Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ Xét pt :
\(x^2-2\left(m-1\right)+2m-5=0\)
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-5\right)=m^2-2m+1-2m+5=m^2-4m+6=\left(m-2\right)^2+2>0\forall m\)
\(\Leftrightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m
b/ Phương trình cớ 2 nghiệm trái dấu
\(\Leftrightarrow2m-5< 0\)
\(\Leftrightarrow m< \dfrac{5}{2}\)
c/ Theo định lí Vi - et ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1.x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)
\(A=x_1^2+x_2^2\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2\)
\(=4\left(m-1\right)^2-2\left(2m-5\right)\)
\(=4m^2-8m+4-4m+10\)
\(=4m^2-12m+14=4\left(m^2-3m+\dfrac{9}{4}\right)+5=4\left(m-\dfrac{3}{2}\right)^2+5\ge5\)
\(A_{min}=5\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)
1, \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-5\right)=m^2-4m+6=\left(m-2\right)^2+2>0\)
Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m
2, Vì pt có 2 nghiệm trái dấu
\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-5< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{5}{2}\)
3, Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)
\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m-1\right)^2-2\left(2m-5\right)\)
\(=4m^2-12m+14=4m^2-2.2m.3+9+6\)
\(=\left(2m-3\right)^2+6\ge6\forall m\)
Dấu ''='' xảy ra khi m = 3/2
Vậy với m = 3/2 thì A đạt GTNN tại 6
a) Xét pt đã cho có \(a=m^2+m+1\); \(b=-\left(m^2+2m+2\right)\); \(c=-1\)
Nhận thấy rằng \(ac=\left(m^2+m+1\right)\left(-1\right)=-\left(m^2+m+1\right)\)
\(=-\left(m^2+2m.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\right)=-\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{4}\)
Vì \(-\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2\le0\) và \(-\dfrac{3}{4}< 0\) nên \(-\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{4}< 0\) hay \(ac< 0\). Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm trái dấu.
b) Theo câu a, ta đã chứng minh được pt đã cho luôn có 2 nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\).
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có \(S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-\left(m^2+2m+2\right)}{m^2+m+1}=\dfrac{m^2+2m+2}{m^2+m+1}\)
Nhận thấy \(m^2+m+1\ne0\) nên ta có:
\(\left(m^2+m+1\right)S=m^2+2m+2\) \(\Leftrightarrow Sm^2+Sm+S-m^2-2m-2=0\)\(\Leftrightarrow\left(S-1\right)m^2+\left(S-2\right)m+\left(S-2\right)=0\)(*)
pt (*) có \(\Delta=\left(S-2\right)^2-4\left(S-1\right)\left(S-2\right)\)\(=S^2-4S+4-4\left(S^2-3S+2\right)\)\(=S^2-4S+4-4S^2+12S-8\)\(=-3S^2+8S-4\)
Để pt (*) có nghiệm thì \(\Delta\ge0\) hay \(-3S^2+8S-4\ge0\)\(\Leftrightarrow-3S^2+6S+2S-4\ge0\)\(\Leftrightarrow-3S\left(S-2\right)+2\left(S-2\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(S-2\right)\left(2-3S\right)\ge0\)
Ta xét 2 trường hợp:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}S-2\ge0\\2-3S\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S\ge2\\S\le\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}S-2\le0\\2-3S\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S\le2\\S\ge\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}\le S\le2\) (nhận)
Khi \(S=\dfrac{2}{3}\) thì (*) \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2}{3}-1\right)m^2+\left(\dfrac{2}{3}-2\right)m+\dfrac{2}{3}-2=0\)\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{3}m^2-\dfrac{4}{3}m-\dfrac{4}{3}=0\)\(\Leftrightarrow m^2+4m+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow m+2=0\) \(\Leftrightarrow m=-2\)
