Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

Đề bài

Câu 1

Bắc Giang 2017 - 2018

Cho \(a,b\) là hai số dương thỏa mãn \(2a+3b\le4\). Tìm GTNN của biểu thức 

                        \(P=\frac{2002}{a}+\frac{2017}{b}+2996a-5501b\)

Đáp án:

- Viết lại biểu thức đã cho dưới dạng

     \(P=2002\left(\frac{1}{a}+4a\right)+2017\left(b+\frac{1}{b}\right)+\left(2996a-8008a\right)-\left(5501b+2017b\right)\)

                    \(P\ge2002.4+2017.2-5012a-7518b\)

                    \(P\ge12042-2056\left(2a+3b\right)\)

                    \(P\ge12042-2056.4\)

                   \(P\ge3818\)

GTNN =  \(3818\) đạt khi \(a=\frac{1}{2},b=1\)

Câu 1

Hà Nam 2017 - 2018

Cho \(a,b,c\)là ba số không âm thỏa mãn điều kiện \(ab+bc+ca=3\)và \(a\ge c\). Tìm GTNN của biểu thức

                                        \(P=\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{2}{\left(b+1\right)^2}+\frac{3}{\left(c+1\right)^2}\)

Đáp án:

Từ giả thiết  \(a\ge c\ge0\)suy ra    \(\frac{1}{\left(c+1\right)^2}\ge\frac{1}{\left(a+1\right)^2}\), do đó

                                            \(P\ge2\left(\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2}\right)\)

                                                  \(\ge2\left(\frac{1}{a+1}.\frac{1}{b+1}+\frac{1}{b+1}.\frac{1}{c+1}+\frac{1}{c+1}.\frac{1}{a+1}\right)\)

                                             \(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(a+b+c+3\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)      (1)

Lại theo giả thiết  \(ab+bc+ca=3\) suy ra

                     \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\Leftrightarrow a+b+c\ge3\)

          và        \(3=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{ab.bc.ca}\Rightarrow abc\le1\le\frac{a+b+c}{3}\)

          và  \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=abc+\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)+1\)

                                                                        \(=abc+\left(a+b+c\right)+4\)

                                                                          \(\le\frac{a+b+c}{3}+\left(a+b+c\right)+4\)

                \(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\le\frac{4}{3}\left(a+b+c+3\right)\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra     \(P\ge\frac{3}{2}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b=c=1\). Vậy   GTNN = \(\frac{3}{2}\).

Câu 1

Bà rịa Vũng Tàu 2017 - 2018

Cho \(a,b\)là hai số thực tùy ý sao cho phương trình   \(4x^2-4ax-b^2+2=0\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\)

Tìm GTNN của biểu thức   \(P=\left(x_1+x_2\right)^2+4b\left(x_1+x_2\right)-8x_1x_2+\frac{1+2b\left(x_1+x_2\right)}{a^2}\)

Đáp án:

- Điều kiện có nghiệm    \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2\).

- Sử dụng định lí Viet ta tính được    

                                     \(P=a^2-ab+2b^2-4+\frac{1-2ab}{a^2}\)

    Viết lại \(P\) dưới dạng    

                                       \(P=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\left(b-\frac{1}{a}\right)^2-4\)

                                            \(\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)-4\)

                                            \(\ge\frac{1}{2}.2-4\)

                                       \(P\ge-3\)

GTNN = -3 đạt khi  \(a=b=1\) hoặc \(a=b=-1\).

                                          

Câu 1

Hà Nội 2016 - 2017

Cho \(x,y>0\)thỏa mãn điều kiện  \(x-\sqrt{x+6}=\sqrt{y+6}-y\). Tìm GTLN và GTNN của biểu  \(P=x+y\)

Đáp án:

Từ giả thiết suy ra                        \(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)     (*)

                                                  \(\left(x+y\right)^2=\left(x+y\right)+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)

                                                   \(P^2-P-12=2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)  (1)

a) Vì    \(\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\ge0\) nên       \(P^2-P-12\ge0\)

                                                                         \(\left(P-4\right)\left(P+3\right)\ge0\)   (**)

Do (*) suy ra   \(P\ge0\) nên  (**) suy ra    \(P-4\ge0\Leftrightarrow P\ge4\). Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+6\right)\left(y+6\right)=0\\x+y=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(-6;10\right),\left(10;-6\right)\right\}\)

 

GTNN = 4.

b) Vì      \(2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\le x+6+y+6=P+12\) nên (1) suy ra

                                                         \(P^2-P-12\le P+12\)

                          \(P^2-2P-24\le0\Leftrightarrow\left(P-6\right)\left(P+4\right)\le0\Leftrightarrow P-6\le0\Leftrightarrow P\le6\)

\(P=6\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+6=y+6\\x+y=6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=y=3\)

Vậy   GTLN = 6.

