Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 7: Bất đẳng thức

Đề bài

Câu 1

Chứng minh rằng         a)      \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)  , \(\forall x,y,z>0\).

                                       b)      \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)  , \(\forall x,y,z>0\)

Đáp án:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được     \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) và  \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\).

Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên với nhau ta được   \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\) hay   \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y\).

b) Chứng minh tương tự bằng cách áp dụng bất đẳng thức Co si cho ba số dương..

Câu 1

Cho \(a,b,c\) là 3 số thực tùy ý và  \(x,y,z\) là 3 số dương. Chứng minh rằng:

a)             \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\);

b)         \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) .

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Hướng dẫn giải:

​a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

                  \(\left(a+b\right)^2=\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y}\right)^2\le\left(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\right)\left(x+y\right)\)

Từ đó                           \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\le\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\)   (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi      \(\dfrac{a}{\sqrt{x}}:\sqrt{x}=\dfrac{b}{\sqrt{y}}:\sqrt{y}\Leftrightarrow a:x=b:y\).

b) Tương tự, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ 3 số ta có

         \(\left(a+b+c\right)^2=\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{y}}.\sqrt{y}+\dfrac{c}{\sqrt{z}}.\sqrt{z}\right)^2\)

                               \(\le\left(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\right)\left(x+y+z\right)\)

Suy ra     \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\le\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\)  (đpcm). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

          \(\dfrac{a}{\sqrt{x}}:\sqrt{x}=\dfrac{b}{\sqrt{y}}:\sqrt{y}=\dfrac{c}{\sqrt{z}}:\sqrt{z}\Leftrightarrow a:x=b:y=c:z\).

Chú ý: Đặc biệt, nếu \(a=b=c=1\) và \(x,y,z>0\) ta có

               \(\dfrac{1^2}{x}+\dfrac{1^2}{y}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}\)  và    \(\dfrac{1^2}{x}+\dfrac{1^2}{y}+\dfrac{1^2}{z}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\)

hay              \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) và   \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\).

Đây chính là các bất đẳng thức trong câu 1.

            

Câu 1

Chứng minh rằng với mọi \(a,b,c>0\) luôn có    \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

Đáp án:

Ta có   \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)-3\)

                                                  \(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)

                                                  \(=\frac{1}{2}\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)

                                                 \(\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.3\sqrt[3]{\frac{1}{a+b}.\frac{1}{b+c}.\frac{1}{c+a}}-3=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(a+b=b+c=c+a\Leftrightarrow a=b=c\).

Cách khác: Áp dụng kết quả trong câu 2 ta có

     \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(c+a\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(c+a\right)}\)

                                                \(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)}\)

                                               \(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)      (1)

Mặt khác ta có

         \(\left(a+b+c\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{2}+\dfrac{b^2+c^2}{2}+\dfrac{c^2+a^2}{2}+2ab+2bc+2ca\)

                              \(\ge ab+bc+ca+2\left(ab+bc+ca\right)\)

                              \(=3\left(ab+bc+ca\right)\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra  \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\).

 

 

Câu 1

Cho \(a,b,c\) là ba số dương. Chứng minh rằng

                               \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Đáp án:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có

                 \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge a\) ;  \(\frac{b^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge b\)  ;  \(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi     \(\frac{a^2}{b+c}=\frac{b+c}{4},\frac{b^2}{c+a}=\frac{c+a}{4},\frac{c^2}{a+b}=\frac{a+b}{4}\)

hay \(\left\{{}\begin{matrix}b+c=2a\\c+a=2b\\a+b=2c\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=3a\\a+b+c=3c\\a+b+c=3c\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Cách khác:    Áp dụng kết quả trong câu 2 ta có

          \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}=\dfrac{a+b+c}{2}\) (đpcm)

Câu 1

Cho \(a,b,c\)là ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng \(b+c\ge16abc\)

Đáp án:

Theo bất đẳng thức Cô si ta có   \(b+c\ge2\sqrt{bc}\Rightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc\) (1)   và

                               \(1=a+b+c\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\Rightarrow1\ge4a\left(b+c\right)\) (2)

Nhân theo vế (1) và (2) ta được  \(\left(b+c\right)^2\ge16abc\left(b+c\right)\Leftrightarrow b+c\ge16abc\)(đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}b=c\\a=b+c\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=c=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

Cách khác:  Theo Cô si ta có \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) nên để chứng minh  \(b+c\ge16abc\)  ta  chỉ cần chứng minh  \(2\sqrt{bc}\ge16abc\)  hay  \(bc\ge64a^2b^2c^2\) hay  \(1\ge64a^2bc\)  (*)

Mà              \(1=a+b+c=\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+b+c\ge4\sqrt[4]{\dfrac{a^2bc}{4}}\)

                \(\Leftrightarrow1\ge4^3a^2bc\Leftrightarrow1\ge64a^2bc\)   (*) ,     (đpcm)

Câu 1

Cho \(x,y,z\)là ba số dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng

                   \(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le3\sqrt{5}\)

