+3b\)

\(\Delta_2'=b^2+3a\)

Để các phương trình trên có nghiệm nguyên thì \(\Delta_1';\Delta_2'\) đều là số chính phương.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\)

Khi đó \(4a+4>3b>0\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2>a^2+3b>a^2\)

\(\Rightarrow a^2+3b=\left(a+1\right)^2\Leftrightarrow a^2+3b=a^2+2a+1\Leftrightarrow3b=2a+1\)

Thế \(a=\frac{3b-1}{2}\) ta có : \(\Delta_2'=b^2+3a=b^2+\frac{9b}{2}-\frac{3}{2}\)

\(\Delta_2'\) là số chính phương \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\b=11\end{cases}}\)

Vậy nên (a;b) = (1;1) , (a;b) = (16;11)

Tương tự với trường hợp \(a\le b\)

Vậy \(\left(a;b\right)\in\left\{\left(1;1\right),\left(11;16\right),\left(16;11\right)\right\}\)

Link bài học:
Thảo luận
Hattory Heiji
Trả lời
0

20 tháng 3 lúc 21:48

thanhtung
Trả lời
3

15 tháng 10 2018 lúc 19:48

shitbo 26 tháng 12 2018 lúc 15:20

xam thek

Long Nguyễn Thành 11 tháng 2 lúc 21:53

Jason vorhees

nguyenquockhang 7 tháng 4 lúc 15:47

vc