Câu 1 (1 điểm):

Bắc Giang 2017 - 2018

Cho \(a,b\) là hai số dương thỏa mãn \(2a+3b\le4\). Tìm GTNN của biểu thức 

                        \(P=\frac{2002}{a}+\frac{2017}{b}+2996a-5501b\)

Đáp án:

- Viết lại biểu thức đã cho dưới dạng

     \(P=2002\left(\frac{1}{a}+4a\right)+2017\left(b+\frac{1}{b}\right)+\left(2996a-8008a\right)-\left(5501b+2017b\right)\)

                    \(P\ge2002.4+2017.2-5012a-7518b\)

                    \(P\ge12042-2056\left(2a+3b\right)\)

                    \(P\ge12042-2056.4\)

                   \(P\ge3818\)

GTNN =  \(3818\) đạt khi \(a=\frac{1}{2},b=1\)


Câu 2 (1 điểm):

Hà Nam 2017 - 2018

Cho \(a,b,c\)là ba số không âm thỏa mãn điều kiện \(ab+bc+ca=3\)và \(a\ge c\). Tìm GTNN của biểu thức

                                        \(P=\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{2}{\left(b+1\right)^2}+\frac{3}{\left(c+1\right)^2}\)

Đáp án:

Từ giả thiết  \(a\ge c\ge0\)suy ra    \(\frac{1}{\left(c+1\right)^2}\ge\frac{1}{\left(a+1\right)^2}\), do đó

                                            \(P\ge2\left(\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2}\right)\)

                                                  \(\ge2\left(\frac{1}{a+1}.\frac{1}{b+1}+\frac{1}{b+1}.\frac{1}{c+1}+\frac{1}{c+1}.\frac{1}{a+1}\right)\)

                                             \(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(a+b+c+3\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)      (1)

Lại theo giả thiết  \(ab+bc+ca=3\) suy ra

                     \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\Leftrightarrow a+b+c\ge3\)

          và        \(3=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{ab.bc.ca}\Rightarrow abc\le1\le\frac{a+b+c}{3}\)

          và  \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=abc+\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)+1\)

                                                                        \(=abc+\left(a+b+c\right)+4\)

                                                                          \(\le\frac{a+b+c}{3}+\left(a+b+c\right)+4\)

                \(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\le\frac{4}{3}\left(a+b+c+3\right)\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra     \(P\ge\frac{3}{2}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b=c=1\). Vậy   GTNN = \(\frac{3}{2}\).


Câu 3 (1 điểm):

Bà rịa Vũng Tàu 2017 - 2018

Cho \(a,b\)là hai số thực tùy ý sao cho phương trình   \(4x^2-4ax-b^2+2=0\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\)

Tìm GTNN của biểu thức   \(P=\left(x_1+x_2\right)^2+4b\left(x_1+x_2\right)-8x_1x_2+\frac{1+2b\left(x_1+x_2\right)}{a^2}\)

Đáp án:

- Điều kiện có nghiệm    \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2\).

- Sử dụng định lí Viet ta tính được    

                                     \(P=a^2-ab+2b^2-4+\frac{1-2ab}{a^2}\)

    Viết lại \(P\) dưới dạng    

                                       \(P=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\left(b-\frac{1}{a}\right)^2-4\)

                                            \(\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)-4\)

                                            \(\ge\frac{1}{2}.2-4\)

                                       \(P\ge-3\)

GTNN = -3 đạt khi  \(a=b=1\) hoặc \(a=b=-1\).

                                          


Câu 4 (1 điểm):

Hà Nội 2016 - 2017

Cho \(x,y>0\)thỏa mãn điều kiện  \(x-\sqrt{x+6}=\sqrt{y+6}-y\). Tìm GTLN và GTNN của biểu  \(P=x+y\)

Đáp án:

Từ giả thiết suy ra                        \(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)     (*)

                                                  \(\left(x+y\right)^2=\left(x+y\right)+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)

                                                   \(P^2-P-12=2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)  (1)

a) Vì    \(\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\ge0\) nên       \(P^2-P-12\ge0\)

                                                                         \(\left(P-4\right)\left(P+3\right)\ge0\)   (**)

