Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 7: Bất đẳng thức

Đề bài

Câu 1

Bình Định 2017-2018

Cho \(a,b,c\)là ba số dương. Chứng minh bát đẳng thức sau

                       \(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}\ge a^3+b^3+c^3\)

 

Đáp án:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Svac      \(\frac{x^2}{\alpha}+\frac{y^2}{\beta}+\frac{z^2}{\gamma}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\alpha+\beta+\gamma}\) đúng với mọi \(x,y,z\) và với mọi 

\(\alpha,\beta,\gamma>0\), ta có 

                            \(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}=\frac{\left(a^3\right)^2}{abc}+\frac{\left(b^3\right)^2}{abc}+\frac{\left(c^3\right)^2}{abc}\)

                                                                   \(\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{abc+abc+abc}\)

                                                                      \(=\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

                                                                     \(\ge a^3+b^3+c^3\)    (do  \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

Câu 1

Hà Tĩnh 2013 - 2014

Cho \(x,y\)thỏa mãn điều kiện \(0< x< 1;0< y< 1\). Chứng minh rằng 

                                           \(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Đáp án:

- Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

              \(\left(x.\frac{1}{2}+x.\frac{1}{2}+y.\frac{1}{2}+y.\frac{1}{2}+x.\sqrt{1-x^2}+y.\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\)

                 \(\left(x^2+x^2+y^2+y^2+x^2+y^2\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1-x^2+1-y^2\right)\)

tức là         \(\left(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\left(3x^2+3y^2\right)\left(3-x^2-y^2\right)\)

Suy ra          \(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\sqrt{3}.\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(3-x^2-y^2\right)}\)

                                                                                               \(\le\sqrt{3}.\frac{\left(x^2+y^2\right)+\left(3-x^2-y^2\right)}{2}\)

 hay                             \(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\)  (đpcm)

Câu 1

Hà Nội 2013 - 2014

Cho \(a,b,c\)là ba số dương thỏa mãn điều kiện  \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\). Chứng minh rằng

                                                                   \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)

Đáp án:

Viết lại điều kiện đã cho dưới dạng

                                               \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)

Áp dụng bất đẳng thức hiển nhiên      \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)  ta có

                                               \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)     (1)

Lại áp dụng     \(x\le\frac{x^2+1}{2}\), ta có     \(\frac{1}{a}\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{a^2}\right)\), do đó

                                                \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{3}{2}\)   (2)

Cộng theo vế (1), (2) và chú ý đến điều kiện ta được

                                                     \(6\le\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{3}{2}\)

Suy ra                                          \(3\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)    (đpcm)

Câu 1

Hà Nam 2015 - 2016

Cho \(x,y\)là hai số dương thỏa mãn điều kiện    \(x+3y\le10\). Chứng minh rằng

                                                        \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\ge10\).

Khi nào xảy ra đẳng thức?

Đáp án:

- Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky Svac: Với \(a,b\)tùy ý và \(\alpha,\beta>0\) luôn có

                                                          \(\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\alpha+\beta}\)

(đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi      \(\frac{a}{\alpha}=\frac{b}{\beta}\))   ta có

                                              \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{81}{3\sqrt{3y}}\ge\frac{\left(1+9\right)^2}{\sqrt{x}+3\sqrt{3y}}\)

hay                                          \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\ge\frac{100}{\sqrt{x}+3\sqrt{3y}}\)     (1)

- Mặt khác  sử dụng điều kiện \(x+3y\le10\) và bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

                                             \(\left(\sqrt{x}+3\sqrt{3}y\right)^2\le\left(1+9\right)\left(x+3x\right)\le100\)

suy ra                                        \(\sqrt{x}+3\sqrt{3}y\le10\)  (2)

- Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

- (1) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi        \(\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{9}{3\sqrt{3y}}\Leftrightarrow\sqrt{3y}=3\sqrt{x}\Leftrightarrow y=3x\)

