Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{5}{x}+\frac{5}{y}=1\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\)
Vai trò của x,y là bình đẳng,nên ta giả sử \(x\ge y\). Dùng BĐT để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ hơn (y)
Hiển nhiên ta có: \(\frac{1}{y}<\frac{1}{5}\) nên y>5. Mặt khác,do \(x\ge y\ge1\) nên \(\frac{1}{x}\le\frac{1}{y}\). Do đó:
\(\frac{1}{5}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{1}{y}+\frac{1}{y}=\frac{2}{y}\).
Mà \(\frac{2}{y}\ge\frac{1}{5}\) nên \(10\ge y\). Vậy \(6\le y\le10\). Ta có:
Với y = 6 thì \(\frac{1}{x\ }=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}\Leftrightarrow x=30\)
Với y = 7 thì \(\frac{1}{x}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{2}{35}\Leftrightarrow x=35\) (loại)
Với y = 8 thì \(\frac{1}{x}=\frac{1}{5}-\frac{1}{8}=\frac{3}{40}\Leftrightarrow x=40\) (loại)
Với y = 9 thì \(\frac{1}{x}=\frac{1}{5}-\frac{1}{9}=\frac{4}{45}\Leftrightarrow x=45\) (loại)
Với y = 10 thì \(\frac{1}{x}=\frac{1}{5}-\frac{1}{10}=\frac{1}{10}\Leftrightarrow x=10\)
Vậy x=30,y=6. Do vai trò bình đẳng nên ta có thêm 1 giá trị khác: x=6,y=30
và x=10,y=10
1 Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}.
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3.
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).
2
2, dùng bđt |a|+|b| >= |a+b| ,dấu "=" khi ab >= 0
A >= |2x+2+2013-2x|=2015
Dấu "=" khi (2x+2)(2013-x) >= 0 <=> -1 <= x <= 2013
\(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=4\)
\(\Rightarrow x+y+\dfrac{x+y}{xy}=4\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(xy+1\right)=4xy\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=u\\xy=v\end{matrix}\right.\) với \(u;v\in Z\) và \(u^2\ge4v\); \(v\ne0\)
\(\Rightarrow u\left(v+1\right)=4v\)
\(\Rightarrow u=\dfrac{4v}{v+1}=4-\dfrac{4}{v+1}\)
\(\Rightarrow v+1=Ư\left(4\right)\Rightarrow v+1=\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}\)
\(\Rightarrow v=\left\{-5;-3;-2;1;3\right\}\)
\(\Rightarrow u=\left\{5;6;8;2;3\right\}\)
Loại cặp \(\left(u;v\right)=\left(3;3\right)\) không thỏa mãn \(u^2\ge4v\)
Ta được \(\left(u;v\right)=\left(5;-5\right);\left(6;-3\right);\left(8;-2\right);\left(2;1\right)\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=5\\xy=-5\end{matrix}\right.\) không tồn tại x;y nguyên thỏa mãn
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=6\\xy=-3\end{matrix}\right.\) ko tồn tại x;y nguyên thỏa mãn
TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=8\\xy=-2\end{matrix}\right.\) không tồn tại x;y nguyên thỏa mãn
TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=1\)
Vậy pt có đúng 1 cặp nghiệm nguyên \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\)
Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)(x;y \(\ne\)0)
<=> \(\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{4}\)
<=> 4(x + y) = xy
<=> xy - 4x - 4y =0
<=> x(y - 4) - 4y + 16 = 16
<=> x(y - 4) - 4(y - 4) = 16
<=> (x - 4)(y - 4) = 16
Ta có 16 = 1.16 = 4.4 = (-4).(-4) = (-1).(-16)
Lập bảng xét các trường hợp
x - 4 | 1 | 16 | 4 | -4 | -16 | -1 |
y - 4 | 16 | 1 | 4 | -4 | -1 | -16 |
x | 5 (tm) | 20 (tm) | 8(tm) | 0(loại) | -12(loại) | 3 |
y | 20 (tm) | 5 (tm) | 8 (tm) | 0(loại) | 3 | -12(loại) |
Vây các cặp (x;y) thỏa mãn là (5;20) ; (20;5) ; (8;8)
Do 1974 chia 4 dư 2
=> \(1974^{4^{30}}⋮4\)=> \(1974^{4^{30}}+2013\)chia 4 dư 3
+ x lẻ
=> \(\left(19^x+1\right)⋮\left(19+1\right)=20⋮4\)
Lại có \(\left(5^y-1\right)⋮\left(5-1\right)=4\)
1890 chia 4 dư 2
=> \(19^x+5^y+1890\)chia 4 dư 2( loại vì VP chia 4 dư 3)
+ \(x\)chẵn Đặt \(x=2k\)
=> \(19^x=19^{2k}=361^k\)
=> \(19^x-1=\left(361^k-1\right)⋮\left(361-1\right)⋮4\)
Lại có \(5^y-1⋮4\)
=> \((19^x+5^y-2)⋮4\)
=> \(\left(19^x+5^y+1890\right)⋮4\)(loại vì VP chia 4 dư 3)
=> PT vô nghiệm
Vậy PT vô nghiệm