Khi \(S=2\) thì (*) \(\Leftrightarrow\left(2-1\right)m^2+\left(2-2\right)m+2-2=0\)\(\Leftrightarrow m^2=0\)
\(\Leftrightarrow m=0\)
Vậy GTNN của S là \(\dfrac{2}{3}\) khi \(m=-2\) và GTLN của S là \(2\) khi \(m=0\)
a/
ta có : Δ = [-(m - 2) ]2 - 4 . 1 . (m - 5)
= m2 - 2m + 4 - 4m + 20
= m2 - 6m + 24
để pt có nghiệm thì : Δ ≥ 0
⇔ m2 - 6m + 24 ≥ 0
⇔ m2 - 2 . 3 . m + 32 + 15 ≥ 0
⇔ ( m - 3 )2 +15 ≥ 0
ta thấy : ( m - 3 )2 ≥ 0 ==> ( m - 3 )2 + 15 ≥ 15 > 0
Vậy pt trên luôn có nghiệm với mọi m
b/
:v
Ta có \(ac=-m^2-2< 0\) ; \(\forall m\) nên pt đã cho luôn có 2 nghiệm trái dấu
Mà \(x_1< x_2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1< 0\\x_2>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x_1\right|=-x_1\\\left|x_2\right|=x_2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=4\Leftrightarrow-2x_1-x_2=4\)
Kết hợp với hệ thức Viet: \(x_1+x_2=-m+1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2x_1-x_2=4\\x_1+x_2=-m+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x_1=-m+5\\x_1+x_2=-m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=m-5\\x_2=-2m+6\end{matrix}\right.\)
Thay vào \(x_1x_2=-m^2-2\)
\(\Rightarrow\left(m-5\right)\left(-2m+6\right)=-m^2-2\)
\(\Leftrightarrow m^2-16m+28=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=14\end{matrix}\right.\)
a. + Với m = − 1 2 phương trình (1) trở thành x 2 − 4 x = 0 ⇔ x = 0 x = 4 .
+ Vậy khi m = − 1 2 phương trình có hai nghiệm x= 0 và x= 4.
b. + Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi
Δ = 2 m + 5 2 − 4 2 m + 1 > 0 x 1 + x 2 = 2 m + 5 > 0 x 1 . x 2 = 2 m + 1 > 0
+ Ta có Δ = 2 m + 5 2 − 4 2 m + 1 = 4 m 2 + 12 m + 21 = 2 m + 3 2 + 12 > 0 , ∀ m ∈ R
+ Giải được điều kiện m > − 1 2 (*).
+ Do P>0 nên P đạt nhỏ nhất khi P 2 nhỏ nhất.
+ Ta có P 2 = x 1 + x 2 − 2 x 1 x 2 = 2 m + 5 − 2 2 m + 1 = 2 m + 1 − 1 2 + 3 ≥ 3 ( ∀ m > − 1 2 ) ⇒ P ≥ 3 ( ∀ m > − 1 2 ) .
và P = 3 khi m= 0 (thoả mãn (*)).
+ Vậy giá trị nhỏ nhất P = 3 khi m= 0.
\(x^2-2\left(m+1\right)x+2m=0\left(1\right)\)
a, \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m=m^2+>0\forall m\)
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt
b, Để phương trình có hai nghiệm cùng dương thì :
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\S>0\\P>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+1>0\left(luôn-đúng\right)\\2\left(m+1\right)>0\\2m>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\m>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m>0\)
c, Theo viét \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\left(2\right)\\x_1x_2=2m\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Trừ vế theo vế (2) cho (3) được : \(x_1+x_2-x_1x_2=2m+2-2m=2\)
Kết luận ....
Để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì \(1\left(m^2+2m\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow m^2+2m< 0\)
\(\Leftrightarrow m^2+2m+1< 1\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2< 1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1>-1\\m+1< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-2\\m< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-2< m< 0\)
Ta có: \(\Delta'=1>0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo Vi-ét: \(x_1x_2=m^2+2m\)
Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
\(\Leftrightarrow m^2+2m< 0\) \(\Leftrightarrow-2< m< 0\)
Vậy để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì \(-2< m< 0\)