Câu 1 (1 điểm):

Bình Định 2017-2018

Cho \(a,b,c\)là ba số dương. Chứng minh bát đẳng thức sau

                       \(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}\ge a^3+b^3+c^3\)

 

Đáp án:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Svac      \(\frac{x^2}{\alpha}+\frac{y^2}{\beta}+\frac{z^2}{\gamma}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\alpha+\beta+\gamma}\) đúng với mọi \(x,y,z\) và với mọi 

\(\alpha,\beta,\gamma>0\), ta có 

                            \(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}=\frac{\left(a^3\right)^2}{abc}+\frac{\left(b^3\right)^2}{abc}+\frac{\left(c^3\right)^2}{abc}\)

                                                                   \(\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{abc+abc+abc}\)

                                                                      \(=\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

                                                                     \(\ge a^3+b^3+c^3\)    (do  \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)


Câu 2 (1 điểm):

Hà Tĩnh 2013 - 2014

Cho \(x,y\)thỏa mãn điều kiện \(0< x< 1;0< y< 1\). Chứng minh rằng 

                                           \(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Đáp án:

- Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

              \(\left(x.\frac{1}{2}+x.\frac{1}{2}+y.\frac{1}{2}+y.\frac{1}{2}+x.\sqrt{1-x^2}+y.\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\)

                 \(\left(x^2+x^2+y^2+y^2+x^2+y^2\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1-x^2+1-y^2\right)\)

tức là         \(\left(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\left(3x^2+3y^2\right)\left(3-x^2-y^2\right)\)

Suy ra          \(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\sqrt{3}.\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(3-x^2-y^2\right)}\)

                                                                                               \(\le\sqrt{3}.\frac{\left(x^2+y^2\right)+\left(3-x^2-y^2\right)}{2}\)

 hay                             \(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\)  (đpcm)


Câu 3 (1 điểm):

Hà Nội 2013 - 2014

Cho \(a,b,c\)là ba số dương thỏa mãn điều kiện  \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\). Chứng minh rằng

                                                                   \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)

Đáp án:

Viết lại điều kiện đã cho dưới dạng

                                               \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)

Áp dụng bất đẳng thức hiển nhiên      \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)  ta có

                                               \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)     (1)

Lại áp dụng     \(x\le\frac{x^2+1}{2}\), ta có     \(\frac{1}{a}\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{a^2}\right)\), do đó

                                                \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{3}{2}\)   (2)

Cộng theo vế (1), (2) và chú ý đến điều kiện ta được

                                                     \(6\le\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{3}{2}\)

Suy ra                                          \(3\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)    (đpcm)


Câu 4 (1 điểm):

Hà Nam 2015 - 2016

Cho \(x,y\)là hai số dương thỏa mãn điều kiện    \(x+3y\le10\). Chứng minh rằng

                                                        \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\ge10\).

Khi nào xảy ra đẳng thức?

Đáp án:

- Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky Svac: Với \(a,b\)tùy ý và \(\alpha,\beta>0\) luôn có

                                                          \(\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\alpha+\beta}\)

(đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi      \(\frac{a}{\alpha}=\frac{b}{\beta}\))   ta có

                                              \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{81}{3\sqrt{3y}}\ge\frac{\left(1+9\right)^2}{\sqrt{x}+3\sqrt{3y}}\)

hay                                          \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\ge\frac{100}{\sqrt{x}+3\sqrt{3y}}\)     (1)

- Mặt khác  sử dụng điều kiện \(x+3y\le10\) và bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

                                             \(\left(\sqrt{x}+3\sqrt{3}y\right)^2\le\left(1+9\right)\left(x+3x\right)\le100\)

suy ra                                        \(\sqrt{x}+3\sqrt{3}y\le10\)  (2)

- Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

- (1) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi        \(\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{9}{3\sqrt{3y}}\Leftrightarrow\sqrt{3y}=3\sqrt{x}\Leftrightarrow y=3x\)

