Câu 1 (1 điểm):

Chứng minh rằng         a)      \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)  , \(\forall x,y,z>0\).

                                       b)      \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)  , \(\forall x,y,z>0\)

Đáp án:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được     \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) và  \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\).

Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên với nhau ta được   \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\) hay   \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y\).

b) Chứng minh tương tự bằng cách áp dụng bất đẳng thức Co si cho ba số dương..


Câu 2 (1 điểm):

Cho \(a,b,c\) là 3 số thực tùy ý và  \(x,y,z\) là 3 số dương. Chứng minh rằng:

a)             \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\);

b)         \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) .

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Hướng dẫn giải:

​a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

                  \(\left(a+b\right)^2=\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y}\right)^2\le\left(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\right)\left(x+y\right)\)

Từ đó                           \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\le\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\)   (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi      \(\dfrac{a}{\sqrt{x}}:\sqrt{x}=\dfrac{b}{\sqrt{y}}:\sqrt{y}\Leftrightarrow a:x=b:y\).

b) Tương tự, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ 3 số ta có

         \(\left(a+b+c\right)^2=\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{y}}.\sqrt{y}+\dfrac{c}{\sqrt{z}}.\sqrt{z}\right)^2\)

                               \(\le\left(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\right)\left(x+y+z\right)\)

Suy ra     \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\le\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\)  (đpcm). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

          \(\dfrac{a}{\sqrt{x}}:\sqrt{x}=\dfrac{b}{\sqrt{y}}:\sqrt{y}=\dfrac{c}{\sqrt{z}}:\sqrt{z}\Leftrightarrow a:x=b:y=c:z\).

Chú ý: Đặc biệt, nếu \(a=b=c=1\) và \(x,y,z>0\) ta có

               \(\dfrac{1^2}{x}+\dfrac{1^2}{y}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}\)  và    \(\dfrac{1^2}{x}+\dfrac{1^2}{y}+\dfrac{1^2}{z}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\)

hay              \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) và   \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\).

Đây chính là các bất đẳng thức trong câu 1.

            


Câu 3 (1 điểm):

Chứng minh rằng với mọi \(a,b,c>0\) luôn có    \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

Đáp án:

Ta có   \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)-3\)

                                                  \(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)

                                                  \(=\frac{1}{2}\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)

                                                 \(\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.3\sqrt[3]{\frac{1}{a+b}.\frac{1}{b+c}.\frac{1}{c+a}}-3=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(a+b=b+c=c+a\Leftrightarrow a=b=c\).

Cách khác: Áp dụng kết quả trong câu 2 ta có

     \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(c+a\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(c+a\right)}\)

                                                \(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)}\)

                                               \(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)      (1)

Mặt khác ta có

         \(\left(a+b+c\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{2}+\dfrac{b^2+c^2}{2}+\dfrac{c^2+a^2}{2}+2ab+2bc+2ca\)

                              \(\ge ab+bc+ca+2\left(ab+bc+ca\right)\)

                              \(=3\left(ab+bc+ca\right)\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra  \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\).

 

 


Câu 4 (1 điểm):

Cho \(a,b,c\) là ba số dương. Chứng minh rằng

                               \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Đáp án:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có

                 \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge a\) ;  \(\frac{b^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge b\)  ;  \(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi     \(\frac{a^2}{b+c}=\frac{b+c}{4},\frac{b^2}{c+a}=\frac{c+a}{4},\frac{c^2}{a+b}=\frac{a+b}{4}\)

hay \(\left\{{}\begin{matrix}b+c=2a\\c+a=2b\\a+b=2c\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=3a\\a+b+c=3c\\a+b+c=3c\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Cách khác:    Áp dụng kết quả trong câu 2 ta có

          \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}=\dfrac{a+b+c}{2}\) (đpcm)


Câu 5 (1 điểm):

Cho \(a,b,c\)là ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng \(b+c\ge16abc\)

Đáp án:

Theo bất đẳng thức Cô si ta có   \(b+c\ge2\sqrt{bc}\Rightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc\) (1)   và

                               \(1=a+b+c\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\Rightarrow1\ge4a\left(b+c\right)\) (2)

Nhân theo vế (1) và (2) ta được  \(\left(b+c\right)^2\ge16abc\left(b+c\right)\Leftrightarrow b+c\ge16abc\)(đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}b=c\\a=b+c\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=c=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

Cách khác:  Theo Cô si ta có \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) nên để chứng minh  \(b+c\ge16abc\)  ta  chỉ cần chứng minh  \(2\sqrt{bc}\ge16abc\)  hay  \(bc\ge64a^2b^2c^2\) hay  \(1\ge64a^2bc\)  (*)

