Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:P=(a+b)(a+c)(b+c)-abc=(a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2+abc+abc)-abc
=(a2b+ab2+abc)+(a2c+ac2+abc)+(b2c+bc2+abc)-2abc
=ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)-2abc
=(a+b+c)(ab+ac+bc)-2abc
thấy a+b+c chia hết cho 4 => (a+b+c)(ab+bc+ac) chia hết cho 4 (1)
Do a+b+c chia hết cho 4 => tồn tại ít nhất trong 3 số a,b,c một số chia hết cho 2=>2abc chia hết cho 4 (2)
Tù (1) và (2)=>P chia hết cho 4
Cho P=(a+b)(b+c)(a+c)+abc
Nếu a,b,c thuộc Z và a+b+c chia hết cho 6
Chứng minh P-3abc chia hết cho 6
P - 3abc = (a+b)(b+c)(a+c)+abc - 3abc
= (a+b+c-c)(b+c)(a+c) - 2abc
= (a+b+c)(b+c)(a+c) - c(b+c)(a+c) - 2abc
= (a+b+c)(b+c)(c+a) - c(ab + bc +ac +c2) - 2abc
= (a+b+c)(b+c)(a+c) - c( ab +bc + ac +c2+ 2ab)
= (a+b+c)(b+c)(c+a) - c[(bc+c2+ac) + 3ab]
= (a+b+c)(b+c)(c+a) - c[c(b+c+a) + 3ab]
= (a+b+c)(b+c)(c+a) - c²(a+b+c) - 3abc
Ta có: a + b + c chia hết cho 6
⇒mà 6 ⋮ 2
⇒ a+b+c chia hết cho 2
⇒ a+b+c là số chẵn
⇒ trong 3 số a, b, c phải có ít nhất một số chẳn
⇒ abc ⋮ 2
⇒ 3abc ⋮ 6
mà a+b+c chia hết cho 6
⇒ (a+b+c)(b+c)(c+a) chia hết cho 6
c²(a+b+c) chia hết cho 6
⇒ (a+b+c)(b+c)(c+a) - c²(a+b+c) - 3abc chia hết cho 6
Vậy P - 3abc chia hết cho 6.
Lời giải:
Biến đổi:
\((a+b)(b+c)(c+a)-2abc=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\)
\(=ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ac(a+b+c)-3abc\)
\(=(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc\)
Ta thấy , nếu cả 3 số \(a,b,c\) đều lẻ, thì \(a+b+c\) lẻ, do đó \(a+b+c\not\vdots 6\) (không t/m điều kiện đề bài)
Do đó, tồn tại ít nhất một số trong 3 số $a,b,c$ là số chẵn
Kéo theo \(3abc\vdots 6\)
Mà \(a+b+c\vdots 6\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)\vdots 6\)
\(\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc\vdots 6\)
\(\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)-2abc\vdots 6\) (đpcm)
Đặt \(p=2k+1\)( phụ chú : vì p là số nguyên tố lẻ )
\(x=a-b-c\)
\(y=b-c-a\)
\(z=c-a-b\)
\(\Rightarrow-\left(x+y+z\right)=a+b+c\)
\(\Rightarrow B=x^{2k+1}+y^{2k+1}+z^{2k+1}-\left(x+y+z\right)^{2k+1}\)
\(=\left(x^{2k+1}+y^{2k+1}\right)-\left[\left(x+y+z\right)^{2k+1}-z^{2k+1}\right]\)
\(=\left(x+y\right)\left(x^{2k}-x^{2k-1}y+....+y^{2k}\right)-\left(x+y\right)\left[\left(x+y+z\right)^{2k}+\left(x+y+z\right)^{2k-1}z+...+z^{2k}\right]\)chia hết cho \(x+y=-2c\)
\(\Rightarrow B\text{⋮}c\)
Tiếp, lại có :
\(B=x^{2k+1}+y^{2k+1}+z^{2k+1}-\left(x+y+z\right)^{2k+1}\)
\(=\left(x^{2k+1}+z^{2k+1}\right)-\left[\left(x+y+z\right)^{2k+1}-y^{2k+1}\right]\)
\(=\left(x+z\right)\left(x^{2k}-x^{2k-1}z+...+z^{2k}\right)-\left(x+z\right)\left[\left(x+y+z\right)^{2k}+\left(x+y+z\right)^{2k-1}y+...+y^{2k}\right]\)chia hết cho \(x+z=-2b\)
\(\Rightarrow B\text{⋮}b\)
CMTT, có \(B\text{⋮}a\)
Mà \(a,b,c\)đôi một nguyên tố cùng nhau ( GT )
\(\Rightarrow B\text{⋮}abc\)
Vậy ...