Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
\(6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá
2.
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1\)
\(VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
3.
\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}\)
Tương tự: \(\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}\) ; \(\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}\) ; \(\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}\)
Cộng vế với vế và rút gọn ta được: \(3VT\ge3VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=1\)
4.
ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)
\(y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8\)
\(\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)
Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2\)
\(y_{min}=-2\) khi \(x=-2\)
Đề bài sai, phản ví dụ: \(x=y=\dfrac{1}{16};z=256\)
Nói chung, chỉ cần 2 biến đủ nhỏ là BĐT này đều sai
d.
Với \(x-4\ne0;\forall x< 0\Rightarrow\dfrac{x-3}{x-4}\) xác định với mọi \(x< 0\)
\(x+1>0;\forall x\ge0\Rightarrow\sqrt{x+1}\) xác định với mọi \(x\ge0\)
\(\Rightarrow\) Hàm xác định trên R
e.
Ta có:
\(\sqrt{x^2+2x+5}-\left(x+1\right)=\sqrt{\left(x+1\right)^2+4}-\left(x+1\right)\)
\(>\sqrt{\left(x+1\right)^2}-\left(x+1\right)=\left|x+1\right|-\left(x+1\right)\ge0\) ; \(\forall x\)
\(\Rightarrow\) Hàm xác định trên R
Đặt \(\sqrt{x}=t\left(t\ge0\right)\) ta có:
\(f\left(t\right)=t^8-t^5+t^2-t+1\)
*)Với \(t=0;t=1\Rightarrow f\left(t\right)=1>\)
*)Với \(0\le t< 1\) thì \(f\left(t\right)=t^8+\left(t^2-t^5\right)+1-t\)
\(\left\{{}\begin{matrix}t^8>0\\1-t>0\\t^2-t^5=t^3\left(1-t\right)>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow f\left(t\right)>0\)
*)Với \(t\ge1\) thì \(f\left(t\right)=t^5\left(t^3-1\right)+t\left(t-1\right)+1>0\)
Vậy \(f\left(t\right)>0\forall t\ge0\Rightarrow x^4-\sqrt{x^5}+x-\sqrt{x}+1>0\forall x\ge0\)