(2) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x}}{1}=\dfrac{\sqrt{3y}}{3}\\x+3y=10\end{matrix}\right.\)   \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.\) 

Vậy trong bất đẳng thức cần chứng minh, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=1,y=3\)    

Câu 1

Hải Phòng 2014 - 2015

Cho \(a,b,c\)là ba số dương. Chứng minh rằng

                                     \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\)

Đáp án:

- Do  \(a,b>0\)nên ta có                   

                                                         \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

                                                                         \(=\left(a+b\right)\left(\left(a-b\right)^2+ab\right)\)

                                                                          \(\ge\left(a+b\right)ab\)

do đó                                               \(\frac{a^3+b^3}{2ab}\ge\frac{a+b}{2}\)

Từ đó                       \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\)

hay                           \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\)  (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(a=b=c\) 

Câu 1

Hải Phòng  2015 - 2016

1) Cho \(a,b\)là hai số dương. Chứng minh rằng

                                                  \(3\left(b^2+2a^2\right)\ge\left(b+2a\right)^2\)

2) Cho \(a,b,c\)là ba số dương thỏa mãn điều kiện   \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{1}{2}\).   Chứng minh rằng

                             \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\ge\sqrt{3}\)

Đáp án:

1) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hiển nhiên sau đây     \(2\left(a-b\right)^2\ge0\)

2) Từ bất đẳng thức đã chứng minh trong 1) suy ra    

                                                \(\sqrt{b^2+2a^2}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(b+2a\right)\)

                                                   \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{b+2a}{ab}\)

                                                    \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{bc+2ca}{abc}\)

Do đó                    \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{abc}\)

                             \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)  (1)

- Để ước lượng vế phải của (1), để ý đến giả thiết bài toán, ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Svac

                                                             \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Do đó                   \(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge4.\frac{1}{2}\)

Suy ra                                                          \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm     

Câu 1

Bình Định 2015 - 2016

Cho  \(a,b,c\)là ba số dương thỏa mãn điều kiện   \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng

                                                       \(\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}\ge6\)

Đáp án:

- Viết lại vế trái bất đẳng thức cần chứng minh thành

                         \(3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Svac        \(\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\alpha+\beta+\gamma}\)      (điều kiện \(\alpha,\beta,\gamma>0\)) ta có

                       \(3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3.\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b+c+c+a}\)

          hay         \(3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{27}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}\)  (1)

 và                   \(\left(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+b+c+c+a}\)

           hay      \(\left(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\right)\ge\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)  (2)

Cộng theo vế (1) và (2) suy ra đpcm

Câu 1

Bình Định 2014 - 2015

Cho      \(A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{121}}\)

và        \(B=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{35}}\).

Chứng minh rằng       \(B>A\)

Đáp án:

- Ta có    \(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{n-\left(n+1\right)}\), do đó

          \(A=\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+...+\sqrt{120}-\sqrt{121}}{-1}=\frac{1-11}{-1}=10\)

- Mặt khác 

            \(B=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{35}}\)

               \(=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+...+\frac{2}{\sqrt{35}+\sqrt{35}}\)

                  \(>\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{35}+\sqrt{36}}\)

                   \(=2\left(\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+...+\frac{\sqrt{35}-\sqrt{36}}{35-36}\right)\)

                     \(=\frac{2\left(1-6\right)}{-1}=10\)

Vì vậy \(B>A\)

                   

              

Câu 1

Bắc Giang 2015 - 2016

Cho \(x,y,z\)là ba số dương thỏa mãn điều kiện   \(xy+yz+zx=2016\). Chứng minh rằng

                                   \(\sqrt{\frac{yz}{x^2+2016}}+\sqrt{\frac{zx}{y^2+2016}}+\sqrt{\frac{xy}{z^2+2016}}\le\frac{3}{2}\)

Đáp án:

- Từ giả thiết  \(xy+yz+zx=2016\) suy ra   \(x^2+2016=x^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\) nên 

                           \(\sqrt{\frac{yz}{x^2+2016}}=\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{z}{x+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}\right)\)

- Làm tương tự đối với hai số hạng còn lại ở vế trái bất đẳng thức cần chứng minh rồi cộng theo vế ba bất đẳng thức nhận được ta có đpcm.