Do (*) suy ra   \(P\ge0\) nên  (**) suy ra    \(P-4\ge0\Leftrightarrow P\ge4\). Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+6\right)\left(y+6\right)=0\\x+y=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(-6;10\right),\left(10;-6\right)\right\}\)

 

GTNN = 4.

b) Vì      \(2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\le x+6+y+6=P+12\) nên (1) suy ra

                                                         \(P^2-P-12\le P+12\)

                          \(P^2-2P-24\le0\Leftrightarrow\left(P-6\right)\left(P+4\right)\le0\Leftrightarrow P-6\le0\Leftrightarrow P\le6\)

\(P=6\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+6=y+6\\x+y=6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=y=3\)

Vậy   GTLN = 6.


Câu 5 (1 điểm):

Hà Nội 2015 - 2016

Cho \(a,b\)là hai số không âm thay đổi luôn thỏa mãn \(a^2+b^2=4\). Tìm GTLN của biểu thức

                                                                 \(M=\frac{ab}{a+b+2}\)

Đáp án:

Sử dụng giả thiết  \(a^2+b^2=4\) có thể rút gọn \(M\) như sau

                  \(M=\frac{ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)}{2\left(a+b+2\right)}=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{2\left(a+b+2\right)}=\frac{a+b-2}{2}\)

Mặt khác, theo Bunhiacopxki ta có

                        \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)=8\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)

Do đó                  \(M\le\sqrt{2}-1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(a=b=\sqrt{2}\).

Vậy GTLN = \(\sqrt{2}-1\) 


Câu 6 (1 điểm):

Hà Nội 2014 - 2015

Cho \(a,b,c\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện     \(a+b+c=2\). Tìm GTLN của biểu thức

                                                     \(Q=\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ca}+\sqrt{2c+ab}\)

Đáp án:

- Do giả thiết   \(a+b+c=2\) nên  

                     \(\sqrt{2a+bc}=\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{2a+b+c}{2}\)

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng theo vế ba bất đẳng thức nhận được ta có

                       \(Q\le\frac{2a+b+c}{2}+\frac{2b+c+a}{2}+\frac{2c+a+b}{2}=2\left(a+b+c\right)=4\)

Hơn nữa    \(Q=4\Leftrightarrow a+b+c=2\) và  \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=a+c\\b+c=b+a\\c+a=c+b\end{matrix}\right.\)   hay    \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

GTLN = 4


Câu 7 (1 điểm):

Hà Tĩnh 2015 - 2016

Cho ba số \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện    \(a^2+b^2+c^2=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

                                                       \(F=ab+bc+2ca\)

Đáp án:

Ta có               \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b+c\right)^2\ge0\)

.                                           \(1+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

                                                          \(ab+bc+ca\ge-\frac{1}{2}\) (1)

Mặt khác                        \(b^2+\left(a+c\right)^2\ge0\)

suy ra                              \(b^2+a^2+c^2+2ac\ge0\)

                                         \(1+2ac\ge0\Rightarrow ac\ge-\frac{1}{2}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra   \(F\ge-1\)

Đẳng thức \(F=-1\) chỉ xảy ra khi

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=a+c=b=0\\a^2+b^2+c^2=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0;a=\dfrac{1}{\sqrt{2}};c=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\\b=0;a=\dfrac{-1}{\sqrt{2}};c=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)

 Vậy  GTNN =  -1                                   

                     


Câu 8 (1 điểm):

Hải Phòng  2016 - 2017

1) Chứng minh rằng        \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9,\left(\forall a,b,c>0\right)\)

2)  Cho \(a,b,c\)là ba số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện  \(a+b+c=1\) . Tìm GTNN của biểu thức

                                         \(P=\frac{9}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\)

Đáp án:

1) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho \(a,b,c\) và cho \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b=c\).

 Chú ý rằng bất đẳng thức vừa chứng minh có thể viết lại dưới dạng   \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\).