(2) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x}}{1}=\dfrac{\sqrt{3y}}{3}\\x+3y=10\end{matrix}\right.\)   \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.\) 

Vậy trong bất đẳng thức cần chứng minh, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=1,y=3\)    


Câu 5 (1 điểm):

Hải Phòng 2014 - 2015

Cho \(a,b,c\)là ba số dương. Chứng minh rằng

                                     \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\)

Đáp án:

- Do  \(a,b>0\)nên ta có                   

                                                         \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

                                                                         \(=\left(a+b\right)\left(\left(a-b\right)^2+ab\right)\)

                                                                          \(\ge\left(a+b\right)ab\)

do đó                                               \(\frac{a^3+b^3}{2ab}\ge\frac{a+b}{2}\)

Từ đó                       \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\)

hay                           \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\)  (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(a=b=c\) 


Câu 6 (1 điểm):

Hải Phòng  2015 - 2016

1) Cho \(a,b\)là hai số dương. Chứng minh rằng

                                                  \(3\left(b^2+2a^2\right)\ge\left(b+2a\right)^2\)

2) Cho \(a,b,c\)là ba số dương thỏa mãn điều kiện   \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{1}{2}\).   Chứng minh rằng

                             \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\ge\sqrt{3}\)

Đáp án:

1) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hiển nhiên sau đây     \(2\left(a-b\right)^2\ge0\)

2) Từ bất đẳng thức đã chứng minh trong 1) suy ra    

                                                \(\sqrt{b^2+2a^2}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(b+2a\right)\)

                                                   \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{b+2a}{ab}\)

                                                    \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{bc+2ca}{abc}\)

Do đó                    \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{abc}\)

                             \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)  (1)

- Để ước lượng vế phải của (1), để ý đến giả thiết bài toán, ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Svac

                                                             \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Do đó                   \(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge4.\frac{1}{2}\)

Suy ra                                                          \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm     


Câu 7 (1 điểm):

Bình Định 2015 - 2016

Cho  \(a,b,c\)là ba số dương thỏa mãn điều kiện   \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng

                                                       \(\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}\ge6\)

Đáp án:

- Viết lại vế trái bất đẳng thức cần chứng minh thành

                         \(3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Svac        \(\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\alpha+\beta+\gamma}\)      (điều kiện \(\alpha,\beta,\gamma>0\)) ta có

                       \(3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3.\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b+c+c+a}\)

          hay         \(3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{27}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}\)  (1)

 và                   \(\left(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+b+c+c+a}\)

           hay      \(\left(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\right)\ge\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)  (2)

Cộng theo vế (1) và (2) suy ra đpcm


Câu 8 (1 điểm):

Bình Định 2014 - 2015

Cho      \(A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{121}}\)

và        \(B=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{35}}\).

Chứng minh rằng       \(B>A\)

Đáp án:

- Ta có    \(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{n-\left(n+1\right)}\), do đó

          \(A=\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+...+\sqrt{120}-\sqrt{121}}{-1}=\frac{1-11}{-1}=10\)

- Mặt khác 

            \(B=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{35}}\)

               \(=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+...+\frac{2}{\sqrt{35}+\sqrt{35}}\)

                  \(>\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{35}+\sqrt{36}}\)

                   \(=2\left(\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+...+\frac{\sqrt{35}-\sqrt{36}}{35-36}\right)\)

                     \(=\frac{2\left(1-6\right)}{-1}=10\)

Vì vậy \(B>A\)

                   

              


Câu 9 (1 điểm):

Bắc Giang 2015 - 2016

Cho \(x,y,z\)là ba số dương thỏa mãn điều kiện   \(xy+yz+zx=2016\). Chứng minh rằng

                                   \(\sqrt{\frac{yz}{x^2+2016}}+\sqrt{\frac{zx}{y^2+2016}}+\sqrt{\frac{xy}{z^2+2016}}\le\frac{3}{2}\)

Đáp án:

- Từ giả thiết  \(xy+yz+zx=2016\) suy ra   \(x^2+2016=x^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\) nên 

                           \(\sqrt{\frac{yz}{x^2+2016}}=\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{z}{x+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}\right)\)

- Làm tương tự đối với hai số hạng còn lại ở vế trái bất đẳng thức cần chứng minh rồi cộng theo vế ba bất đẳng thức nhận được ta có đpcm.

