Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\left(x-\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)=2\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2-2xy-1=0\)
Giải ra tìm được xy thế vô pt sau giải tiếp
\(_{\hept{\begin{cases}x^2y+2y+x=4xy\\\frac{1}{x^2}+\frac{1}{xy}+\frac{x}{y}=3\left(2\right)\end{cases}}}\left(1\right)\)
Đk: x; y khác 0
(1) <=> \(x+\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=4\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=4\) (3)
(2) <=> \(\left(\frac{1}{x^2}+1\right)+\left(\frac{1}{xy}+\frac{x}{y}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(1+x^2\right)}{x^2}+\frac{\left(1+x^2\right)}{xy}=4\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=4\) (4)
Từ (3) ; (4) ta có:
\(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{x}=2\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=1\)
\(\hept{\begin{cases}y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}\left(1\right)\\4xy^3+y^2+\frac{1}{2}\ge2x^2+\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\left(2\right)\end{cases}}\)
\(VP\left(1\right)=\sqrt{\frac{1}{4}-\left(xy-\frac{1}{2}\right)^2}\le\frac{1}{2}\Rightarrow VT\left(1\right)=y^6+y^3+2x^2\le\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^3+4x^2\le1\left(3\right)\)
Từ (2)(3) => \(8xy^3+2y^3+2\ge2y^6+4x^2+4x^2+2\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow8xy^3+2\ge2y^6+8x^2+2\sqrt{2+\left(2x-y\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow4xy^3+1\ge y^6+4x^2+\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow1-\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\ge y^6-4xy^3+4x^2=\left(y^3-2x\right)^2\left(4\right)\)
\(VT\left(4\right)\le0;VP\left(4\right)\ge0\). Do đó:
(4) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\y^3=2x\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\y^3=y\end{cases}}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{-1}{2}\\y=-1\end{cases}}\)
Thử lại chỉ có \(\left(x;y\right)=\left(\frac{-1}{2};-1\right)\)thỏa mãn
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\frac{-1}{2};-1\right)\)
ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\frac{x}{y+1}\right)^2+\left(\frac{y}{x+1}\right)^2=\frac{1}{2}\\\left(\frac{x}{y+1}\right)\left(\frac{y}{x+1}\right)=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{y+1}=u\\\frac{y}{x+1}=v\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u^2+v^2=\frac{1}{2}\\uv=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u^2+v^2=\frac{1}{2}\\2uv=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow u^2-2uv+v^2=0\Rightarrow u=v\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}u=v=\frac{1}{2}\\u=v=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{y+1}=\frac{1}{2}\\\frac{y}{x+1}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{y+1}=-\frac{1}{2}\\\frac{y}{x+1}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2x=y+1\\2y=x+1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2x=-y-1\\2y=-x-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\-x+2y=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2x+y=-1\\x+2y=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) bạn tự bấm casio ra kết quả
ĐK: x-y>0
pt (2) <=> \(x^2+y^2-\frac{8xy}{x-y}=16\)
<=> \(x^2+y^2-2xy-\frac{8xy}{x-y}-16+2xy=0\)
<=> \(\left(x-y\right)^2-\frac{8xy}{x-y}-16+2xy=0\)
<=> \(\left(x-y\right)^3-16\left(x-y\right)+2xy\left(x-y\right)-8xy=0\)
<=> \(\left(x-y\right)\left(x-y-4\right)\left(x-y+4\right)+2xy\left(x-y-4\right)=0\)
<=> \(\left(x-y-4\right)\left[\left(x-y\right)\left(x-y+4\right)+2xy\right]=0\)(a)
Vì \(\left(x-y\right)\left(x-y+4\right)+2xy=\left(x-y\right)^2+4\left(x-y\right)+2xy=x^2+y^2+4\left(x-y\right)>0\)
Nên (a) <=> \(x-y-4=0\Leftrightarrow x=y+4\)thế vào pt (1) ta có:
\(\sqrt{4}+9=2y^2-\left(y+4\right)\Leftrightarrow2y^2-y-15=0\)
Em làm tiếp nhé! giải đen ta ra nghiệm đẹp.
Đặt x +\(\frac{1}{x}\) =a, y+\(\frac{1}{y}\)=b
hpt<=>\(\hept{\begin{cases}a^2-2+b^2-2=1\\a+b=3\end{cases}}\) | |
---|---|
đến đây thì dễ rồi , có tổng với tích | |
bạn tìm ra a,b rồi tương tự tìm x,y |