Question

[Phạm Hào]

Cho (O) đường kính AB . Kẻ đường kính CD vuông góc với AB. Lấy M thuộc cung nhỏ BC, AM cắt CD tại E. Qua D kẻ tiếp tuyến với (O) cắt đường thẳng BM tại N. Gọi P là hình chiếu vuông góc của B lên DN

a) Chứng minh các điểm M, N, D, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh EN song song với CB.

c) Chứng minh AM*BN = 2R ^ 2 và tìm vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để diện tích tam giác BNC đạt giá trị lớn nhất.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét tứ giác EMND có \(\widehat{EMN}+\widehat{EDN}=90^0+90^0=180^0\)

nên EMND là tứ giác nội tiếp

b:

EMND nội tiếp

=>\(\widehat{NED}=\widehat{NMD}=\widehat{BMD}\)

mà \(\widehat{BMD}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BOD}=\dfrac{1}{2}\cdot90^0=45^0\)

nên \(\widehat{NED}=45^0\)

=>\(\widehat{NED}=\widehat{BCD}\left(=45^0\right)\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên CB//EN

c:

Ta có: BA\(\perp\)CD

PD\(\perp\)CD

Do đó: BA//PD

Xét tứ giác OBPD có \(\widehat{ODP}=\widehat{DOB}=\widehat{BPD}=90^0\)

nên OBPD là hình chữ nhật

=>BP=OD=R

Xét ΔMBA vuông tại M và ΔPNB vuông tại P có

\(\widehat{MBA}=\widehat{BNP}\)(hai góc đồng vị, BA//DN)

Do đó: ΔMBA~ΔPNB

=>\(\dfrac{AM}{BP}=\dfrac{BA}{BN}\)

=>\(AM\cdot BN=BP\cdot BA=R\cdot2R=2R^2\)

Answer 2

[Phạm Hào]

Mình cần gấp ạ 😭