   


Câu 10 (1 điểm):

Bắc Giang 2014 - 2015

Cho \(a,b,c\)là ba số dương. Chứng minh rằng

                                      \(\frac{9a}{b+c}+\frac{25b}{c+a}+\frac{64c}{a+b}>30\)

Đáp án:

Biến đổi vế trái bất đẳng thức cần chứng minh thành

                           \(9\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+25\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+64\left(\frac{c}{a+b}+1\right)-98\)

                    \(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{9}{b+c}+\frac{25}{c+a}+\frac{64}{a+b}\right)-98\)

                    \(=\frac{1}{2}\left(b+c+c+a+a+b\right)\left(\frac{9}{b+c}+\frac{25}{c+a}+\frac{64}{a+b}\right)-98\)

                     \(\ge\frac{1}{2}\left(\sqrt{b+c}.\frac{3}{\sqrt{b+c}}+\sqrt{c+a}.\frac{5}{\sqrt{c+a}}+\sqrt{a+b}.\frac{8}{\sqrt{a+b}}\right)^2-98\)

                     \(=30\)

Suy ra           \(\frac{9a}{b+c}+\frac{25b}{c+a}+\frac{64c}{a+b}\ge30\)

Dấu bằng chỉ xảy ra khi 

                         \(\sqrt{b+c}:\frac{3}{\sqrt{b+c}}=\sqrt{c+a}:\frac{5}{\sqrt{c+a}}=\sqrt{a+b}:\frac{8}{\sqrt{a+b}}\)

                     \(\Leftrightarrow\frac{b+c}{3}=\frac{c+a}{5}=\frac{a+b}{8}\)

                     \(\Rightarrow\frac{b+c+c+a}{3+5}=\frac{a+b}{8}\Rightarrow a+b+2c=a+b\Rightarrow c=0\), trái giả thiết \(c>0\). Do đó 

                                                 \(\frac{9a}{b+c}+\frac{25b}{c+a}+\frac{64c}{a+b}>30\)


Câu 11 (1 điểm):

Hà Nội 2016 - 2017

Cho \(x,y>0\)thỏa mãn điều kiện  \(x-\sqrt{x+6}=\sqrt{y+6}-y\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

                                                                  \(P=x+y\)

Đáp án:

Từ giả thiết suy ra                        \(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)

                                                  \(\left(x+y\right)^2=\left(x+y\right)+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)

                        


Câu 12 (1 điểm):

Hải Phòng 2017-2018

1) Cho \(x,y>0\), chứng minh rằng   \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

2) Cho \(a,b,c\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện   \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=16\). Chứng minh rằng

                       \(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{a+3b+2c}+\frac{1}{2a+b+3c}\le\frac{8}{3}\)

 

Hướng dẫn giải:

Đáp án:

1) Theo Cô si ta có    \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)  và    \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\). Từ đó

                    \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\)   hay   \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y\).

  2) Chứng minh tương tự trên ta cũng được bất đẳng thức tương tự

                           \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(x=y=z\))

- Từ đó

       \(\frac{1}{3a+2b+c}=\frac{1}{a+b+a+b+a+c}\)

                                  \(\le\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

                                  \(\le\frac{1}{9}.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

     Hay    \(\frac{1}{3a+2b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\). Tương tự

                \(\frac{1}{a+3b+2c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{3}{b}+\frac{2}{c}\right)\)  và   \(\frac{1}{2a+b+3c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{3}{c}\right)\).