2)  Chú ý rằng       \(\frac{9}{2}=\frac{27}{6}=\frac{26}{6}+\frac{1}{6}=\frac{13}{3}+\frac{1}{6}\) nên có thể viết lại \(P\) dưới dạng

                      \(P=\frac{13}{3\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\)

                            \(\ge\frac{13}{3\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{6\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\)

                            \(=\frac{13}{6}\left(\frac{2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)\)

Do đó                  \(P\ge\frac{13}{6}\left(\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)\)

Theo 1) thì         \(\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{9}{2\left(ab+bc+ca\right)+a^2+b^2+c^2}\)

   hay                  \(\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{9}{1^2}=9\)

Từ đó                \(P\ge\frac{13}{6}.9=\frac{39}{2}\) . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(a=b=c=\frac{1}{3}\).

Vậy GTNN =  \(\frac{39}{2}\)


Câu 9 (1 điểm):

Đắc Lắc  2014 - 2015

Tìm GTNN của biểu thức       \(A=4x+\frac{1}{4x}-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}+2016\)  (vói \(x>0\))

Đáp án:

Theo Cô si       \(4x+\frac{1}{4x}\ge2\)  , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(4x=\frac{1}{4x}=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)). Do đó

                                         \(A\ge2-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}+2016\)

                                        \(A\ge4-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}+2014\)

                                        \(A\ge\frac{4x-4\sqrt{x}+1}{x+1}+2014=\frac{\left(2\sqrt{x}-1\right)^2}{x+1}+2014\ge2014\)

Hơn nữa    \(A=2014\) khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{4}\\2\sqrt{x}-1=0\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\) .

Vậy  GTNN  =  2014


Câu 10 (1 điểm):

Bà rịa Vũng Tàu 2015 - 2016

Cho \(x,y\)là hai số thỏa mãn \(x\ge2y>0\). Tìm GTNN của biểu thức

                                                                                        \(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}\)

Đáp án:

Ta có                 \(P=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{x^2-2xy}{xy}=\frac{3x^2+x^2+4y^2}{4xy}+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                               \(=\frac{3x^2+x^2+4y^2}{4xy}+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                                 \(=\frac{3x^2}{4xy}+\frac{x^2+4y^2}{4xy}+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                                   \(=\frac{3}{4}.\frac{x}{y}+\frac{\left(x-2y\right)^2+4xy}{4xy}+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                                    \(=\frac{3}{4}.\frac{x}{y}+\frac{\left(x-2y\right)^2}{4xy}+4+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                                   \(\ge\frac{3}{4}.2+0+4+0\)

                \(P\ge\frac{11}{2}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(x=2y\).

Vậy  GTNN = \(\frac{11}{2}\)


Câu 11 (1 điểm):

Bà rịa Vũng Tàu 2015 - 2016

Cho \(x,y\)là hai số thỏa mãn \(x\ge2y>0\). Tìm GTNN của biểu thức

                                                                                        \(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}\)

Đáp án:

Ta có                 \(P=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{x^2-2xy}{xy}=\frac{3x^2+x^2+4y^2}{4xy}+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                               \(=\frac{3x^2+x^2+4y^2}{4xy}+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                                 \(=\frac{3x^2}{4xy}+\frac{x^2+4y^2}{4xy}+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                                   \(=\frac{3}{4}.\frac{x}{y}+\frac{\left(x-2y\right)^2+4xy}{4xy}+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                                    \(=\frac{3}{4}.\frac{x}{y}+\frac{\left(x-2y\right)^2}{4xy}+4+\frac{x\left(x-2y\right)}{xy}\)

                                   \(\ge\frac{3}{4}.2+0+4+0\)

                \(P\ge\frac{11}{2}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(x=2y\).

Vậy  GTNN = \(\frac{11}{2}\)


Câu 12 (1 điểm):

Hà Nội 2017 - 2018

Cho \(a,b,c\ge1\)thỏa mãn điều kiện   \(ab+bc+ca=9\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

                                                              \(P=a^2+b^2+c^2\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án:

- Áp dụng bất đẳng thức hiển nhiên     \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=9\) suy ra  \(P\ge9\). GTNN = 9 đạt khi và chỉ khi   \(a=b=c=\sqrt{3}\).\(a^2+b^2+c^2\le18\)\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow a+b\le ab+1\). Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng theo vế ta được         \(2\left(a+b+c\right)\le ab+bc+ca+3=9+3\Rightarrow a+b+c\le6\)

 Do đó      \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b+c\right)^2-18\le6^2-18\)

                                                              \(P=a^2+b^2+c^2\le18\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bộ ba số \(a,b,c\) có hai số bàng 1, một số bằng 4. Vậy GTLN = 18.

