K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

DD
27 tháng 5 2021

\(x^2-xy+y^2=\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)

Tương tự ta cũng có: \(\sqrt{x^2-xz+z^2}=\frac{1}{2}\left(x+z\right)\)

Suy ra \(\sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{x^2-xz+z^2}\ge\frac{1}{2}\left(2x+y+z\right)=1\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\).

NV
22 tháng 12 2022

Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P

Ta có:

\(P=\dfrac{\sqrt{xy+\left(x+y+z\right)z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}\)

\(P\ge\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{xy}+z\right)^2}+\sqrt{\left(x+y\right)^2}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+x+y+z}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+1}{1+\sqrt{xy}}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

14 tháng 1 2021

Ta có x + y + z = 1 nên z = 1 - x - y.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(\dfrac{\sqrt{xy+z\left(x+y+z\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge1+\sqrt{xy}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:

\(\left(z+x\right)\left(z+y\right)\ge\left(\sqrt{z}.\sqrt{z}+\sqrt{x}.\sqrt{y}\right)^2=\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}=\sqrt{xy}-x-y+1\); (1)

\(\sqrt{2x^2+2y^2}=\sqrt{\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\). (2)

Cộng vế với vế của (1), (2) ta có đpcm.

 

 

8 tháng 4 2021

a) Giả sử \(x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\frac{1}{3}.3\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge x^2+xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2-3xy+3y^2-x^2-xy-y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-4xy+2y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi \(x,y\in R\)).

Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow x=y\).

Vậy \(x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)\)với \(x,y\in R\).

8 tháng 4 2021

Đặt \(A=\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\left(x,y,z>0\right)\)

Và đặt \(B=\frac{y\sqrt{y}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{z\sqrt{z}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{x\sqrt{x}}{z+\sqrt{zx}+x}\left(x,y,z>0\right)\)

Đặt \(\sqrt{x}=m,\sqrt{y}=n,\sqrt{z}=p\left(m,n,p>0\right)\)thì theo đề bài : \(m+n+p=2\)

Lúc đó:

\(A=\frac{m^2.m}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^2.n}{n^2+np+p^2}+\frac{p^2.p}{p^2+pm+m^2}\)

\(A=\frac{m^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3}{p^2+pm+m^2}\)

Và \(B=\frac{n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{m^3}{p^2+pm+m^2}\)

Xét hiệu \(A-B=\frac{m^3-n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3-p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3-m^3}{p^2+pm+m^2}\)

\(\Leftrightarrow A-B=\frac{\left(m-n\right)\left(m^2+mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}+\frac{\left(n-p\right)\left(n^2+np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\)\(+\frac{\left(p-m\right)\left(p^2+pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}\)

\(\Leftrightarrow A-B=\left(m-n\right)+\left(n-p\right)+\left(p-m\right)\)

\(\Leftrightarrow A-B=m-n+n-p+p-m=0\)

\(\Leftrightarrow A=B\)

Xét \(A+B=\frac{m^3+n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3+p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3+m^3}{p^2+pm+m^2}\)

\(\Leftrightarrow A+A=2A=\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+m+n^2}+\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\)\(\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}\)

Theo câu a), ta có \(x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)\)với \(x,y\in R\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{1}{3}\left(1\right)\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)

Áp dụng bất đẳng thức (1) (với \(m,n>0\)), ta được:

\(\frac{m^2-mn+n^2}{m^2+mn+n^2}\ge\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}\ge\frac{m+n}{3}\left(2\right)\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow m=n>0\)

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\ge\frac{n+p}{3}\left(3\right)\)

Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow n=p>0\)

\(\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}\ge\frac{p+m}{2}\left(4\right)\)

Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow p=m>0\)

Từ \(\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)\), ta được:

\(\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}+\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\)\(+\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2-pm+m^2}\ge\frac{m+n}{3}+\frac{n+p}{3}+\frac{p+m}{3}\)

\(\Leftrightarrow2A\ge\frac{m+n+n+p+p+m}{3}\)

\(\Leftrightarrow2A\ge\frac{2\left(m+n+p\right)}{3}\)

\(\Leftrightarrow A\ge\frac{m+n+p}{3}\)

\(\Leftrightarrow A\ge\frac{2}{3}\)(vì \(m+n+p=2\)) (điều phải chứng minh).

Dấu bằng xảy ra.

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=n=p>0\\m+n+p=2\end{cases}}\Leftrightarrow m=n=p=\frac{2}{3}\)\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{4}{9}\)

Vậy nếu \(x,y,z>0\) và \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2\)thì: \(\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\ge\frac{2}{3}\).

6 tháng 2 2020

 Đoạn cuối của cô Nguyễn Linh Chi em có 1 cách biến đổi tương đương cũng khá ngắn gọn ạ

\(RHS\ge2\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)

Theo đánh giá của cô Nguyễn Linh Chi thì \(xy+yz+zx\ge x+y+z\ge3\)

Ta cần chứng minh:\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}\)

Thật vậy,BĐT tương đương với:

\(2\left(x+y+z\right)^2\ge x^2+y^2+z^2-x-y-z+18\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+x+y+z-12\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z+4\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\) ( luôn đúng với \(x+y+z\ge3\) )

=> đpcm

6 tháng 2 2020

Áp dụng: \(AB\le\frac{\left(A+B\right)^2}{4}\)với mọi A, B

Ta có:

\(x^3+8=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)\le\frac{\left(x+2+x^2-2x+4\right)^2}{4}\)