   

Câu 1

Bắc Giang 2014 - 2015

Cho \(a,b,c\)là ba số dương. Chứng minh rằng

                                      \(\frac{9a}{b+c}+\frac{25b}{c+a}+\frac{64c}{a+b}>30\)

Đáp án:

Biến đổi vế trái bất đẳng thức cần chứng minh thành

                           \(9\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+25\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+64\left(\frac{c}{a+b}+1\right)-98\)

                    \(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{9}{b+c}+\frac{25}{c+a}+\frac{64}{a+b}\right)-98\)

                    \(=\frac{1}{2}\left(b+c+c+a+a+b\right)\left(\frac{9}{b+c}+\frac{25}{c+a}+\frac{64}{a+b}\right)-98\)

                     \(\ge\frac{1}{2}\left(\sqrt{b+c}.\frac{3}{\sqrt{b+c}}+\sqrt{c+a}.\frac{5}{\sqrt{c+a}}+\sqrt{a+b}.\frac{8}{\sqrt{a+b}}\right)^2-98\)

                     \(=30\)

Suy ra           \(\frac{9a}{b+c}+\frac{25b}{c+a}+\frac{64c}{a+b}\ge30\)

Dấu bằng chỉ xảy ra khi 

                         \(\sqrt{b+c}:\frac{3}{\sqrt{b+c}}=\sqrt{c+a}:\frac{5}{\sqrt{c+a}}=\sqrt{a+b}:\frac{8}{\sqrt{a+b}}\)

                     \(\Leftrightarrow\frac{b+c}{3}=\frac{c+a}{5}=\frac{a+b}{8}\)

                     \(\Rightarrow\frac{b+c+c+a}{3+5}=\frac{a+b}{8}\Rightarrow a+b+2c=a+b\Rightarrow c=0\), trái giả thiết \(c>0\). Do đó 

                                                 \(\frac{9a}{b+c}+\frac{25b}{c+a}+\frac{64c}{a+b}>30\)

Câu 1

Hà Nội 2016 - 2017

Cho \(x,y>0\)thỏa mãn điều kiện  \(x-\sqrt{x+6}=\sqrt{y+6}-y\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

                                                                  \(P=x+y\)

Đáp án:

Từ giả thiết suy ra                        \(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)

                                                  \(\left(x+y\right)^2=\left(x+y\right)+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)

                        

Câu 1

Hải Phòng 2017-2018

1) Cho \(x,y>0\), chứng minh rằng   \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

2) Cho \(a,b,c\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện   \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=16\). Chứng minh rằng

                       \(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{a+3b+2c}+\frac{1}{2a+b+3c}\le\frac{8}{3}\)

 

Hướng dẫn giải:

Đáp án:

1) Theo Cô si ta có    \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)  và    \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\). Từ đó

                    \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\)   hay   \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y\).

  2) Chứng minh tương tự trên ta cũng được bất đẳng thức tương tự

                           \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(x=y=z\))

- Từ đó

       \(\frac{1}{3a+2b+c}=\frac{1}{a+b+a+b+a+c}\)

                                  \(\le\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

                                  \(\le\frac{1}{9}.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

     Hay    \(\frac{1}{3a+2b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\). Tương tự

                \(\frac{1}{a+3b+2c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{3}{b}+\frac{2}{c}\right)\)  và   \(\frac{1}{2a+b+3c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{3}{c}\right)\).

Cộng theo vế ba bất đẳng thức này và sử dụng giả thiết \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=16\) ta được đpcm

Bài làm

Hãy đăng nhập để làm bài!

Đăng nhập

00:00:00