Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng Bdt cosi 3 số dương ta có"
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Dấu = khi a=b=c
Đpcm
Bài 1:
\(a^2+b^2+c^2=16\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2-2ab-2bc-2ac=16\)\(\Leftrightarrow-2\left(ab+bc+ac\right)=16\Rightarrow ab+bc+ac=-8\)\(\Rightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2=64\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=64\)\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)=64\)
\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2=64\)
Ta có:
\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2\)\(=16^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=256-2.64=128\)
\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{c}+1=\frac{b+c}{a}+1=\frac{c+a}{b}+1\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{c}=\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=1;\frac{b}{c}=1;\frac{c}{a}=1\)
\(\Rightarrow M=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=2.2.2=8\)
Cô-Si 2 số dương:
\(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ca}\end{cases}}\)
\(=>\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=\left(2.2.2\right)\left(\sqrt{ab}.\sqrt{bc}.\sqrt{ca}\right)=8abc\)