Câu 1 (1 điểm):

Bắc Giang 2014-2015

Cho phương trình  \(x^2-2\left(3-m\right)x-4-m^2=0\) .  Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện    \(\left|\left|x_1\right|-\left|x_2\right|\right|=6\).

Hướng dẫn giải:​

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt (trái dấu - do a và c trái dấu). Theo Viet

                                            \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(3-m\right)\\x_1x_2=-4-m^2\end{matrix}\right.\)

Do đó        \(\left|\left|x_1\right|-\left|x_2\right|\right|=6\Leftrightarrow\left(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|\right)^2=36\)

                                               \(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-2\left|x_1x_2\right|=36\)

                                               \(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2\left|x_1x_2\right|=36\)

                                               \(\Leftrightarrow4\left(3-m\right)^2-2\left(-4-m^2\right)-2\left|-4-m^2\right|=36\)

                                               \(\Leftrightarrow\left(3-m\right)^2=9\Leftrightarrow m=0;m=6\)

Đáp số: \(m=0;m=6\)

 


Câu 2 (1 điểm):

Bắc Giang 2015-2016

Cho phương trình    \(x^2-\left(m^2+3\right)x+2m^2+2=0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

 

Hướng dẫn giải:

​Theo định lí Viet đảo ta thấy \(x_1=2;x_2=m^2+1\) luôn là hai nghiệm của phương trình đã cho. Do đó yêu cầu bài toán sẽ được thực hiện khi và chỉ khi

                     \(\left\{{}\begin{matrix}x_2\ne x_1\\x_2>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+1\ne2\\m^2+1>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\notin\left\{0;\pm1\right\}\)


Câu 3 (1 điểm):

Bắc Ninh 2015-2016

Cho phương trình \(x^2-2mx+2m-10=0\). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thoả mãn điều kiện \(2x_1+x_2=-4\)

 

Hướng dẫn giải:

​Phương trình đã cho có  \(\Delta'=m^2-2m+10=\left(m-1\right)^2+9>0\). Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\). Theo định lí Viet thì \(x_1+x_2=2m\) nên điều kiện   \(2x_1+x_2=-4\) tương đương với 

                  \(x_1+\left(x_1+x_2\right)=-4\Leftrightarrow x_1+2m=-4\Leftrightarrow x_1=-2\left(m+2\right)\)

Bài toán trở thành: Tìm m để \(x=-2\left(m+2\right)\) là moo0tj nghiệm của phương trình đã cho, tức là       \(4\left(m+2\right)^2+2m\left(2m+4\right)+2m-10=0\)  hay

                        \(4m^2+13m+3=0\Leftrightarrow m=-3;m=-\dfrac{1}{4}\)


Câu 4 (1 điểm):

Bà Rịa - Vũng Tàu 2015-2016

Tìm các giá trị của m để phương trình  \(x^2+x+m-2=0\) có hai nghiệm phân biệt thỏa nãm điều kiện  \(x_1^2+2x_1x_2-x_2=1\)

 

 

Hướng dẫn giải:

​Điều kiện để phương trình \(x^2+x+m-2=0\) có hai nghiệm phân biệt là

                        \(\Delta>0\Leftrightarrow9-4m>0\Leftrightarrow m< \dfrac{9}{4}\).

Khi đó, phương trình có hai nghiệm  \(x_1,x_2\). Sử dụng Viet ta biến đổi tương đương yêu cầu bài toán như sau:   \(x_1^2+2x_1x_2-x_2=1\)

         \(\Leftrightarrow\left(x_1^2+x_1+m-2\right)-\left(x_1+m-2\right)+2x_1x_2-x_2=1\)

        \(\Leftrightarrow0-\left(x_1+x_2\right)+2x_1x_2-m+1=0\)

         \(\Leftrightarrow1+2\left(m-2\right)-m+1=0\Leftrightarrow m=2\)

 


Câu 5 (1 điểm):

Bến Tre 2015-2016

Cho phương trình   \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-7=0\). Tìm GTNN của biểu thức 

                                      \(A=x_1^2+x_2^2+x_1x_2\)

 

Hướng dẫn giải:

​Phương trình đã cho có  

             \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m+7\right)=m^2-4m+8=\left(m-2\right)^2+4>0\)

Do đó với mọi m, phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt  \(x_1,x_2\).

Theo Viet ta có        \(A=\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\)

                                     \(=4\left(m-1\right)^2-\left(2m+7\right)\)

                                     \(=4m^2-10m+7\)

                                    \(=\left(2m-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{19}{4}\)

   GTNN = \(\dfrac{19}{4}\) đạt được khi  \(m=\dfrac{5}{4}\)


Câu 6 (1 điểm):

Bình Định 2014-2015

Cho phương trình      \(x^2-2\left(m-1\right)x+m-3=0\).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biêt.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.

 

Hướng dẫn giải:

a) ​Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) vì  

                                \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m+3=\left(m-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\)

b) Cần tìm m để  \(x_1+x_2=0\Leftrightarrow2\left(m-1\right)=0\Leftrightarrow m=1\)


Câu 7 (1 điểm):

Bình Dương 2015-2016

Cho phương trình  (m là tham số) \(x^2-2\left(m+1\right)x+2m=0\)

1)Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dương.
3) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn giải:

​1) \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m=m^2+1>0,\forall m\)

2) \(x_1,x_2>0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2>0\\x_1+x_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m>0\\2\left(m+1\right)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>0\)

3)    \(\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2=2m\\x_1+x_2=2\left(m+1\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=-2\)


Câu 8 (1 điểm):

Bình Dương 2016-2017

Cho phương trình \(x^2-\left(5m-1\right)x+6m^2-2m=0\) (m là tham số)