Câu 1

Hà Nội 2015 - 2016

Cho \(a,b\)là hai số không âm thay đổi luôn thỏa mãn \(a^2+b^2=4\). Tìm GTLN của biểu thức

                                                                 \(M=\frac{ab}{a+b+2}\)

Đáp án:

Sử dụng giả thiết  \(a^2+b^2=4\) có thể rút gọn \(M\) như sau

                  \(M=\frac{ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)}{2\left(a+b+2\right)}=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{2\left(a+b+2\right)}=\frac{a+b-2}{2}\)

Mặt khác, theo Bunhiacopxki ta có

                        \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)=8\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)

Do đó                  \(M\le\sqrt{2}-1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(a=b=\sqrt{2}\).

Vậy GTLN = \(\sqrt{2}-1\) 

Câu 1

Hà Nội 2014 - 2015

Cho \(a,b,c\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện     \(a+b+c=2\). Tìm GTLN của biểu thức

                                                     \(Q=\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ca}+\sqrt{2c+ab}\)

Đáp án:

- Do giả thiết   \(a+b+c=2\) nên  

                     \(\sqrt{2a+bc}=\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{2a+b+c}{2}\)

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng theo vế ba bất đẳng thức nhận được ta có

                       \(Q\le\frac{2a+b+c}{2}+\frac{2b+c+a}{2}+\frac{2c+a+b}{2}=2\left(a+b+c\right)=4\)

Hơn nữa    \(Q=4\Leftrightarrow a+b+c=2\) và  \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=a+c\\b+c=b+a\\c+a=c+b\end{matrix}\right.\)   hay    \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

GTLN = 4

Câu 1

Hà Tĩnh 2015 - 2016

Cho ba số \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện    \(a^2+b^2+c^2=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

                                                       \(F=ab+bc+2ca\)

Đáp án:

Ta có               \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b+c\right)^2\ge0\)

.                                           \(1+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

                                                          \(ab+bc+ca\ge-\frac{1}{2}\) (1)

Mặt khác                        \(b^2+\left(a+c\right)^2\ge0\)

suy ra                              \(b^2+a^2+c^2+2ac\ge0\)

                                         \(1+2ac\ge0\Rightarrow ac\ge-\frac{1}{2}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra   \(F\ge-1\)

Đẳng thức \(F=-1\) chỉ xảy ra khi

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=a+c=b=0\\a^2+b^2+c^2=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0;a=\dfrac{1}{\sqrt{2}};c=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\\b=0;a=\dfrac{-1}{\sqrt{2}};c=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)

 Vậy  GTNN =  -1                                   

                     

Câu 1

Hải Phòng  2016 - 2017

1) Chứng minh rằng        \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9,\left(\forall a,b,c>0\right)\)

2)  Cho \(a,b,c\)là ba số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện  \(a+b+c=1\) . Tìm GTNN của biểu thức

                                         \(P=\frac{9}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\)

Đáp án:

1) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho \(a,b,c\) và cho \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b=c\).

 Chú ý rằng bất đẳng thức vừa chứng minh có thể viết lại dưới dạng   \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\).

2)  Chú ý rằng       \(\frac{9}{2}=\frac{27}{6}=\frac{26}{6}+\frac{1}{6}=\frac{13}{3}+\frac{1}{6}\) nên có thể viết lại \(P\) dưới dạng

                      \(P=\frac{13}{3\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\)

                            \(\ge\frac{13}{3\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{6\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\)

                            \(=\frac{13}{6}\left(\frac{2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)\)

Do đó                  \(P\ge\frac{13}{6}\left(\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)\)

Theo 1) thì         \(\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{9}{2\left(ab+bc+ca\right)+a^2+b^2+c^2}\)

   hay                  \(\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{9}{1^2}=9\)

Từ đó                \(P\ge\frac{13}{6}.9=\frac{39}{2}\) . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(a=b=c=\frac{1}{3}\).

