Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Từ đề bài suy ra:
\(xy=\frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}=\frac{(a+b)(b+c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{(ab+bc+ac+b^2)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
\(yz=\frac{(b+c)(c+a)(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{(ab+bc+ac+c^2)(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
\(xz=\frac{(a+b)(c+a)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{(a^2+ab+bc+ac)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
Cộng theo vế:
\(xy+yz+xz=\frac{(ab+bc+ac)[(c-a)+(a-b)+(b-c)]+b^2(c-a)+c^2(a-b)+a^2(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
\(=\frac{b^2(c-a)+c^2(a-b)+a^2(b-c)}{-a^2b-b^2c-c^2a+ab^2+bc^2+ca^2}=\frac{a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2}{-(a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2)}=-1\) (đpcm)
Bạn ghi sai đề rồi nhé! Nếu ta lần lượt thay số vào các biến \(x,y,z\) ở vế trái của bất đẳng thức trên (chẳng hạng như \(\frac{1}{3}\)) kết hợp với chú ý rằng \(x=y=z\) (sẽ được chứng minh ở các bước sau này), khi đó kết quả sẽ cho ra khác, tức là \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) (vô lý!). Đó là lý do mình phải 'viết lại' đề cộng với một chút chỉnh sửa hợp lý về phương diện toán học. Hmmm, vất vả vật lộn với bài này quá nya. \(3\) \(s\) đi!
Đề: Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x+y+z=1\)
Chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}+\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}+\sqrt{\frac{xz}{y+yz}}\le\frac{3}{2}\) \(\left(\text{*}\right)\)
Lời giải:
Từ giả thiết đã cho ở trên, ta dễ dàng chứng minh được \(1>x,y,z>0\) với mọi \(x,y,z\in R^+\)
\(\Rightarrow\) \(1-x>0;\) \(1-y>0;\) \(1-z>0\)
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) cho hai số không âm với chú ý rằng \(x+y+z=1\) (theo giả thiết), ta có:
\(\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}=\sqrt{\frac{xy}{1-x-y+xy}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{1-y}+\frac{y}{1-x}\right)\) \(\left(1\right)\)
Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị \(y\) \(\rightarrow\) \(z\) \(\rightarrow\) \(x\), ta chứng minh được:
\(\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{1-z}+\frac{z}{1-y}\right)\) \(\left(2\right)\) và \(\sqrt{\frac{xz}{y+xz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{1-x}+\frac{x}{1-z}\right)\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế các bất đẳng thức \(\left(1\right);\) \(\left(2\right);\) và \(\left(3\right),\) ta được:
\(VT\left(\text{*}\right)\le\frac{1}{2}\left[\left(\frac{y}{1-x}+\frac{z}{1-x}\right)+\left(\frac{x}{1-y}+\frac{z}{1-y}\right)+\left(\frac{x}{1-z}+\frac{y}{1-z}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{2}=VP\left(\text{*}\right)\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{3}=\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{3xyz}\ge\frac{2}{\sqrt{3xyz\left(x+y+z\right)}}\ge\frac{2}{xy+yz+zx}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
lẽ ra x,y,z>0 chứ sao lại a,b,c>0 :))
Áp dụng bđt Cô-si:\(x^2+yz\ge2\sqrt{x^2.yz}=2x\sqrt{yz}\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+yz}\le\frac{1}{2x\sqrt{yz}}\)
tương tự: \(\frac{1}{y^2+xz}\le\frac{1}{2y\sqrt{xz}};\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{1}{2z\sqrt{xy}}\)
=>\(\frac{1}{x^2+yz}\)\(+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{1}{2x\sqrt{yz}}+\frac{1}{2y\sqrt{xz}}+\frac{1}{2z\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2xyz}\)
Mặt khác theo bđt Cô-si thì: \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2};\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2};\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\)
=>\(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z\)
=>\(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2xyz}\le\frac{x+y+z}{2xyz}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)\)
ta có đpcm.
Áp dụng cauchy cho mỗi mẫu số vế trái , có :
\(VT\le\frac{1}{2x\sqrt{yz}}+\frac{1}{2y\sqrt{xz}}+\frac{1}{2z\sqrt{xy}}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{xz}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{\sqrt{yz}}{xyz}+\frac{\sqrt{xz}}{xyz}+\frac{\sqrt{zx}}{xyz}\right)=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xz}}{xyz}\)
Biến đổi vế phải , có :
\(VP=\frac{1}{2}.\left(\frac{z}{xyz}+\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}\right)=\frac{1}{2}.\frac{x+y+z}{xyz}\)
Ta có :
\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
<=> \(2x+2y+2z\ge2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{zx}\) (đúng - Hệ quả của Cauchy, lên mạng sợt là ra )
=> \(\frac{1}{2}.\frac{x+y+z}{xyz}\ge\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{xyz}\)
=> \(VP\ge VT\)