Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT:1/a+1/b>=4/a+b
Ta có:
1/(p-a)+1/(p+b)>=4/(2p-a-b)=4/c
Các phần sau tương tự!
=>2VT>=4(1/a+1/b+1/c)
=>VT>=2(1/a+1/b+1/c)
b)
Dấu "=" xảy ra p-a=p-b=p-c => a=b=c
=>tg đều
Áp dụng BĐT Cauchy ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(\Rightarrow VP\le4\left(\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}\right)=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}+\frac{1}{2}\right)^2\ge2.2\sqrt{ab}.\frac{1}{2}=2\sqrt{ab}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có ;
\(\Rightarrow VT\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra
\(VT\ge VP\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Chúc bạn học tốt !!!
Áp dụng bđt Cauchy ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(\Rightarrow VP\le4\left(\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}\right)=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy ta cso :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}+\frac{1}{2}\right)^2\ge2.2\sqrt{ab}.\frac{1}{2}=2\sqrt{ab}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(\Rightarrow VT\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(VT\ge VP\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Chúc bạn học tốt !!!
cái này mik biết nè
vì a,b,c là 3 cạnh tam giác
=> \(a,b,c\in\left[0;\frac{1}{2}\right]\)
=> \(a+b^2\le\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\Rightarrow\sqrt{a+b^2}\le\sqrt{\frac{3}{4}}< 1\)
=> \(\frac{b}{\sqrt{a+b^2}}>b\)
tương tự mấy cái kia rồi + vào thì cậu có cả biểu thức >a+b+c=1
còn ý 2 thì nht nhé
ta cần chứng minh bất đẳng thức
\(\frac{b}{\sqrt{a+b^2}}< \frac{2b}{a+b+c}\Leftrightarrow\sqrt{a+b^2}>\frac{1}{2}\)
ta có \(\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow a+b^2>a+b-\frac{1}{4}>\frac{a+b+c}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow\sqrt{a+b^2}>\frac{1}{4}\)
=> bất đẳng thức cần chứng minh luôn đúng> Tương tự mấy cái kia rồi cậu tự + vào thì nó sẽ ra điều phải chứng minh
Áp dụng Holder:
\(24VT=\left(1+1+1+1+1+1\right)\left(a^3+a^3+c^3+c^3+b^3+b^3\right)\left(\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{c^3}\right)\ge\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\right)^3\)
Mà \(\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\right)^2\ge36\)( AM-GM)
\(24VT\ge36\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\right)\Leftrightarrow VT\ge VF\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c .
P/s: BĐT holder: \(\left(a_1^n+a^n_2+...a_3^n\right)\left(b_1^n+b_2^n+...b_n^n\right)...\left(z_1^n+z_2^n+...z_n^n\right)\ge\left(a_1.b_1..z_1+a_2.b_2..z_2+...+a_n.b_n.z_n\right)^n\)
Lời giải
Ta có: \(\left(a+b+\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}\left(4a+4b-1\right)^2+\left(a+b\right)\ge a+b\)
Tương tự: \(\left(b+c+\frac{1}{4}\right)^2\ge b+c;\left(c+a+\frac{1}{4}\right)^2\ge c+a\)
Như vậy: \(L.H.S\left(VT\right)\ge\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)=\left(\frac{1}{\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}}\right)+\left(\frac{1}{\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}}\right)+\left(\frac{1}{\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{a}}\right)\)
\(\ge4\left(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\right)=R.H.S\left(VP\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{8}\). Ta có đpcm.
khác cách tth xíu
Ta có:
\(VP=\Sigma_{cyc}\frac{4}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\Sigma_{cyc}\frac{4}{\frac{4}{a+b}}=2\left(a+b+c\right)\)
Gio ta di chung minh
\(VT\ge2\left(a+b+c\right)\)
Ta lai co:
\(VT=\Sigma_{cyc}\left(a+b+\frac{1}{4}\right)^2\ge\frac{\left[2\left(a+b+c\right)+\frac{3}{4}\right]^2}{3}\)
Chung minh
\(\frac{\left[2\left(a+b+c\right)+\frac{3}{4}\right]^2}{3}\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[2\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}\right]^2\ge0\) (đúng)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=\frac{1}{8}\)
Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\left(x;y>0\right)\) (tự c/m ha)
\(\frac{7}{a}+\frac{5}{b}+\frac{4}{c}=\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{c}\right)\)
\(=4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\ge4.\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+3.\frac{4}{a+c}=4\left(\frac{4}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{3}{c+a}\right)\)
Dấu "=" <=> a = b = c
bđt cần c/m <=>
\(\frac{1}{\left(a+c-b-c\right)^2}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2}+\frac{\left(a+c\right)^2}{\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2}\ge4\\ \)
\(\frac{1}{\left(a+c\right)^2+\left(b+c\right)^2-2}+\left(b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2\ge4\\ \)
\(\frac{1}{\left(a+c\right)^2+\left(b+c\right)^2-2}+\left(b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2-2\ge2\)(đúng , theo cô-si)
ok
2) Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số \(a^2-1;b^2-1;c^2-1\) có ít nhất hai số nằm cùng phía với 1.
Giả sử đó là a2 - 1 và b2 - 1. Khi đó \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\) (2)
Mà \(4\left[\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\right]\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\) (3)(Áp dụng Bunhicopxki và cái ngoặc vuông)
Từ (2) và (3) ta có đpcm.
Sai thì chịu
Xí quên bài 2 b:v
b) Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a^2-\frac{1}{4}\right)\left(b^2-\frac{1}{4}\right)\ge0\)
Suy ra \(a^2b^2-\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{16}\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\frac{5}{4}a^2+\frac{5}{4}b^2+\frac{15}{16}\)
Hay \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{3}{4}\right)\)
Suy ra \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+c^2+\frac{1}{2}\right)\)
\(\ge\frac{5}{4}\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2\) (Bunhiacopxki) (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Chuẩn hóa: \(a+b+c=1\)
Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên ta có: \(a,b,c\in\left(0;\frac{1}{2}\right)\)
Bài toán ban đầu trở thành:
\(P=\left(\frac{4}{1-a}-\frac{1}{a}\right)+\left(\frac{4}{1-b}-\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{4}{1-c}-\frac{1}{c}\right)\le9\)
Ta chứng minh:
\(\frac{4}{1-x}-\frac{1}{x}\le18x-3\)
\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)^2\left(1-2x\right)\ge0\) (đúng)
Áp dụng bài toán ta được
\(P\le18\left(a+b+c\right)-9=9\)
Vậy ......
Nhan 2 ve voi a+b+c se ra