Question

[Trần Minh Hoàng]

Cho n là số tự nhiên

C/m rằng n² chia cho 3 hoặc chia cho 4 được dư bằng 0 hoặc 1

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Chứng minh $n^2$ chia $3$ dư $0$ hoặc $1$. Bạn xét modulo $3$ cho $n$

- Với $n\equiv 0\pmod 3\Rightarrow n^2\equiv 0\pmod 3$

- Với $n\equiv 1\pmod 3\Rightarrow n^2\equiv 1^2\equiv 1\pmod 3$

- Với $n\equiv 2\pmod 3\Rightarrow n^2\equiv 2^2\equiv 1\pmod 3$

Từ các TH trên suy ra $n^2$ chia $3$ dư $0$ hoặc $1$

---------------

Hoàn toàn tương tự:

- Với $n$ chẵn thì $n\vdots 2\Rightarrow n^2\vdots 4$ hay $n^2$ chia $4$ dư $0$

- Với $n$ lẻ thì $n$ chia $4$ dư $1$ hoặc $3$

Nếu $n\equiv 1\pmod 4\Rightarrow n^2\equiv 1^2\equiv 1\pmod 4$

Nếu $n\equiv 3\pmod 4\Rightarrow n^2\equiv 3^2\equiv 1\pmod 4$

Từ trên suy ra $n^2$ chia $4$ dư $0$ hoặc $1$

Ta có đpcm.

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

Chứng minh $n^2$ chia $3$ dư $0$ hoặc $1$. Bạn xét modulo $3$ cho $n$

- Với $n\equiv 0\pmod 3\Rightarrow n^2\equiv 0\pmod 3$

- Với $n\equiv 1\pmod 3\Rightarrow n^2\equiv 1^2\equiv 1\pmod 3$

- Với $n\equiv 2\pmod 3\Rightarrow n^2\equiv 2^2\equiv 1\pmod 3$

Từ các TH trên suy ra $n^2$ chia $3$ dư $0$ hoặc $1$

---------------

Hoàn toàn tương tự:

- Với $n$ chẵn thì $n\vdots 2\Rightarrow n^2\vdots 4$ hay $n^2$ chia $4$ dư $0$

- Với $n$ lẻ thì $n$ chia $4$ dư $1$ hoặc $3$

Nếu $n\equiv 1\pmod 4\Rightarrow n^2\equiv 1^2\equiv 1\pmod 4$

Nếu $n\equiv 3\pmod 4\Rightarrow n^2\equiv 3^2\equiv 1\pmod 4$

Từ trên suy ra $n^2$ chia $4$ dư $0$ hoặc $1$

Ta có đpcm.