Mà              \(1=a+b+c=\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+b+c\ge4\sqrt[4]{\dfrac{a^2bc}{4}}\)

                \(\Leftrightarrow1\ge4^3a^2bc\Leftrightarrow1\ge64a^2bc\)   (*) ,     (đpcm)


Câu 6 (1 điểm):

Cho \(x,y,z\)là ba số dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng

                   \(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le3\sqrt{5}\)

Đáp án:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

                       \(\sqrt{5\left(4x+1\right)}+\sqrt{5\left(4y+1\right)}+\sqrt{5\left(4z+1\right)}\le15\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có

               \(\sqrt{5\left(4x+1\right)}\le\frac{5+4x+1}{2}=3+2x\)

Tương tự   \(\sqrt{5\left(4y+1\right)}\le3+2y;\sqrt{5\left(4z+1\right)}\le3+2z\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức nhận được ta có

       \(\sqrt{5\left(4x+1\right)}+\sqrt{5\left(4y+1\right)}+\sqrt{5\left(4z+1\right)}\le9+2\left(x+y+z\right)=15\) (do giả thiết \(x,y,z\) có tổng bằng 1.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}4x+1=4y+1=4z+1=5\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

 


Câu 7 (1 điểm):

Cho \(x,y,z\) là ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng 

                               \(\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)\ge64\)

Đáp án:

Sử dụng giả thiết \(x+y+z=1\) và áp dụng bất đẳng thức Cô si cho bốn số dương ta có 

                          \(1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}=\frac{x+x+y+z}{x}\ge\frac{4\sqrt[4]{x^2yz}}{x}\)

Tương tự       \(1+\frac{1}{y}\ge\frac{4\sqrt[4]{xy^2z}}{y}\)  và    \(1+\frac{1}{z}\ge\frac{4\sqrt[4]{xyz^2}}{z}\).

Nhân theo vế ba bất đẳng thức vừa nhận được suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y=z=\frac{1}{3}\)


Câu 8 (1 điểm):

Cho \(x,y,z\) là ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng

                            \(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\)

Đáp án:

Đoán nhận đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau tức là \(x=y=z=\frac{1}{3}\), khi đó  \(x+y=y+z=z+x=\frac{2}{3}\). Vì vậy ta áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương \(x+y\) và  \(\frac{2}{3}\) , ta có

                                                \(\sqrt{\left(x+y\right).\frac{2}{3}}\le\frac{x+y+\frac{2}{3}}{2}\)

Làm tương tự với hai cặp số  \(y+z;\frac{2}{3}\) và  \(z+x;\frac{2}{3}\) rồi cộng theo vế ba bất đẳng thức nhận được ta có

                   \(\sqrt{\frac{2}{3}}\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)\le2\)

từ đó    \(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)


Câu 9 (1 điểm):

Cho \(x,y\)là hai số không âm thỏa mãn điều kiện  \(x^3+y^3=2\). Chứng minh rằng  \(x^2+y^2\le2\)

Đáp án:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta có    

                         \(x^3+x^3+1\ge3\sqrt[3]{x^3.x^3.1}\Leftrightarrow2x^3+1\ge3x^2\), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=1\).

Tương tự,  \(2y^3+1\ge3y^2\). Cộng theo vế hai bất đẳng thức nhận được ta có

                                         \(2\left(x^3+y^3\right)+2\ge3\left(x^2+y^2\right)\)

Sử dụng giả thiết  \(x^3+y^3=2\) suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi      \(x=y=1\)


Câu 10 (1 điểm):

Cho \(x,y\) là hai số không âm thỏa mãn điều kiện \(x^2+y^2=1\). Chứng minh rằng  \(x^3+y^3\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Đáp án:

Ta có   \(\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)=x^4+y^4+xy\left(x^2+y^2\right)\ge x^4+y^4+xy.2xy=\left(x^2+y^2\right)^2\)

nên  sử dụng giả thiết  \(x^2+y^2=1\) suy ra      \(x^3+y^3\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y}=\frac{1}{x+y}\) .

