K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VT
2
S
19 tháng 1 2019
Ta có:
\(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}-a-b-c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{c^3-a^3}{a^2}+\frac{a^3-b^3}{b^2}+\frac{b^3-c^3}{c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{c^5b^2-a^3b^2c^2+a^5c^2-b^3a^2c^2+b^5a^2-c^3a^2b^2}{a^2b^2c^2}\ge0\)
Dễ thấy: mẫu dương nên:
\(\frac{c^5b^2-a^3b^2c^2+a^5c^2-b^3a^2c^2+b^5a^2-c^3a^2b^2}{a^2b^2c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow c^5b^2+a^5c^2+b^5a^2-a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\ge0\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow c^5b^2+a^5c^2+b^5a^2+c^5b^2+a^5c^2+b^5a^2-2a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\ge0\)
Chưa nghĩ ra tiếp :v
19 tháng 1 2019
\(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\)
\(=\left(\frac{a^3}{b^2}+a\right)+\left(\frac{b^3}{c^2}+b\right)+\left(\frac{c^3}{a^2}+c\right)-a-b-c\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}-a-b-c\ge2.\sqrt{\frac{a^3.a}{b^2}}+2.\sqrt{\frac{b^3.b}{c^2}}+2.\sqrt{\frac{c^3.c}{a^2}}-a-b-c\)\(=2\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)-a-b-c\)
Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có:
\(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}-a-b-c\ge2.\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)-a-b-c\)\(\ge2\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\right]-a-b-c=2\left(a+b+c\right)-a-b-c=a+b+c\)
( đpcm )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
LT
0
14 tháng 11 2019
\(a-b=a^3+b^3\Rightarrow a-b>0\)
Ta có:\(a^3+b^3>a^3-b^3\)
\(\Rightarrow a-b>a^3-b^3\)
\(\Rightarrow a-b>\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
\(\Rightarrow a^2+ab+b^2< 1\Rightarrow a^2+b^2< 1\) vì \(ab>0\)
21 tháng 9 2021
Áp dụng BĐT AG-GM:
\(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{a^3}{a^2+\dfrac{a^2+b^2}{2}+b^2}=\dfrac{a^3}{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)}\)
Cmtt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\dfrac{b^3}{\dfrac{3}{2}\left(b^2+c^2\right)}\\\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\ge\dfrac{c^3}{\dfrac{3}{2}\left(c^2+a^2\right)}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế của bất đẳng thức:
\(\Leftrightarrow VT\ge\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\right)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AG-GM:
\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=\dfrac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2ab}=a-\dfrac{b}{2}\)
Cmtt\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\dfrac{c}{2}\\\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\dfrac{a}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế
\(\Leftrightarrow VT\ge\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\right)\\ \ge\dfrac{2}{3}\left(a-\dfrac{b}{2}+b-\dfrac{c}{2}+c-\dfrac{a}{2}\right)=\dfrac{2}{3}\left(a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}\right)=\dfrac{a+b+c}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 9 2021
\(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^2.ab.b^2}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)
Tương tự và cộng lại ta sẽ có đpcm