Question

[Lan Hương Nguyễn Thị]

Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà tổng của 2 chữ số chia hết cho hiệu của hai chữ số?

Answer 1

[when the imposter is sus]

Gọi các số cần tìm là ab, a khác 0. Theo đề ta có:

(a + b) chia hết (a - b)

Có một số trường hợp:

a - b = 1, khi đó có 9 cặp (a; b) gồm (1; 0), (2;1), (3;2), (4;3), (5;4), (6;5), (7;6), (8;7), (9;8)

a - b = 2, dễ thấy các cặp (a;b) gồm toàn các số chẵn hoặc các số lẻ đều thỏa mãn điều kiện.

Nếu cả a và b đều là số chẵn:

a có 4 lựa chọn (2; 4; 6; 8) thì b có 4 lựa chọn (0; 2; 4; 6), suy ra có 4 cặp.

Nếu cả a và b đều là số lẻ:

a có 4 lựa chọn (3; 5; 7; 9) thì b có 4 lựa chọn (1; 3; 5; 7), suy ra có 4 cặp.

a - b = 3, khi đó a + b chia hết cho 3.

Nếu cả a lẫn b đều chia hết cho 3 thì a có 3 lựa chọn (3; 6; 9) thì b có 3 lựa chọn (0; 3; 6), suy ra có 3 cặp.

Nếu a hoặc b không chia hết cho 3 thì số kia cũng không chia hết cho 3. Vì a - b = 3 nên cả a và b đều cùng số dư, nhưng từ dữ kiện a + b = 3 thì cả hai số đều khác số dư, vô lí.

a - b = 4, khi đó a + b chia hết cho 4.

Nếu cả a và b chia hết cho 4 thì a có 2 lựa chọn (4; 8) thì b có 2 lựa chọn (0; 4), suy ra có 2 cặp.

Nếu a hoặc b không chia hết cho 4 thì số kia cũng không chia hết cho 4. Giải thích tương tự như trường hợp a - b = 3, cũng vô lí.

a - b = 5, chỉ có cặp (a; b) là (5; 0) thỏa mãn điều kiện. Nếu a - b lớn hơn 5 thì cả a lẫn b đều không chia hết cho hiệu của a và b. Tương tự như trường hợp a - b = 3, vô lí.

Vậy tổng số các số có hai chữ số thỏa mãn điều kiện trên là:

9 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1 = 23 (số)