Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
d) => 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab+ 2bc + 2ca
=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
( a^2 - 2ab+b^2 ) + ( a^2 - 2ac + c^2) + ( b^2 - 2bc - c^2) = 0
(a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 = 0
=> | ( a-b)^2 = 0 => a=b
| ( a-c)^2 = 0 => a=c
| ( b-c)^2 = 0 => b=c
=>>> a=b=c
a. \(a^3+a^2c-abc+b^2c+b^3\)
<=> \(\left(a^3+b^3\right)+c\left(a^2-ab+b^2\right)\)
<=> (\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+c\left(a^2-ab+b^2\right)\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
vì a+b+c =0 => đpcm
b. 2(a+1)(b+1)=(a+b)(a+b+2)
<=> \(2\left(ab+a+b+1\right)=\)\(a^2+ab+2a+ab+b^2+2b\)
<=> \(2ab+2a+2b+2=a^2ab+2a+ab+b^2+2b\)
<=> \(a^2+b^2=2\)=> đpcm
B1:a2+b2+c2=ab+bc+ac tương đương 2(a2+b2+c2) - 2(ab+bc+ac) =0
suy ra 2a2 +2b2 +2c2 -2ab-2bc-2ac=0
suy ra (a2 -2ab+b2) +(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)=0
suy ra (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0 suy ra (a-b)2=0 tương đương a-b=0 suy ra a=b (1)
(b-c)2=0 tương đương b-c=0 suy ra b=c (2)
(a-c)2 =0 tương đương a-c=0 suy ra b=c (3)
từ (1);(2);(3)suy ra a=b=c.Mà a=b=c=9 suy ra a=b=c=3(đpcm)
bai 1 : ve trai : a2 + b2 + c2 = a.a + b.b + c.c = (a.b) + (b.c) +(c.a) = ab + bc +ca = ve phai
ma a+b+c=9 suy ra : 3+3+3=9 suy ra a ;b;c deu bang 3
vi ve trai = ve phai ma a ;b ;c =3 vay dang thuc duoc chung minh
a) \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
b) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2-2ab\right)+\left(b^2+c^2-2bc\right)+\left(c^2+a^2-2ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=c\)
1)a + b + c = 0
<=> (a + b + c)² = 0
<=> a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0
<=> a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca) ------------(1)
CẦn chứng minh:
2(a^4 + b^4 + c^4) = (a² + b² + c²)²
<=> 2(a^4 + b^4 + c^4) = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a²b² + b²c² + c²a²)
<=> a^4 + b^4 + c^4 = 2(a²b² + b²c² + c²a²)
<=> (a² + b² + c²)² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ---(cộng 2 vế cho 2(a²b² + b²c² + c²a²) )
<=> [-2(ab + bc + ca)]² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ----(do (1))
<=> 4.(a²b² + b²c² + c²a²) + 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 4(a²b² + b²c² + c²a²)
<=> 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 0
<=> 8abc.(a + b + c) = 0
<=> 0 = 0 (đúng), Vì a + b + c = 0
=> Đpcm
2Quy đồng hết lên là ra thui :) . Đặt thế này cho dễ : x = a/b , y = b/c , z = c/a => xyz = 1
BĐT cần Cm <=> x² + y² + z² ≥ 1/x + 1/y + 1/z
<=> x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx ( BĐT quen thuộc đây mà )
<=> 2(x² + y² + z² ) - 2(xy + yz + zx) ≥ 0
<=> (x - y)² + (y - z)² + (z - x)² ≥ 0 ( Luon dung ) => DPCM
Dấu = xảy ra <=> x = y = z <=> a = b = c
Vậy a²/b² + b²/c² + c²/a² ≥ c/b + b/a + a/c . Dấu = xảy ra <=> x = y = z <=> a = b = c
- - - - - - - - - - - - -- - - - - -
b) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\) (chuyển vế qua)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)
Do VP >=0 với mọi a, b, c. Nên để đăng thức xảy ra thì a = b = c
\(a^2-a=a\left(a-1\right)⋮2\)(2 số tự nhiên liên tiếp)