Cộng theo vế ba bất đẳng thức này và sử dụng giả thiết \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=16\) ta được đpcm

Link bài học:
Thảo luận
1

Bài 1: Căn thức và rút gọn biểu thức

 1. Bài giảng: Căn bậc hai

 2. Tài liệu: Căn bậc hai

 3. Căn bậc hai, căn bậc ba

 4. Rút gọn biểu thức - Cơ bản

 5. Rút gọn biểu thức - Nâng cao

 6. Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 7. Tài liệu: Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 8. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

 9. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 10. Phân tích đa thức thành nhân tử

 11. Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

 12. Rút gọn biểu thức có chứa căn

2

Bài 2: Phương trình

 1. Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 2. Tài liệu : Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 4. Tài liệu: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 5. Giải phương trình bậc nhất

 6. Giải phương trình bậc hai

 7. Phương trình quy về bậc hai

 8. Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 9. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 10. Phương trình vô tỷ

3

Bài 3: Hàm số

 1. Hàm số, Đồ thị

 2. Hàm số bậc nhất

 3. Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số

 4. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax^2 (a khác 0)

 5. Xác định tham số để điểm thuộc đồ thị

 6. Vị trí tương đối của các đồ thị hàm số

 7. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

 8. Một số bài tập tự luận

4

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

 4. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

 6. Một số bài tập tự luận

5

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

 1. Định lí Viet

 2. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 4. Lập phương trình bậc hai biết các nghiệm của nó.

 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

 6. Các biểu thức đối xứng của hai nghiệm phương trình bậc hai.

 7. Luyện tập chung

 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

 9. Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho

 10. Bắc Giang, Bắc Ninh, Bình Định, Bình Dương

 11. Cà Mau, Cần Thơ, Đắc Lắc, Đà Nẵng, Đồng Nai

 12. Hải Dương, Hà Nam, Hà Nội

 13. Hà Tĩnh, Hòa Bình, Hưng Yên, Hải Phòng

 14. Khánh Hòa, Kiên Giang, Kon Tum, Lạng Sơn, Lào Cai, Long An

 15. Tp Hồ Chí Minh, Thanh Hóa, Thái Bình, Thái Nguyên, Thừa Thiên Huế, Trà Vinh

 16. Nam Định, Ninh Bình, Nghệ An

 17. Phú Thọ, Quảng Bình, Quảng Ninh, Quảng Ngãi

6

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 2. Tài liệu: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 3. Toán chuyển động

 4. Toán năng suất, số lượng

 5. Toán làm chung làm riêng

 6. Toán có nội dung hình học

 7. Toán về phần trăm

 8. Một số dạng toán khác

7

Bài 7: Bất đẳng thức

 1. Bất đẳng thức

 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứng minh BĐT

 3. Bất đẳng thức Cô si (p.1)

 4. Bất đẳng thức Cô si (p.2)

 5. Bất đẳng thức Cô si (p3)

 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.1)

 7. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.2)

 8. Thanh Hóa, Quảng Bình, Nghệ An, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hỏa Bình

 9. Bình Định, Hà Tĩnh, Hà Nội, Hà Nam, Hải Phòng, Bắc Giang

8

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

 1. GTLN, GTBN của tam thức bậc hai

 2. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

 3. GTLN, GTNN (p1)

 4. GTLN,GTNN (p2)

 5. Yên Bái, Bà Rịa Vũng Tàu, Vĩnh Phúc, Tuyên Quang, Thái Bình, Quảng Ninh

 6. Quảng Ngãi, Phú Thọ, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hòa Bình, Hà Tĩnh, Ninh Bình, Bắc Ninh Thanh Hóa

 7. Bắc Giang, Hà Nam, Bà Rịa Vũng Tàu, Hà Nội, Hà Tĩnh, Hải Phòng, Đăc Lắc