Vì vậy để chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh, chỉ cần chứng minh   \(x+y\le\sqrt{2}\) . Để làm điều này ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki  ta có  \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=2.1\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)  (đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Cách khác: Theo giả thiết   \(1=x2+y2\), do đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có      

            \(1=\left(x^2+y^2\right)^2=\left(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3}\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)

Suy ra      \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{x+y}\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)^2\ge\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge\dfrac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3\ge\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)  (đpcm)


Câu 11 (1 điểm):

Cho \(x,y\) là hai số dương thỏa mãn điều kiện  \(x^2+y^2=1\). Chứng minh rằng

                      \(\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)\ge4+3\sqrt{2}\)

Đáp án:

Ta có    \(\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)=2+\left(x+y\right)+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

\(=\left(x+\frac{1}{2x}\right)+\left(y+\frac{1}{2y}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+2\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được  \(x+\frac{1}{2x}\ge\sqrt{2};y+\frac{1}{2y}\ge\sqrt{2}\);  \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)  vì vậy

\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}\). Do đó 

                      \(\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)\ge4+2\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\)

Do đó để chứng minh bất đẳng thức trong đề bài, chỉ còn phải chứng minh  \(\frac{1}{\sqrt{xy}}\ge\sqrt{2}\). Điều này tương đương với

\(\sqrt{xy}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow2xy\le1=x^2+y^2\), đúng, đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

 

 

 

Link bài học:
Thảo luận
1

Bài 1: Căn thức và rút gọn biểu thức

 1. Bài giảng: Căn bậc hai

 2. Tài liệu: Căn bậc hai

 3. Căn bậc hai, căn bậc ba

 4. Rút gọn biểu thức - Cơ bản

 5. Rút gọn biểu thức - Nâng cao

 6. Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 7. Tài liệu: Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 8. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

 9. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 10. Phân tích đa thức thành nhân tử

 11. Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

 12. Rút gọn biểu thức có chứa căn

2

Bài 2: Phương trình

 1. Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 2. Tài liệu : Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 4. Tài liệu: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 5. Giải phương trình bậc nhất

 6. Giải phương trình bậc hai

 7. Phương trình quy về bậc hai

 8. Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 9. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 10. Phương trình vô tỷ

3

Bài 3: Hàm số

 1. Hàm số, Đồ thị

 2. Hàm số bậc nhất

 3. Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số

 4. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax^2 (a khác 0)

 5. Xác định tham số để điểm thuộc đồ thị

 6. Vị trí tương đối của các đồ thị hàm số

 7. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

 8. Một số bài tập tự luận

4

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

 4. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

 6. Một số bài tập tự luận

5

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

 1. Định lí Viet

 2. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 4. Lập phương trình bậc hai biết các nghiệm của nó.

 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

 6. Các biểu thức đối xứng của hai nghiệm phương trình bậc hai.

 7. Luyện tập chung

 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

 9. Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho

 10. Bắc Giang, Bắc Ninh, Bình Định, Bình Dương

 11. Cà Mau, Cần Thơ, Đắc Lắc, Đà Nẵng, Đồng Nai

 12. Hải Dương, Hà Nam, Hà Nội

 13. Hà Tĩnh, Hòa Bình, Hưng Yên, Hải Phòng

 14. Khánh Hòa, Kiên Giang, Kon Tum, Lạng Sơn, Lào Cai, Long An

 15. Tp Hồ Chí Minh, Thanh Hóa, Thái Bình, Thái Nguyên, Thừa Thiên Huế, Trà Vinh

 16. Nam Định, Ninh Bình, Nghệ An

 17. Phú Thọ, Quảng Bình, Quảng Ninh, Quảng Ngãi

6

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 2. Tài liệu: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 3. Toán chuyển động

 4. Toán năng suất, số lượng

 5. Toán làm chung làm riêng

 6. Toán có nội dung hình học

 7. Toán về phần trăm

 8. Một số dạng toán khác

7

Bài 7: Bất đẳng thức

 1. Bất đẳng thức

 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứng minh BĐT

 3. Bất đẳng thức Cô si (p.1)

 4. Bất đẳng thức Cô si (p.2)

 5. Bất đẳng thức Cô si (p3)

 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.1)

 7. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.2)

 8. Thanh Hóa, Quảng Bình, Nghệ An, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hỏa Bình

 9. Bình Định, Hà Tĩnh, Hà Nội, Hà Nam, Hải Phòng, Bắc Giang

8

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

 1. GTLN, GTBN của tam thức bậc hai

 2. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

 3. GTLN, GTNN (p1)

 4. GTLN,GTNN (p2)

 5. Yên Bái, Bà Rịa Vũng Tàu, Vĩnh Phúc, Tuyên Quang, Thái Bình, Quảng Ninh

 6. Quảng Ngãi, Phú Thọ, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hòa Bình, Hà Tĩnh, Ninh Bình, Bắc Ninh Thanh Hóa

 7. Bắc Giang, Hà Nam, Bà Rịa Vũng Tàu, Hà Nội, Hà Tĩnh, Hải Phòng, Đăc Lắc