=> \(\sqrt{x^3+8}\le\frac{x^2-x+6}{2}\)

=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}\)

Tương tự 

=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\)

\(\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}+\frac{2y^2}{y^2-y+6}+\frac{2z^2}{z^2-z+6}\)

\(=2\left(\frac{x^2}{x^2-x+6}+\frac{y^2}{y^2-y+6}+\frac{z^2}{z^2-z+6}\right)\)

\(\ge2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2-x+6+y^2-y+6+z^2-z+6}\)

\(=2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)(1)

Ta có: \(x+y+z\le xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) với mọi x, y, z 

=> \(\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)\ge0\)

=> \(\left(x+y+z\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\)

=> \(x+y+z\ge3\)với mọi x, y, z dương

Và \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)\)

Do đó: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}\)

Đặt: x + y + z = t ( t\(\ge3\))

Xét hiệu: \(\frac{t^2}{t^2-3t+18}-\frac{1}{2}=\frac{t^2+3t-18}{t^2-3t+18}=\frac{\left(t-3\right)\left(t+6\right)}{\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{63}{4}}\ge0\)với mọi t \(\ge3\)

Do đó: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}\)(2)

Từ (1); (2) 

=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge2.\frac{1}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra <=> x= y = z = 1

AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2023

Chứng minh gì bạn?

5 tháng 2 2020

Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\)

Mà \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le x+y+z\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = \(\frac{3}{2}\)

5 tháng 2 2020

nhầm sửa x = y = z = 1 nha

15 tháng 3 2021

Ta có: 

\(2\left(2x^2+xy+2y^2\right)=3\left(x^2+y^2\right)+\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)^2+1\left(x+y\right)^2=\dfrac{5}{2}\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)

Gợi ý. Dùng cái trên.

15 tháng 3 2021

Mọi người giúp mình với a :))

16 tháng 8 2021

Ta có:\(\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2017}}=\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+xy+yz+zx}}=\sqrt{\dfrac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

  \(=\sqrt{\dfrac{y}{x+y}\cdot\dfrac{z}{x+z}}\le\dfrac{\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}}{2}\)

Tương tự ta có:\(\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+2017}}\le\dfrac{\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{z}{y+z}}{2}\)

                         \(\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2017}}\le\dfrac{\dfrac{y}{z+y}+\dfrac{x}{x+z}}{2}\)

Cộng vế với vế ta có:

\(\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2017}}\)

\(\le\dfrac{\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}+\dfrac{z}{z+y}+\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{z+y}+\dfrac{x}{x+z}}{2}\)

\(=\dfrac{\dfrac{x+y}{x+y}+\dfrac{y+z}{y+z}+\dfrac{z+x}{z+x}}{2}=\dfrac{1+1+1}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{2017}}{\sqrt{3}}\)

8 tháng 4

Tại sao x=y=z=$\sqrt{\dfrac{2017}{3}}$ vậy ạ?

23 tháng 8 2021

vì x2+y2+z2=1 mà x2+y2+z2>=xy+yz+xz suy ra 1>= xy+yz+xz

x2+y2+z2=1 suy ra (x-y)2=1-2xy-z2 ,(y-z)2=1-2yz-x2,(x-z)2=(x-z)2=1-2xz-y2

\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2]=\)

\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-\left(2xy+z^2+2yz+x^2+2xz+y^2\right)]\)(do (x-y)2=1-2xy-z2(y-z)2=1-2yz-x2,(x-z)2=(x-z)2=1-2xz-y2)

theo bdt cosi ta có:

\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-\left(2xy+z^2+2yz+x^2+2xz+y^2\right)]\)

\(\le\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-\left(2z\sqrt{2xy}+2y\sqrt{2xz}+2x\sqrt{2yz}\right)]\)

\(\le\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-3\sqrt[3]{\left(2z\sqrt{2xy}.2y\sqrt{2xz}.2x\sqrt{2yz}\right)}\)

\(=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}[1-2\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}]\)\(=\sqrt{3}\left(1+\frac{1}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\right)=\sqrt{3}\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\right)\)

suy ra 

\(\frac{x+y+z}{xy+yz+xz}\ge3.\sqrt[3]{xyz}\left(doxy+yz+xz\le1\right)\)

ta giả sử:

\(3\sqrt[3]{xyz}\ge\sqrt{3}\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\right)\Leftrightarrow\sqrt{3}\ge\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\) mà \(\sqrt{3}>\frac{3}{2}\)

suy ra \(\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\)(luôn đúng) suy ra điều giả sử trên là đúng

hay \(3\sqrt[3]{xyz}\ge\sqrt{3}\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\right)\)

mà \(\frac{x+y+z}{xy+yz+xz}\ge3.\sqrt[3]{xyz}\),\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-\left(2xy+z^2+2yz+x^2+2xz+y^2\right)]\)\(\le\sqrt{3}\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\right)\)

suy ra \(\frac{x+y+z}{xy+yz+xz}\ge\)\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-\left(2xy+z^2+2yz+x^2+2xz+y^2\right)]\)

suy ra \(\frac{x+y+z}{xy+yz+xz}\ge\)\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2]\)(đpcm)

em mới có lớp 8, nếu em làm sai cho em xin lỗi nha anh

23 tháng 8 2021

bạn ơi đk: 1 trong 3 số x,y,z là >=0 còn lại là >0 thì nó vẫn ra điều trên