  1. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
  2. Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình . Tìm m để  \(x_1^2+x_2^2=1\)

 

Hướng dẫn giải:

​a. \(\Delta=\left(5m-1\right)^2-4\left(6m^2-2m\right)=\left(m-1\right)^2\). Phương trình luôn có 2 nghiệm

                                    \(x=2m,x=3m-2\)

b.  \(x_1^2+x_2^2=1\Leftrightarrow\left(2m\right)^2+\left(3m-1\right)^2=1\Leftrightarrow13m^2-6m=0\Leftrightarrow m=0;m=\dfrac{6}{13}\)


Câu 9 (1 điểm):
  1. Cho phương trình  \(x^2+mx+1=0\) (1), m là tham số

a. Giải phương trình (1) khi m = 4

           b.Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thoả mãn

                                                     \(\dfrac{x_1^2}{x_2^2}+\dfrac{x_2^2}{x_1^2}>7\)

 

                                  

Hướng dẫn giải:

​a. Khi m = 4, ta có phương trình     \(x^2+4x+1=0\).

Phương trình có 2 nghiệm là  \(x=-2\pm\sqrt{3}\).

b. Điều kiện có nghiệm:   \(\Delta\ge0\Leftrightarrow m^2-4\ge0\Leftrightarrow m\le-2;m\ge2\).

Theo Viet      \(x_1+x_2=-m,x_1x_2=1\) nên 

  \(\dfrac{x_1^2}{x_2^2}+\dfrac{x_2^2}{x_1^2}=\left(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\right)^2-2=\left(\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}\right)^2-2\)

                     \(=\left(\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2}{1}\right)^2-2=\left(m^2-2\right)^2-2\)

Yêu cầu bài toán trở thành  

                     \(\left(m^2-2\right)^2-2>7\Leftrightarrow\left(m^2-1\right)^2>9\Leftrightarrow m^2-1>3\)

                                                        \(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(m+2\right)>0\)

Đáp số:  \(m< -2\) hoặc   \(m>2\) 

Link bài học:
Thảo luận
1

Bài 1: Căn thức và rút gọn biểu thức

 1. Bài giảng: Căn bậc hai

 2. Tài liệu: Căn bậc hai

 3. Căn bậc hai, căn bậc ba

 4. Rút gọn biểu thức - Cơ bản

 5. Rút gọn biểu thức - Nâng cao

 6. Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 7. Tài liệu: Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 8. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

 9. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 10. Phân tích đa thức thành nhân tử

 11. Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

 12. Rút gọn biểu thức có chứa căn

2

Bài 2: Phương trình

 1. Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 2. Tài liệu : Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 4. Tài liệu: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 5. Giải phương trình bậc nhất

 6. Giải phương trình bậc hai

 7. Phương trình quy về bậc hai

 8. Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 9. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 10. Phương trình vô tỷ

3

Bài 3: Hàm số

 1. Hàm số, Đồ thị

 2. Hàm số bậc nhất

 3. Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số

 4. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax^2 (a khác 0)

 5. Xác định tham số để điểm thuộc đồ thị

 6. Vị trí tương đối của các đồ thị hàm số

 7. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

 8. Một số bài tập tự luận

4

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

 4. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

 6. Một số bài tập tự luận

5

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

 1. Định lí Viet

 2. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 4. Lập phương trình bậc hai biết các nghiệm của nó.

 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

 6. Các biểu thức đối xứng của hai nghiệm phương trình bậc hai.

 7. Luyện tập chung

 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

 9. Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho

 10. Bắc Giang, Bắc Ninh, Bình Định, Bình Dương

 11. Cà Mau, Cần Thơ, Đắc Lắc, Đà Nẵng, Đồng Nai

 12. Hải Dương, Hà Nam, Hà Nội

 13. Hà Tĩnh, Hòa Bình, Hưng Yên, Hải Phòng

 14. Khánh Hòa, Kiên Giang, Kon Tum, Lạng Sơn, Lào Cai, Long An

 15. Tp Hồ Chí Minh, Thanh Hóa, Thái Bình, Thái Nguyên, Thừa Thiên Huế, Trà Vinh

 16. Nam Định, Ninh Bình, Nghệ An

 17. Phú Thọ, Quảng Bình, Quảng Ninh, Quảng Ngãi

6

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 2. Tài liệu: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 3. Toán chuyển động

 4. Toán năng suất, số lượng

 5. Toán làm chung làm riêng

 6. Toán có nội dung hình học

 7. Toán về phần trăm

 8. Một số dạng toán khác

7

Bài 7: Bất đẳng thức

 1. Bất đẳng thức

 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứng minh BĐT

 3. Bất đẳng thức Cô si (p.1)

 4. Bất đẳng thức Cô si (p.2)

 5. Bất đẳng thức Cô si (p3)

 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.1)

 7. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.2)

 8. Thanh Hóa, Quảng Bình, Nghệ An, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hỏa Bình

 9. Bình Định, Hà Tĩnh, Hà Nội, Hà Nam, Hải Phòng, Bắc Giang

8

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

 1. GTLN, GTBN của tam thức bậc hai

 2. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

 3. GTLN, GTNN (p1)

 4. GTLN,GTNN (p2)

 5. Yên Bái, Bà Rịa Vũng Tàu, Vĩnh Phúc, Tuyên Quang, Thái Bình, Quảng Ninh

 6. Quảng Ngãi, Phú Thọ, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hòa Bình, Hà Tĩnh, Ninh Bình, Bắc Ninh Thanh Hóa

 7. Bắc Giang, Hà Nam, Bà Rịa Vũng Tàu, Hà Nội, Hà Tĩnh, Hải Phòng, Đăc Lắc