Đáp án:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

                       \(\sqrt{5\left(4x+1\right)}+\sqrt{5\left(4y+1\right)}+\sqrt{5\left(4z+1\right)}\le15\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có

               \(\sqrt{5\left(4x+1\right)}\le\frac{5+4x+1}{2}=3+2x\)

Tương tự   \(\sqrt{5\left(4y+1\right)}\le3+2y;\sqrt{5\left(4z+1\right)}\le3+2z\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức nhận được ta có

       \(\sqrt{5\left(4x+1\right)}+\sqrt{5\left(4y+1\right)}+\sqrt{5\left(4z+1\right)}\le9+2\left(x+y+z\right)=15\) (do giả thiết \(x,y,z\) có tổng bằng 1.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}4x+1=4y+1=4z+1=5\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

 

Câu 1

Cho \(x,y,z\) là ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng 

                               \(\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)\ge64\)

Đáp án:

Sử dụng giả thiết \(x+y+z=1\) và áp dụng bất đẳng thức Cô si cho bốn số dương ta có 

                          \(1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}=\frac{x+x+y+z}{x}\ge\frac{4\sqrt[4]{x^2yz}}{x}\)

Tương tự       \(1+\frac{1}{y}\ge\frac{4\sqrt[4]{xy^2z}}{y}\)  và    \(1+\frac{1}{z}\ge\frac{4\sqrt[4]{xyz^2}}{z}\).

Nhân theo vế ba bất đẳng thức vừa nhận được suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Câu 1

Cho \(x,y,z\) là ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng

                            \(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\)

Đáp án:

Đoán nhận đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau tức là \(x=y=z=\frac{1}{3}\), khi đó  \(x+y=y+z=z+x=\frac{2}{3}\). Vì vậy ta áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương \(x+y\) và  \(\frac{2}{3}\) , ta có

                                                \(\sqrt{\left(x+y\right).\frac{2}{3}}\le\frac{x+y+\frac{2}{3}}{2}\)

Làm tương tự với hai cặp số  \(y+z;\frac{2}{3}\) và  \(z+x;\frac{2}{3}\) rồi cộng theo vế ba bất đẳng thức nhận được ta có

                   \(\sqrt{\frac{2}{3}}\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)\le2\)

từ đó    \(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Câu 1

Cho \(x,y\)là hai số không âm thỏa mãn điều kiện  \(x^3+y^3=2\). Chứng minh rằng  \(x^2+y^2\le2\)

Đáp án:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta có    

                         \(x^3+x^3+1\ge3\sqrt[3]{x^3.x^3.1}\Leftrightarrow2x^3+1\ge3x^2\), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=1\).

Tương tự,  \(2y^3+1\ge3y^2\). Cộng theo vế hai bất đẳng thức nhận được ta có

                                         \(2\left(x^3+y^3\right)+2\ge3\left(x^2+y^2\right)\)

Sử dụng giả thiết  \(x^3+y^3=2\) suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi      \(x=y=1\)

Câu 1

Cho \(x,y\) là hai số không âm thỏa mãn điều kiện \(x^2+y^2=1\). Chứng minh rằng  \(x^3+y^3\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Đáp án:

Ta có   \(\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)=x^4+y^4+xy\left(x^2+y^2\right)\ge x^4+y^4+xy.2xy=\left(x^2+y^2\right)^2\)

nên  sử dụng giả thiết  \(x^2+y^2=1\) suy ra      \(x^3+y^3\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y}=\frac{1}{x+y}\) .

Vì vậy để chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh, chỉ cần chứng minh   \(x+y\le\sqrt{2}\) . Để làm điều này ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki  ta có  \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=2.1\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)  (đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Cách khác: Theo giả thiết   \(1=x2+y2\), do đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có      

            \(1=\left(x^2+y^2\right)^2=\left(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3}\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)

Suy ra      \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{x+y}\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)^2\ge\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge\dfrac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3\ge\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)  (đpcm)

Câu 1

Cho \(x,y\) là hai số dương thỏa mãn điều kiện  \(x^2+y^2=1\). Chứng minh rằng

                      \(\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)\ge4+3\sqrt{2}\)

Đáp án:

Ta có    \(\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)=2+\left(x+y\right)+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

\(=\left(x+\frac{1}{2x}\right)+\left(y+\frac{1}{2y}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+2\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được  \(x+\frac{1}{2x}\ge\sqrt{2};y+\frac{1}{2y}\ge\sqrt{2}\);  \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)  vì vậy

\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}\). Do đó 

                      \(\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)\ge4+2\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\)

Do đó để chứng minh bất đẳng thức trong đề bài, chỉ còn phải chứng minh  \(\frac{1}{\sqrt{xy}}\ge\sqrt{2}\). Điều này tương đương với

\(\sqrt{xy}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow2xy\le1=x^2+y^2\), đúng, đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

 

 

 

Bài làm

Hãy đăng nhập để làm bài!

Đăng nhập

00:00:00