Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Thay x = 0; y = -z = 1, thỏa mãn đề bài nhưng:
02016 + 12016 + (-1)2016 không bằng ( 0 + 1 - 1)2016
=> xem lại đề.
Lời giải:
$4x^2+2y^2+2z^2-4xy-4xz+2yz-6y-10z+34=0$
$(4x^2+y^2+z^2-4xy-4xz+2yz)+y^2+z^2-6y-10z+34=0$
$(2x-y-z)^2+(y^2-6y+9)+(z^2-10z+25)=0$
$(2x-y-z)^2+(y-3)^2+(z-5)^2=0$
Vì $(2x-y-z)^2\geq 0; (y-3)^2\geq 0; (z-5)^2\geq 0$ với mọi $x,y,z$
Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì bản thân mỗi số đó bằng $0$
$\Rightarrow 2x-y-z=y-3=z-5=0$
$\Rightarrow y=3; z=5; x=4$
Khi đó:
$P=0^{2023}+(-1)^{2025}+(5-4)^{2027}=0$
13:
xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz
= xy(x + y) + yz(y + z) + xyz + xz(x + z) + xyz
= xy(x + y) + yz(y + z + x) + xz(x + z + y)
= xy(x + y) + z(x + y + z)(y + x)
= (x + y)(xy + zx + zy + z²)
= (x + y)[x(y + z) + z(y + z)]
= (x + y)(y + z)(z + x)
\(=\dfrac{xy\left(z-1\right)-y\left(z-1\right)-x\left(z-1\right)+\left(z-1\right)}{xy\left(z+1\right)+y\left(z+1\right)-x\left(z+1\right)-\left(z+1\right)}\\ =\dfrac{\left(z-1\right)\left(xy-y-x+1\right)}{\left(z+1\right)\left(xy+y-x-1\right)}=\dfrac{\left(z-1\right)\left(x-1\right)\left(y-1\right)}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)\left(y-1\right)}=\dfrac{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}\\ =\dfrac{\left(5003-1\right)\left(5001-1\right)}{\left(5003+1\right)\left(5001+1\right)}=\dfrac{5002\cdot5000}{5004\cdot5002}=\dfrac{5000}{5004}=\dfrac{1250}{1251}\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số không âm:
\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{1.x^3y^3}=3xy\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)
Tương tự ta có: \(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}\);\(\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\)
Cộng các vế của các BĐT trên, ta được:
\(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\)\(+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\)\(+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge\)\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)\(+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}\)\(+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\)
Tiếp tục áp dụng Cô - si:
\(BĐT\ge3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}\)
Vậy \(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\)\(+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\)\(+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge3\sqrt{3}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=1\))
\(x^3+y^3+1=x^3+y^3+xyz\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
Tương tự:
\(y^3+z^3+1\ge yz\left(x+y+z\right);z^3+x^3+1\ge zx\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}}{xy}+\frac{\sqrt{yz\left(x+y+z\right)}}{yz}+\frac{\sqrt{zx\left(x+y+z\right)}}{zx}\)
\(=\sqrt{x+y+z}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\right)\)
\(\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{xy}\cdot\sqrt{yz}\cdot\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)
ta có:\(\frac{x}{xy+x+1}\)+\(\frac{y}{yz+y+1}\)+\(\frac{z}{xz+z+1}\)
=\(\frac{x}{xy+x+1}\)+\(\frac{xy}{xyz+xy+x}\)+\(\frac{xyz}{x^2yz+xyz+xy}\)
=\(\frac{x}{xy+x+1}\)+\(\frac{xy}{xy+x+1}\)+\(\frac{1}{xy+x+1}\)(vì xyz=1)
=\(\frac{x+xy+1}{xy+x+1}\)
=1
Ta có :\(\frac{x}{xy+x+1}+\frac{y}{yz+y+1}+\frac{z}{xz+z+1}\)
\(=\frac{x}{xy+x+1}+\frac{xy}{xyz+xy+x}+\frac{xyz}{x^2yz+xyz+xy}\)
\(=\frac{x}{xy+x+1}+\frac{xy}{xy+x+1}+\frac{1}{xy+x+1}\)vì xyz=1
\(=\frac{x+xy+1}{xy+x+1}\)
\(=1\)
Bài toán:
Cho \(\left(\right. x + y + z \left.\right) \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) = x y z\). Chứng minh:
\(x^{2025} + y^{2025} + z^{2025} = \left(\right. x + y + z \left.\right)^{2025}\)
Lời giải ý tưởng:
Điều kiện \(\left(\right. x + y + z \left.\right) \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) = x y z\) rất đặc biệt, có thể suy ra rằng hai trong ba số \(x , y , z\) bằng 0 hoặc các giá trị đặc biệt khiến đa thức đơn giản.
Bạn có thể thử kiểm tra các trường hợp:
Đây là bài toán nâng cao, bạn cần thêm các bước phân tích kỹ hơn hoặc cung cấp thêm điều kiện cụ thể để chứng minh chính xác.
(x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz⟹x2025+y2025+z2025=(x+y+z)2025
Bài toán khó, giải thích chi tiết:
\(\left(\right. x + y + z \left.\right) \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) = x y z\)
Thông thường, đa thức bên trái gồm các tích tổng của các biến. Điều kiện này rất đặc biệt, không phải với mọi \(x , y , z\) đều đúng.
Trường hợp 1: Nếu một trong ba số bằng 0, ví dụ \(z = 0\), ta có:
\(\left(\right. x + y \left.\right) \left(\right. x y \left.\right) = 0\)
Nên \(x = 0\), \(y = 0\) hoặc \(x + y = 0\) để thỏa mãn.
Nếu \(x + y + z = 0\), thì
\(x^{2025} + y^{2025} + z^{2025} = \left(\right. x + y + z \left.\right)^{2025} = 0\)
Điều này đúng.
Trường hợp 2: Nếu \(x = y = z\), gọi \(x = y = z = a\), thì:
\(\left(\right. 3 a \left.\right) \left(\right. 3 a^{2} \left.\right) = a \cdot a \cdot a \Rightarrow 9 a^{3} = a^{3} \Rightarrow 9 a^{3} = a^{3}\)
Chỉ đúng khi \(a = 0\).
Bước 3: Kết luận
Điều kiện \(\left(\right. x + y + z \left.\right) \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) = x y z\) rất đặc biệt và chỉ xảy ra trong những trường hợp mà \(x , y , z\) liên hệ chặt chẽ với nhau (ví dụ: \(x + y + z = 0\) hoặc có biến bằng 0).
Do đó, trong những trường hợp này ta có thể áp dụng định nghĩa đa thức mũ lớn, với \(n\) lẻ, nên:
\(x^{2025} + y^{2025} + z^{2025} = \left(\right. x + y + z \left.\right)^{2025}\)
đúng theo tính chất đa thức và điều kiện đặc biệt.