Căn bậc hai và căn thức bậc hai SVIP

O. NHẮC LẠI KIẾN THỨC

Căn bậc hai số học

Căn bậc hai số học của một số $a$ không âm là số $x$ không âm sao cho $x^2 = a$. Kí hiệu là $\sqrt a$.

Ví dụ 1. Căn bậc hai số học của $4$ là $2$ vì $2 > 0$ và $2^2 = 4$.

1. CĂN BẬC HAI

Khái niệm

Căn bậc hai của số thực $a$ không âm là số thực $x$ sao cho $x^2 = a$.

Ví dụ 2. Các căn bậc hai của:

a) $81$ là $9$ và $-9$ vì $(-9)^2 = 9^2 = 81$;

b) $0$ là $0$.

Nhận xét

▪️ Số dương $a$ có đúng hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt a$ (căn bậc hai số học của $a$) và $-\sqrt a$.

▪️ Số $0$ có một căn bậc hai duy nhất là $0$;

▪️ Số âm không có căn bậc hai.

Sử dụng máy tính cầm tay

Ta sử dụng máy tính cầm tay tính căn bậc hai của $a > 0$ bằng cách tính $\sqrt a$.

Ví dụ 3.  Sử dụng MTCT, tính căn bậc hai của $\dfrac7{11}$ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải

Bấm các phím s7a11=

Ta có kết quả:  

Vậy các căn bậc hai của $\dfrac7{11}$ là $0,8$ và $-0,8$.

Tính chất

Với mọi số thực $a$ ta có $\sqrt{a^2} = |a|$.

Ví dụ 4. Tính (không sử dụng MTCT): $P = \sqrt{(-3)^2} + 3$.

Lời giải

Ta có $\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$.

Vậy $P = 3+3 = 6$.

2. CĂN THỨC BẬC HAI

Định nghĩa

Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng $\sqrt A$, trong đó $A$ là một biểu thức đại số.

$A$ được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

 Điều kiện xác định

$A$ xác định khi $A$ lấy giá trị không âm và ta thường viết là $A \ge 0$.

$A \ge 0$ là điều kiện xác định hay điều kiện có nghĩa của $\sqrt A$.

Ví dụ 5. Xét căn thức $P = \sqrt{2x + 1}$.

a) Tìm điều kiện xác định của căn thức $P$.

b) Tính giá trị của căn thức $P$ tại $x = 0$.

Lời giải

a) Điều kiện xác định của căn thức là $2x + 1 \ge 0$.

b) Tại $x = 0$ (thỏa mãn điều kiện xác định) căn thức có giá trị:

$P = \sqrt{2.0 + 1} = 1$.

Hằng đẳng thức

⚡Với $A \ge 0$, ta có $A \ge 0$; $\big(\sqrt A\big)^2 = A$.

⚡$\sqrt{A^2} = |A|$.

Ví dụ 6. Rút gọn các biểu thức $\Big(\sqrt{1 - x}\Big)^2$ với $x < 0$.

Lời giải

Từ giả thiết $x < 0$ suy ra $1 - x > 0$.

Do đó, $\Big(\sqrt{1 - x}\Big)^2 = 1 - x$.