N
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HD
18 tháng 12 2015
bài này dễ nhưng bạn phải chứng minh bđt này đã:
\(\frac{1}{a+b+c+d}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\)
với a;b;c;d là các số dương
bạn có thể cm bđt trên bằng cách biến đổi tương đương hoặc cm bđt Schwat (Sơ-vác)
Mình là 1 phần tử đại diện còn lại là hoàn toàn tt nhé
ta có \(\frac{1}{3\sqrt{x}+3\sqrt{y}+2\sqrt{z}}=\frac{1}{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)}\)
\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}\right)\)
Tương tự ta cm được
\(VT\le\frac{1}{16}.4\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)\)\(=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}\)
dấu "=" khi x=y=z
20 tháng 11 2019
thanh niên này chắc VIP dài quá:))
** Max
\(A^2=\left(\sqrt{x+y}\cdot1+\sqrt{y+z}\cdot1+\sqrt{z+x}\cdot1\right)^2\)
Theo bunhia ta có:
\(A^2\le\left(1+1+1\right)\left(x+y+y+z+z+x\right)=6\Rightarrow A\le\sqrt{6}\) tại \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
*** Min
Giả sử \(1\ge y\ge x\ge z\)
Ta có:
\(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}\ge\sqrt{y}+\sqrt{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\sqrt{y\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow xz=0\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\z=0\end{cases}}\)
Mặt khác:
\(\sqrt{y}+\sqrt{z+x}\ge\sqrt{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y\left(z+x\right)}=0\)
Đẳng thức xảy ra \(\orbr{\begin{cases}y=0\\z+x=0\end{cases}}\)
Kết hợp 2 dấu đẳng thức xảy ra thì \(x=z=0;y=1\)
Khi đó
\(A=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\)
\(\ge\sqrt{x+y+z}+\sqrt{x+y+z}=2\sqrt{x+y+z}=2\)
Dấu "=" xảy ra tại \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;0\right)\) và các hoán vị.
T
21 tháng 11 2019
Em có cách này cho phần min nhưng không chắc lắm..
Min:
Giả sử \(x\ge y\ge z\)
\(A=\sqrt{2\left(x+y+z\right)+2\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+y\right)}}\) (bình phương lên rồi lấy căn:v)
\(\ge\sqrt{2\left(x+y+z\right)+2\Sigma_{cyc}\left(\sqrt{xz}+y\right)}\)
\(=\sqrt{4\left(x+y+z\right)+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)}\ge\sqrt{4\left(x+y+z\right)}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị.
HT
21 tháng 10 2018
Bài 1: \(x+y+z+11=2\sqrt{x}+4\sqrt{y-1}+6\sqrt{z-2}\)
ĐKXĐ:\(x\ge0;y\ge1;z\ge2\)
\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+1+\left(y-1\right)-2\cdot\sqrt{y-1}\cdot2+4+\left(z-2\right)-2\cdot\sqrt{z-2}\cdot3+9=0\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-3\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=1\\\sqrt{y-1}=2\\\sqrt{z-2}=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=5\\z=11\end{matrix}\right.\)
27 tháng 10 2022
Bài 2:
Q=|x+2|+|x-2|>=|x+2+2-x|=4
Dấu = xảy ra khi (x+2)(x-2)<=0
=>-2<=x<=2
XO
1 tháng 4 2022
Ta có P \(\le\dfrac{1^2+\left(\sqrt{x-1}\right)^2}{2}+\dfrac{2^2+\left(\sqrt{y-4}\right)^2}{2}+\dfrac{3^2+\left(\sqrt{z-9}\right)^2}{2}\)
\(=\dfrac{1+x-1+4+y-4+9+z-9}{2}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{28}{2}=14\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}1=\sqrt{x-1}\\2=\sqrt{y-4}\\3=\sqrt{z-9}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2;y=8;z=18\)(tm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 10 2019
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(1.\sqrt{1+x^2}+1.\sqrt{2x}\le\sqrt{2\left(x+1\right)^2}=\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\); \(\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)
\(\left(3-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le\left(3-\sqrt{2}\right)\sqrt{3\left(x+y+z\right)}=9-3\sqrt{2}\)
Cộng vế với vế:
\(A\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)+9-3\sqrt{2}=9+3\sqrt{2}\)
\(A_{max}=9+3\sqrt{2}\) khi \(x=y=z=1\)
5 tháng 2 2020
Câu 1:
\(y^2+yz+z^2=1-\frac{3x^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2y^2+2yz+2z^2=2-3x^2\)
\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)^2+y^2+z^2+3x^2=2\)
\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)^2+x^2+2x\left(y+z\right)+y^2+z^2+2x^2-2x\left(y+z\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=2-\left(x-y\right)^2-\left(x-z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow A^2=2-\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2\right]\le2\forall x;y;z\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le A\le\sqrt{2}\)
Vậy \(A_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\x+y+z=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{-\sqrt{2}}{3}\)
\(A_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Câu 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}\ge\frac{9}{3+xy+yz+zx}\ge\frac{9}{3+x^2+y^2+z^2}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Câu 3:
\(P=\frac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{abc}\) ( \(a\ge3;b\ge4;c\ge2\) )
\(P=\frac{\sqrt{c-2}}{c}+\frac{\sqrt{a-3}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(P=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{c-2}}{c}+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{a-3}}{a}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2\cdot\sqrt{b-4}}{b}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2+c-2}{c}+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3+a-3}{a}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{4+b-4}{b}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=8\\c=4\end{matrix}\right.\)
Câu 4:
Đặt \(\sqrt{x}=a;\sqrt{y}=b\left(a;b\ge0\right)\)
\(M=a^2-2ab+3b^2-2a+1\)
\(M=a^2-a\left(2b+2\right)+3b^2+1\)
\(\Delta=\left(2b+2\right)^2-4\left(3b^2+1\right)\)
\(=-8b^2+8b\)
\(=-8b\left(b+1\right)\ge0\)
Vì \(b\ge0\) nên \(-8b\left(b+1\right)\le0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=0\)
Khi đó \(M=a^2-2a+1=\left(a-1\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)
Vậy \(M_{min}=1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)
31 tháng 5 2019
b, Ta có
\(\frac{\sqrt{x}+1}{y+1}=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(y+1\right)-y-y\sqrt{x}}{y+1}=\sqrt{x}+1-\frac{y\left(\sqrt{x}+1\right)}{y+1}\)
Mà \(y+1\ge2\sqrt{y}\)
=> \(\frac{\sqrt{x}+1}{y+1}\ge\sqrt{x}+1-\frac{1}{2}\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+1\right)\)
Khi đó
\(P\ge\frac{1}{2}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+3-\frac{1}{2}\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)\)
Mà \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}{3}=3\)
=> \(P\ge\frac{1}{2}.3+3-\frac{3}{2}=3\)
Vậy MinP=3 khi x=y=z=1
Max: Áp dụng BĐT Bynyakovski: \(P=\Sigma\sqrt{x+1}\le\sqrt{3\left(x+y+z+3\right)}=3\sqrt{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x =y = z = 1
Min: Chú ý x +y + z = 3;x,y,z>0 => 0<x<3. Trước hết ta chứng minh:
\(\sqrt{x+1}\ge\frac{1}{3}x+1\Leftrightarrow\frac{1}{9}x\left(3-x\right)\ge0\) (đúng)
Do đó \(P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)+3=4\)
Đẳng thức xảy ra khi (x;y;z) =(0;0;3) và các hoán vị.
x,y,z > 0 => 0 < x < 3. Còn lại y chang
\(\because\text{tui nhầm}\)