Vậy GTNN =  \(\frac{39}{2}\)

Câu 1

Đắc Lắc  2014 - 2015

Tìm GTNN của biểu thức       \(A=4x+\frac{1}{4x}-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}+2016\)  (vói \(x>0\))

Đáp án:

Theo Cô si       \(4x+\frac{1}{4x}\ge2\)  , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(4x=\frac{1}{4x}=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)). Do đó

                                         \(A\ge2-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}+2016\)

                                        \(A\ge4-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}+2014\)

                                        \(A\ge\frac{4x-4\sqrt{x}+1}{x+1}+2014=\frac{\left(2\sqrt{x}-1\right)^2}{x+1}+2014\ge2014\)

Hơn nữa    \(A=2014\) khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{4}\\2\sqrt{x}-1=0\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\) .

Vậy  GTNN  =  2014

Câu 1

Bà rịa Vũng Tàu 2015 - 2016

Cho \(x,y\)là hai số thỏa mãn \(x\ge2y>0\). Tìm GTNN của biểu thức

                                                                                        \(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}\)

Đáp án:

Ta có                 \(P=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{x^2-2xy}{xy}=\frac{3x^2+x^2+4y^2}{4xy}+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                               \(=\frac{3x^2+x^2+4y^2}{4xy}+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                                 \(=\frac{3x^2}{4xy}+\frac{x^2+4y^2}{4xy}+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                                   \(=\frac{3}{4}.\frac{x}{y}+\frac{\left(x-2y\right)^2+4xy}{4xy}+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                                    \(=\frac{3}{4}.\frac{x}{y}+\frac{\left(x-2y\right)^2}{4xy}+4+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                                   \(\ge\frac{3}{4}.2+0+4+0\)

                \(P\ge\frac{11}{2}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(x=2y\).

Vậy  GTNN = \(\frac{11}{2}\)

Câu 1

Bà rịa Vũng Tàu 2015 - 2016

Cho \(x,y\)là hai số thỏa mãn \(x\ge2y>0\). Tìm GTNN của biểu thức

                                                                                        \(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}\)

Đáp án:

Ta có                 \(P=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{x^2-2xy}{xy}=\frac{3x^2+x^2+4y^2}{4xy}+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                               \(=\frac{3x^2+x^2+4y^2}{4xy}+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                                 \(=\frac{3x^2}{4xy}+\frac{x^2+4y^2}{4xy}+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                                   \(=\frac{3}{4}.\frac{x}{y}+\frac{\left(x-2y\right)^2+4xy}{4xy}+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                                    \(=\frac{3}{4}.\frac{x}{y}+\frac{\left(x-2y\right)^2}{4xy}+4+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                                   \(\ge\frac{3}{4}.2+0+4+0\)

                \(P\ge\frac{11}{2}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(x=2y\).

Vậy  GTNN = \(\frac{11}{2}\)

Câu 1

Hà Nội 2017 - 2018

Cho \(a,b,c\ge1\)thỏa mãn điều kiện   \(ab+bc+ca=9\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

                                                              \(P=a^2+b^2+c^2\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án:

- Áp dụng bất đẳng thức hiển nhiên     \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=9\) suy ra  \(P\ge9\). GTNN = 9 đạt khi và chỉ khi   \(a=b=c=\sqrt{3}\).\(a^2+b^2+c^2\le18\)\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow a+b\le ab+1\). Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng theo vế ta được         \(2\left(a+b+c\right)\le ab+bc+ca+3=9+3\Rightarrow a+b+c\le6\)

 Do đó      \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b+c\right)^2-18\le6^2-18\)

                                                              \(P=a^2+b^2+c^2\le18\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bộ ba số \(a,b,c\) có hai số bàng 1, một số bằng 4. Vậy GTLN = 18.

Bài làm

Hãy đăng nhập để làm bài!

Đăng nhập

00:00:00