Link bài học:
Thảo luận
1

Bài 1: Căn thức và rút gọn biểu thức

 1. Bài giảng: Căn bậc hai

 2. Tài liệu: Căn bậc hai

 3. Căn bậc hai, căn bậc ba

 4. Rút gọn biểu thức - Cơ bản

 5. Rút gọn biểu thức - Nâng cao

 6. Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 7. Tài liệu: Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 8. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

 9. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 10. Phân tích đa thức thành nhân tử

 11. Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

 12. Rút gọn biểu thức có chứa căn

2

Bài 2: Phương trình

 1. Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 2. Tài liệu : Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 4. Tài liệu: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 5. Giải phương trình bậc nhất

 6. Giải phương trình bậc hai

 7. Phương trình quy về bậc hai

 8. Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 9. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 10. Phương trình vô tỷ

3

Bài 3: Hàm số

 1. Hàm số, Đồ thị

 2. Hàm số bậc nhất

 3. Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số

 4. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax^2 (a khác 0)

 5. Xác định tham số để điểm thuộc đồ thị

 6. Vị trí tương đối của các đồ thị hàm số

 7. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

 8. Một số bài tập tự luận

4

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

 4. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

 6. Một số bài tập tự luận

5

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

 1. Định lí Viet

 2. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 4. Lập phương trình bậc hai biết các nghiệm của nó.

 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

 6. Các biểu thức đối xứng của hai nghiệm phương trình bậc hai.

 7. Luyện tập chung

 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

 9. Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho

 10. Bắc Giang, Bắc Ninh, Bình Định, Bình Dương

 11. Cà Mau, Cần Thơ, Đắc Lắc, Đà Nẵng, Đồng Nai

 12. Hải Dương, Hà Nam, Hà Nội

 13. Hà Tĩnh, Hòa Bình, Hưng Yên, Hải Phòng

 14. Khánh Hòa, Kiên Giang, Kon Tum, Lạng Sơn, Lào Cai, Long An

 15. Tp Hồ Chí Minh, Thanh Hóa, Thái Bình, Thái Nguyên, Thừa Thiên Huế, Trà Vinh

 16. Nam Định, Ninh Bình, Nghệ An

 17. Phú Thọ, Quảng Bình, Quảng Ninh, Quảng Ngãi

6

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 2. Tài liệu: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 3. Toán chuyển động

 4. Toán năng suất, số lượng

 5. Toán làm chung làm riêng

 6. Toán có nội dung hình học

 7. Toán về phần trăm

 8. Một số dạng toán khác

7

Bài 7: Bất đẳng thức

 1. Bất đẳng thức

 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứng minh BĐT

 3. Bất đẳng thức Cô si (p.1)

 4. Bất đẳng thức Cô si (p.2)

 5. Bất đẳng thức Cô si (p3)

 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.1)

 7. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.2)

 8. Thanh Hóa, Quảng Bình, Nghệ An, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hỏa Bình

 9. Bình Định, Hà Tĩnh, Hà Nội, Hà Nam, Hải Phòng, Bắc Giang

8

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

 1. GTLN, GTBN của tam thức bậc hai

 2. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

 3. GTLN, GTNN (p1)

 4. GTLN,GTNN (p2)

 5. Yên Bái, Bà Rịa Vũng Tàu, Vĩnh Phúc, Tuyên Quang, Thái Bình, Quảng Ninh

 6. Quảng Ngãi, Phú Thọ, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hòa Bình, Hà Tĩnh, Ninh Bình, Bắc Ninh Thanh Hóa

 7. Bắc Giang, Hà Nam, Bà Rịa Vũng Tàu, Hà Nội, Hà Tĩnh, Hải Phòng, Đăc Lắc