![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
$x^3-9y^2+9x-6y=1$
$\Leftrightarrow x^3+9x=9y^2+6y+1$
$\Leftrightarrow x(x^2+9)=(3y+1)^2$
Đặt $(x,x^2+9)=d$ thì suy ra $9\vdots d(*)$
$(3y+1)^2=x(x^2+9)\vdots d^2\Rightarrow 3y+1\vdots d$. Mà $(3y+1,3)=1$ nên $(3,d)=1(**)$
Từ $(*);(**)\Rightarrow d=1$, hay $x,x^2+9$ nguyên tố cùng nhau.
$\Rightarrow \frac{x}{x^2+9}$ là phấn số tối giản.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 1:
Ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)
Do đó: \(2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)
hay \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cb}+\sqrt{ac}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(VT=3\left(\dfrac{1}{4ab}+\dfrac{1}{a^2+4b^2}\right)+\dfrac{1}{2.a.2b}\ge\dfrac{12}{a^2+4ab+4b^2}+\dfrac{2}{\left(a+2b\right)^2}=14\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}=\dfrac{a^2+b^2+2}{a^2b^2+a^2+b^2+1}=1-\dfrac{a^2b^2-1}{a^2b^2+a^2+b^2+1}\ge1-\dfrac{a^2b^2-1}{a^2b^2+2ab+1}\)
\(=1-\dfrac{\left(ab-1\right)\left(ab+1\right)}{\left(ab+1\right)^2}=1-\dfrac{ab-1}{ab+1}=\dfrac{2}{ab+1}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
\(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\ge\dfrac{2}{1+ab}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{1+a^2}-\dfrac{1}{1+ab}\right)+\left(\dfrac{1}{1+b^2}-\dfrac{1}{1+ab}\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab-a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\dfrac{ab-b^2}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a\left(b-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\dfrac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a\left(b-a\right)\left(1+b^2\right)+b\left(a-b\right)\left(1+a^2\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(b-a\right)\left(a+ab^2\right)-\left(b-a\right)\left(b+a^2b\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(b-a\right)\left(-\left(b-a\right)+ab\left(b-a\right)\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(b-a\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\) (luôn đúng vì \(ab\ge1\))
Giả sử ab và (a2+ab+b2) không phải là 2 số nguyên tố cùng nhau
Gọi d là ước chung của ab và (a2+ab+b2)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab⋮d\\a^2+ab+b^2⋮d\end{matrix}\right.\)
Ta có ab⋮d và (a,b)=1 nên ta có 2 trường hợp
TH1:a⋮d\(\Leftrightarrow a^2⋮d\)
Mà ab⋮d và \(a^2+ab+b^2⋮d\)
Suy ra \(b^2⋮d\)\(\Leftrightarrow b⋮d\)(vô lý với (a,b)=1)
TH2:b⋮d\(\Leftrightarrow b^2⋮d\)
Mà ab⋮d và \(a^2+ab+b^2⋮d\)
Suy ra \(a^2⋮d\)\(\Leftrightarrow a⋮d\)(vô lý với (a,b)=1)
Vậy trái với giả sử\(\Rightarrow\)ab và (a2+ab+b2) là 2 số nguyên tố cùng nhau\(\Rightarrow\left(ab,a^2+ab+b^2\right)=1\Rightarrow\dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}\) là phân số tối giản
Chỗ \(b^2\vdots d\Leftrightarrow b\vdots d\) là sai bạn nhé. Thử ngay $b=4$, $d=8$ thấy ngay.
Trong TH này bạn nên gọi $d$ là ước nguyên tố lớn nhất của $ab$ và $a^2+ab+b^2$
Khi đó ta mới có tính chất \(b^2\vdots d\Rightarrow b\vdots d\)