Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=0\left(1\right)\)
Lại có:\(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2-b^2=-a\\b^2-c^2=-b\\c^2-a^2=-c\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right).\left(a+b\right)=-a\\\left(b-c\right).\left(b+c\right)=-b\\\left(c-a\right).\left(c+a\right)=-c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)=-\frac{a}{a+b}\\\left(b-c\right)=-\frac{b}{b+c}\\\left(c-a\right)=-\frac{c}{a+c}\end{cases}}\)
Từ (1) \(\Rightarrow\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(c-a\right)=-\left(\frac{a}{a+b}\cdot\frac{b}{b+c}\cdot\frac{c}{a+c}\right)=\frac{-abc}{-c.\left(-a\right).\left(-b\right)}=1\)
Ta có \(\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\x^3+y^3=a^3+b^3\end{cases}\left(1\right)}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\xy\left(a+b\right)=ab\left(a+b\right)\end{cases}\left(2\right)}\)
Nếu \(a+b\ne0\)thì \(\left(2\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\xy=ab\end{cases}}\)
=> x,y là 2 nghiệm của phương trình \(X^2-\left(a+b\right)X+ab=0\)
Giải ra ta có \(\hept{\begin{cases}x=b\\y=a\end{cases};\hept{\begin{cases}x=a\\y=b\end{cases}}}\)\(\Rightarrow x^{2011}+y^{2011}=a^{2011}+b^{2011}\)(3)
Nếu \(a+b=0\Rightarrow a=-b\)
Ta có hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\x^3+y^3=0\end{cases}\Rightarrow x=-y}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^{2011}+y^{2011}=0\\a^{2011}+y^{2011}=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^{2011}+y^{2011}=a^{2011}+b^{2011}\)(4)
Từ (3) và (4) => đpcm
#)Giải :
Ta có : \(\hept{\begin{cases}ax+by=c\\bx+cy=a\\cx+ay=b\end{cases}\Rightarrow ax+by+bx+cy+cx+ay=c+a+b}\)
\(\Rightarrow x\left(a+b+c\right)+y\left(a+c+b\right)=a+b+c\)
\(\Rightarrow\left(x+y-1\right)\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=a^3+3ab\left(a+b\right)+b^3-3ab\left(a+b\right)+c^3\)
\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3\)
\(=\left(-c\right)^3-3ab\left(-c\right)+c^3=3abc\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Bài 1:
Ta có: a + b - 2c = 0
⇒ a = 2c − b thay vào a2 + b2 + ab - 3c2 = 0 ta có:
(2c − b)2 + b2 + (2c − b).b − 3c2 = 0
⇔ 4c2 − 4bc + b2 + b2 + 2bc − b2 − 3c2 = 0
⇔ b2 − 2bc + c2 = 0
⇔ (b − c)2 = 0
⇔ b − c = 0
⇔ b = c
⇒ a + c − 2c = 0
⇔ a − c = 0
⇔ a = c
⇒ a = b = c
Vậy a = b = c
1,https://diendantoanhoc.net/topic/157361-t%C3%ACm-c%C3%A1c-s%E1%BB%91-nguy%C3%AAn-x-y-tho%E1%BA%A3-m%C3%A3n-x3y32016/
\(A=\left(b+c\right)^2+b^2+c^2=2b^2+2c^2+2bc=2\left(b^2+bc+c^2\right)\) (tự hiểu nhé)
Mà \(a^2=2\left(a+c+1\right)\left(a+b-1\right)=2a^2+2\left(ab+bc+ca\right)+2\left(b-c\right)-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a\left(b+c\right)+2bc-2=0\) (*)
\(\Leftrightarrow2bc=2-a^2-2a\left(b+c\right)=2-\left(b+c\right)^2+2\left(b+c\right)^2\) (mấy cái này là từ a + b + c =0 suy ra a = -(b+c) suy ra a2 = [-(b+c)]2 = (b+c)2 thôi!)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2-2bc=-2\)
hay c2 + b2 = -2?? hay là mình làm sai nhì?
\(a^2=2\left(a+c+1\right)\left(a+b-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2=\left(b-1\right)\left(c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2+\left(c+1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a=0,b=1,c=-1\)
\(\Rightarrow A=2\)
\(\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\)
\(=\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a+c}+\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}\)
Áp dụng bđt Cô Si: \(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\ge2\left(a+b\right)\)
Tương tự,cộng theo vế và rút gọn =>đpcm
\(\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\)
\(=\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a+c}+\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}\)
Áp dụng bđt CÔ si
\(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\ge2\left(a+b\right)\)
.............
\(10a^2-b^2+ab=0\)
\(\Rightarrow10a^2+6ab-5ab-3b^2=0\)
\(\Rightarrow2a\left(5a+3b\right)-b\left(5a+3b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(5a+3b\right)\left(2a-b\right)=0\)
Mà \(b>a>0\Rightarrow5a+3b>0\)
Do đó: \(2a-b=0\Rightarrow2a=b\)
Ta có: \(B=\frac{2a-b}{3a-b}+\frac{5b-a}{3a+b}\)
\(=0+\frac{10a-a}{3a+2a}\) (vì b = 2a)
\(=0+\frac{9}{5}=\frac{9}{5}\)
Vậy \(A=\frac{9}{5}\)
Chúc bạn học tốt.
Bạn xem lại đề nhé :
Phương trình \(b^3-3b^2+5b+11=0\)không có nghiệm dương nhé
\(VT=b\left(b-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{11}{4}b+11>0\forall b>0\)
Dạ đề đúng mà ???