Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 7: Bất đẳng thức

Đề bài

Câu 1

Chứng minh rằng           \(x+\dfrac{1}{x-1}\ge3,\forall x>1\)

Đáp án: Đặt \(t=x-1\) thì \(x=t+1\) và \(t>0\). Ta có 

                   \(x+\dfrac{1}{x-1}=1+t+\dfrac{1}{t}\ge1+2.\sqrt{t.\dfrac{1}{t}}=3\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(t=\dfrac{1}{t}=1\Leftrightarrow x-1=1\Leftrightarrow x=2\) .

 

Câu 1

Chứng minh rằng

                            \(2x+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}\ge1,\forall x>-1\)

 

Bài giải:

Đặt \(x+1=t\) thì \(t>0\) và  \(x=-1+t\). Ta có

           \(2x+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}=2\left(-1+t\right)+\dfrac{1}{t^2}=-2+t+t+\dfrac{1}{t^2}\)

                                                                       \(\ge-2+3\sqrt[3]{t.t.\dfrac{1}{t^2}}=-2+3=1\)  

     (đpcm)

Câu 1

Cho \(x>0\). Chứng minh rằng   

                                       \(x+\dfrac{2}{2x+1}\ge\dfrac{3}{2}\)

 

Đáp án:

Đặt  \(2x+1=t\) thì \(t>0\) và \(x=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{t}{2}\) do đó áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

                  \(x+\dfrac{2}{2x+1}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{t}{2}+\dfrac{2}{t}\ge-\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{3}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(\dfrac{t}{2}=\dfrac{2}{t}=1\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2}=\dfrac{1}{2}\)

Câu 1

Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh rằng  

                           \(\sqrt{\dfrac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{c^3}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{a^3}}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\)

Hướng dẫn

Đặt \(x=\sqrt{\dfrac{a}{b}},y=\sqrt{\dfrac{b}{c}},z=\sqrt{\dfrac{c}{a}}\) thì  \(x,y,z>0\) và \(xyz=1\) . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành      \(x^3+y^3+z^3\ge x^2+y^2+z^2\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương ta có

                \(x^3+x^3+1^3\ge3\sqrt[3]{x^3.x^3.1^3}\) hay  \(2x^3+1\ge3x^2\).

Tương tự, \(2y^3+1\ge3y^2;2z^3+1\ge3z^2\). Cộng theo vế các bất đẳng thức nhận được ta có            \(2\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

                                                      \(=2\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)

                                                     \(\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\sqrt[3]{1}\)

Do đó         \(x^3+y^3+z^3\ge x^2+y^2+z^2\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  

                                       \(x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c>0\)

 

Câu 1

Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh rằng 

                                 \(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\le\dfrac{a+b+c}{2}\)

Hướng dẫn

Có     \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow\dfrac{ab}{a+b}\le\dfrac{a+b}{4}\)

Câu 1

Cho \(a,b,c\) là ba số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng

                             \(\dfrac{1}{a^2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^2\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^2\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)

Hướng dẫn

Do giả thiết  \(abc=1\) nên

            \(\dfrac{1}{a^2\left(b+c\right)}=\dfrac{bc}{a^2bc\left(b+c\right)}=\dfrac{bc}{a\left(b+c\right)}=\dfrac{bc}{ab+ac}\)

Đặt       \(x=bc,y=ca,z=ab\) thì \(x,y,z>0\) và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành bất đẳng thức quen thuộc 

                                  \(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)

             

Câu 1

Cho \(x,y,z\) là ba số dương . Chứng minh rằng

                                   \(x^3+y^3+z^3\ge x^2y+y^2z+z^2x\)

Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương   \(x^3,x^3,y^3\)

Câu 1

Cho \(a,b,c\) là ba số dương thỏa mãn  \(abc\ge1\). Chứng minh rằng

                            \(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)

Đáp án

Với   \(x,y>0\)  đã cho, áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

                         \(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{1+b}{x}+\dfrac{1+c}{y}\ge\dfrac{3a}{\sqrt[3]{xy}}\)

Kỳ vọng rằng bất đẳng thức cần chứng minh trở thành đẳng thức khi \(a=b=c=1\), ta chọn \(x>0\) sao cho \(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}=\dfrac{1+b}{x}=\dfrac{1+c}{y}\) xảy ra khi \(a=b=c=1\), tức là     \(\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{x}=\dfrac{2}{y}\Leftrightarrow x=y=8\). Vì vậy

                       \(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{1+b}{8}+\dfrac{1+c}{8}\ge\dfrac{3a}{4}\) 

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng theo vế ba bất đẳng thức này ta có

     \(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{a+b+c}{4}\ge\)

                                                          \(\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)

Hay   \(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{4}\)

Mà    \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\ge3\) . Suy ra

                        \(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)

Câu 1

Cho  \(a,b>0\) thỏa mãn điều kiện   \(ab\ge1\).

Chứng minh rằng             \(\dfrac{a^3}{1+b}+\dfrac{b^3}{1+a}\ge1\)

 

Đáp án

Do giả thiết  \(1\le ab\)  nên \(1\le\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\). Vì vậy ta tìm cách ước lượng giảm bậc của biến \(a,b\) từ 3 xuống 1, tức là phải dùng Cô si cho 3 số dương.

Áp dụng Cô si cho 3 số dương     \(\dfrac{a^3}{1+b};\dfrac{1+b}{x};y\) ta có

                           \(\dfrac{a^3}{1+b}+\dfrac{1+b}{x}+y\ge3a\sqrt[3]{\dfrac{y}{x}}\)   (1)

Kì vọng rằng bất đẳng thức cần chứng minh trở thành đẳng thức khi \(a=b=1\) nghĩa là

khi \(a=b=1\) phải có    \(\dfrac{a^3}{1+b}=\dfrac{1+b}{x}=y\)  hay   \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{x}=y\Leftrightarrow x=4;y=\dfrac{1}{2}\)

(1) trở thành     

                              \(\dfrac{a^3}{1+b}+\dfrac{1+b}{4}+\dfrac{1}{2}\ge3a\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{3a}{2}\) 

Tương tự              \(\dfrac{b^3}{1+a}+\dfrac{1+a}{4}+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{3b}{2}\) 

Cộng theo vế hai bất đẳng thức này ta suy ra  

                       \(\dfrac{a^3}{1+b}+\dfrac{b^3}{1+a}+\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{5}{4}\left(a+b\right)\ge\dfrac{5}{2}\sqrt{ab}\ge\dfrac{5}{2}\)

    Do đó           \(\dfrac{a^3}{1+b}+\dfrac{b^3}{1+a}\ge1\)

Bài làm

Hãy đăng nhập để làm bài!

Đăng nhập

00:00:00